Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Заменим производные от давления в уравнениях Эйлера (1.8) через производные от плотности и энтропии; например, для— др получим: др ~ др др дх — =ив + — —. дх дх дх дх ' Затем из уравнения неразрывности при помощи уравнений Эйлера н условия постоянства энтропии частицы получим: М --.) —:;(- —.".) '— .(- —.) —- 'у'е! да» д"в ~ (7.1) Рассматривая обтеканне тела вращения под малым углом атаки (рнс. 96), естественно предположить, что поток будет мало отклоняться от основного осесимметричного течения. Вектор скорости газа тогда можно представить в виде: + Х и и„соз (т6), 1 + Х а„о,„сов(тй), 1 н ~а в з)п(т6), 1 о, = и, (7.2) = оо У небречь.
Тогда течение за ударной волной будет потенциальным, и для определения параметров движения газа можно пользоваться более простыми характернстиками уравнений изоэнтропнческого движения газа. Чем меньше изменение кривизны ударной волны от точки к точке, тем меньшую ошибку мы допускаем, пренебрегая завнхренностью потока за ударной волной. + ио + оо, ди (2иои,+иАо о доо ( 2оои,+иоА, ду дио 1 д~)а '! иои,+о,и,+А,и,и,~ -(- — ) ду дх ) и о (7. 3) где а, — скорость звука основного осесимметричного потока и ь — 1 А, =:, (и,и, + о,о,). а о (7.4) Прн выводе уравнения (7.3) линеаризация выражения для скорости звука производилась с помощью интеграла Бернулли [ ( о + ох +ое)].
После подстановки компонент скорости в последнее выражение с принятой точностью получим: а' = а, — (й — 1) а, соз !т (и,и, + о,о,). „де и, и оо — компоненты скорости в меридианной плоскости основного осесимметричного потока, а величины а, и , о, ио !олжны быть определены так, чтобы удовлетворить условиям на ударном фронте и граничным условиям на теле. Считая угол атаки и малым, ограничимся в суммах формул (7.2) одним чле- Ф ном (Ж = 1). Далее полагаем, что отклонения от основного потока настолько малы, что а .т можно пренебречь членами, содержащими квадраты и произведения величин им оо и,.
При таких условиях после замены компонент скорости в уравнении (7.1) по формулам (7.2) будем иметь: Поэтому обратная величина квадрата скорости звука с той же точностью определится формулой (7.5) 1 '1 Ь вЂ” 1 — = —, + — а,созе1(и,и, + ц,о,). ао а а' о Это выражение было использовано. при получении уравнения (7.3). Но в силу. условия осесимметричного обтекания тела левая часть уравнения (7.3) равна нулю. Следовательно, и правая часть этого уравнения равна нулю. Тогда для компонент скорости добавочного движения получаем следующее уравнение: 1 д + д +д о + + 2иоио + Аоа' ди 2иои, + А,и дио дх а о 1 а, дд дио + дио ) инн+ооио+Аиоио (1 ду ди/ . а' о (7.6) Так как основной осесимметрический поток считается известным, то это уравнение будет линейным относительно искомых величин и„ о,. Из сравнения (7.6) с уравнением осесимметричного течения (2.2) видно, что коэффициенты при производных от компонент скорости одинаковы, но в уравнении (7.6) эти коэффициенты — известные функции.
Отсюда следует, что характеристики уравнения (7.6) в плоскости течения совпадают с характеристиками основного осесимметричного течения и, таким образом, являются известными интегралами уравнений: (7.7) 396 где Ьо — угол вектора скорости оо (ио, со) основного потока с осью х, а, — угол Маха в этом потоке. Характеристики уравнения (7.6) в плоскости годографа будут линейными дифференциальными соотношениями с известными коэффициентами при дифференциалах искомых величин. Они получаются обычным способом и в окончательном виде для потенциального движения записываются так: В уравнениях (7.8) ц,— вектор скорости с компонентами.,ихчу,; Э,— Угол междУ вектоРами г(о и о(,. ФУнкции В„, и С „.опРеделяются выражениями: (7.9) В принятом приближении с помощью формул (7.2) из этого выражения получим: дв, + дв, оов,+ооо,+иоио о ду о дх у Введем в полученное уравнение модуль скорости д и угол йв з результате будем иметь: оооо+иоио+уоомвово — з(пй + — созд дв, .
дв,' ду о ' дх В левой части последнего уравнения стоит полная производная от компоненты скорости ць по направлению линии тока 1. Кроме того, по предположению векторы цо и и, образуют малый угол междУ собой и можно пРинЯть, что г(о й, = до дг ПоэтомУ 'последнее уравнение можно представить в виде: — — = — — ( — + — з(про ). 1 дв, 1 Гд, в, д, д1 у (у, д, (7. 10) Ззт Символ( У' ) представляет собой полную производную вдоль соответствующих характеристик (см. формулу (7.7)), причем верхний знак и первый индекс в формулах (7.9) соответствуют верхнему знаку и первому индексу в (7.7).
Уравнения (7.6), (7.7) и (7.8) показывают, что параметры им оо и, так же, как до Ь„ во всех меридианных плоскостях одни и те же, и достаточно определить течение, например, в плоскости, в которой расположен вектор скорости невозмущенного потока. В уравнение (7.8) входят три искомые функции д„до ць. Поэтому для замыкания системы необходимо присоединить к ним еще одно уравнение. В качестве такого уравнения можно взять условие потенциальности течения.
В цилиндрической системе координат это условие записывается в виде: До сих пор коэффициент а, в формулах (7.2) предполагался малым, но произвольным. Если поверхность ударной волны прн осесимметричном обтекании тела сохранить и для случая его обтекания под малым углом атаки а, то граничные условия на фронте будут удовлетворены с точностью до членов порядка а' если положить, что (7.11) а, = а. Чтобы убедиться в этом, обратимся к условиям на ударном фронте. Обозначим составляющую скорости набегающего потока вдоль оси х через У и пусть р есть угол касательной к ударной волне с осью х (см. рис. 96).
Тогда на ударном фронте со стороны набегающего потока в произвольной меридианной плоскости для составляющей скорости из, касательной и нормальной составляющих о,, и, скорости к фронту волны получим: ор =- — а (7 з(п 6, о, = 0 соз р+а У яп р соз 6, . о, = У з(п Р— а (7 соз 8 соз В. (7.! 2) Составляющие скорости пэ'и и,лежат в касательной к ударной волне плоскости и при переходе через эту волну не терпят разрыва: ов = Ие о-. = оь-.. (7.13) Нормальные составляющие скорости о., и„, до н после скачка связаны известным соотношением: Уравнение (7.10) вместе с уравнениями характеристик (7.7) и (7.8) позволяет определить шаг за шагом поле добавочных скоростей. В случае вихревого движения вместо условия (7.10) исполь зуется уравнение, связывающее интенсивность вихря с градиен. том энтропии.
В цилиндрической системе координат это уравнение записывается так [3): удерживая в правой части этого уравнения малые первого порядка. получим: ц„я„=-,+ ( э' — У'сова~) — 2„+ аУзгйп рсоа рсов8. (7.15) Но согласно (7.12), с точностью до малых второго порядка относительно а, имеем: ! 1 асозв — = — + . сов в!. „„= из!а„из!озр Поэтому предыдущее уравнение можно представить в виде: А — ! о„= д„+ д„а с10 р совзз — 2а — Усов р сов тз, (7.16) «+! где величина д„есть нормальная составляющая скорости за ударной волной при осесимметричном обтекании тела со скоростью У на бесконечности: * — и а+! и згв р (7.17) При осесимметричном движении для составляющих скорости в направлении зз. и касательной будем иметь: д„.=О, д„=У (7.18) а — 1 о1 дзю + пЩ, сов 6 = д<р 1 а (фр с1к(в — 2а+! У сов й ~соЮ ом =д„+а,д„совй =д„+аУв(п~сов6, озз = — азю,в(пзз = — аУв1пзз.
(7.19) Уравнения (7.19) показывают, что на фронте ударной волны ком- поненты дополнительной скорости должны удовлетворять усло- виям; « †! а,дз, = а ~ дз, с1яр — 2 — У совр ~ а+! (7.29) а,д„= аУв(пр, азв = аУ. Приняв в этих выражениях а, =а, получим: а — 1 дп =д,. с18~ — 2 д !(Усов~, д,. =Ув!пр„и,=У, а+1 (7.21) Таким образом, в силу введенных обозначений, на основании (7.12).
(7.16) и (7.18) граничные' условия на ударном фронте можно записать в следующем виде: причем,:явгласно определению, 1 —, а' ат Пусть с помощью уравнений характеристик (7.7), (7.8) и уран нения (7.10) будут определены величины а„Ь,, са„удовлетво ряющие' условиям (7.21) на поверхности вращения ударной вол иы. Тогда из формул (7.!9) н (7.20) следует, что'поле скоростей',' определенное формулами: о, = ие+ а,и,соя 6, о =о, +а,о,соз6, ае = — а,в, з(п 6, (7. 22) с точностью до ае, будет удовлетворять граничным условиям на фронте ударной волны осесимметричного движения, если выполвено равенство (7.11).
При известных граничных условиях (7.21) на ударной волне характеристики (7.7), (7.8) вместе с уравнением (7.10) однозначно определяют скорость дополнительного течения. Отсюда следует, что на поверхности обтекаемого тела мы получим определеннйе значения д„, Ьо сае Следовательно, на поверхности тела при обращении в нуль нормальной составляющей осесимметричного течения нормальная составляющая скорости дополнительного движения к поверхности тела, вообще говоря, не равна нулю, и условие обтекания не будет выполнено. Попытаемся так деформировать контур тела, чтобы граничное условие в каждой точке его поверхности было выполнено*.
Если а — нормаль к поверхности тела, то это условие запишется так: а,„+ ад,„соз6 =О. (7.23) а,„(х',у') + еа,„(х', у') соз 6 = О. (7. 24) Граничное условие (7.24) отнесено к нормали поверхности задан) К. Зачес. 1л111акг11огесвепд, 19, 1942, р. 148 — 152. Из каждой точки заданного контура тела с координатами х, у в меридианной . плоскости 6 отложим по нормали отрезок Иа концом в близкой точке х', у' так, . Рис. 97 чтобы на контуре, образованном этими точками, выполнялось граничное условие обтекания (рис. 97) ного тела, так как нормаль построенного контура отклоняется от нормали л на малый угол.
С другой стороны, з7,„(х', У') = д „(х,У)+ дд,„, з7гз(х',У') = дза(х,У)+ с67,„. Поэтому условие (7.24) можно представить в виде: з),„(х,у) + ф Ни + а ~ а7га (х,у) + ~~'" йп ~ соз 6 = О, где производные берутся в точке х, у заданного контура. В этом выражении да„(х, у) = О из условия обтекания тела основным осесимметричйым потоком. Пренебрегая еще вторым членом в квадратных скобках, как малым высшего порядка, будем иметь: дл = — асозй инок йп В соответствии с формулой (7.25)'каждое круговое сечение х = =сопз1 заданного тела поворачивается на малый угол, пропорциональный углу атаки а (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
