Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 63
Текст из файла (страница 63)
При обтекании тупых тел сверхзвуковым потоком с большими числами М область применимости формул (9.2), (9.5) и (9.8) лежит в окрестностя " лобовой точки торможения. Эта область характеризуется тем, что в ее точках давление не слишком мало по сравнению с вели' чиной р, У'. Выше было отмечено, что на сильных ударных волнах в газе могут происходить физико-химические процессы. В этом случае в приведенных выше формулах отношение плотностей ). необходимо определить с учетом этих процессов. Например, если на ударном фронте имеет место диссоциация газа, подчиняющаяся условию идеально диссоциирующегося равновесного газа, то на ударном фронте на оси симметрии с хорошим приближением ).
определяется формулой*: —,' 11+.) т, где Т, — температура за ударной волной, а — степень диссоциацни. В заключение рассмотрим следующую задачу. Пусть сверхзвуковой однородный поток с большим числом М обтекает шар радиусом а.. Очевидно, течение будет осесимметричным. Ось симметрии проходит через центр шара в направлении скорости набегаюшего потока. Предположим, что за ударной волной газ не- сжимаем.
При сильных ударных волнах это условие с достаточным приближением будет выполнено в той области за ударной волной, где угол касательной к фронту волны с осью симметрии изменяется в интервале 90'+ 10'. В этом диапазоне изменения углов ударная волна мало отличается от прямого скачка, и на линиях тока за этим участком волны скорость газа еще намного меньше местной скорости звука. В этих предположениях постоянный параметр ) = ~' будет служить граничным усРо ловием на ударной волне.
Покажем, что найденное из уравнения движения решение будет удовлетворять всем граничным условиям, если считать, что скачок имеет форму сферы с радиусом с > а, причем центр этой сферы совпадает с центром обтекаемого шара. Прежде всего рассмотрим завихренность потока за произвольным сильным скачком уплотнения. Пусть в некоторой точке М поверхности ударной волны главные кривизны есть К, и К, (индексы а и Ь обозначают главные направления).
Обозначим проекции скорости в точке М на главные направления через о„ н о,. Очевидно, эти составляюшие скорости не терпят разрыва при переходе через фронт ударной волны. Нормальную составляющую скорости набегающего потока к поверхности волны обозначим через о„. Рассмотрим некоторую другую точку поверхности волны, расположенную вблизи точки М н имеюшую координаты Зх„6х„по главным направлениям. Компоненты ско- Р „, ~ б~пу * юй л,,„, д„„„, „„~„~„„,.в„~„~„„в технякив, № 6, 1957. 421 3 оа олГГа3ха 3оь олЮ~а Зол Оа(а.адха оь)4.адхь' (9 9» Из первых двух выражений следует, что компонента вихря э„, нормальная к поверхности скачка, обращается в нуль: даа даа дха дха Уравнение движения невязкого газа за ударной волной можно записать в виде: 1 а 1 аа Х т+ — ягаб о'+ — Ягабр = О.
2 Р Используя интеграл энергии 1 — о'+1= сопя!, 2 из приведенного уравнения движения получим: аа х т = игам( — — игаса р = Т ягаб з. 1 Р (9.11) Поэтому, учитывая равенство (9.10), для проекций уравнения по главным направлениям на скачке получим: да, да1 м ол=-Т вЂ” '; — и о =Т дха' 1а ы 1 дха (9.12) где индекс 1 указывает на значение параметров непосредственно за фронтом. Теперь воспользуемся предположением о большой силе ударной волны.
Из вывода формулы (9.3) ясно, что в этом случае в любой точке фронта волны будем иметь: 1, = — о„(1 — —,). (9.13) Ра = Раол(1 1, ) Если разность энтропии за элементами фронта волны обозначить через 4(з, и через а(о„— разность нормальной составляющей скорости набегающего потока на этих элементах, то, согласно (9.13), получим следующую связь между этими приращениями: Р1 х (2 ( ! ) Раол!(ол + !"а ~ =- (1 — 1 ) обкол. (9.14) 422 в точке М благодаря изменению главных кривизн. Так как точка взята бесконечно близко к исходной точке М, то приращения компонент скорости с точностью до малых второго порядка выразятся формулами (кривизна считается положительной, если поверхность выпукла по направлению набегающего потока).- Из третьего соотношения формулы (9.9) следует, что '1»О д = К»О» дол дол (9.15) дха а а дхь С помощью (9.14), (9.15) и уравнения сохранения массы Р,ОЛ аа р»О»„ИЗ ураВНЕНИЙ (9.12) ПОЛУЧИМ СЛЕдуЮщИЕ ЗНаЧЕНИя компонент вихря по главным направлениям: ) ! 'дл дал ! ! ! »1 = — Т вЂ” "= — — !1 — —, 1» =' о15 дол дха о»л 1 О»пад а !л — ц пад а (9.16) !Л вЂ” Ць М»а = Л О~К».
Теперь обратимся к рассматриваемой задаче. Для исследования течения в меридианной плоскости возьмем начало цилиндрических координат Г, 8 в центре шара, а угол 6 Рис. !ОЗ будем отсчитывать от направления набегающего потока (рис. 103). Тогда функция тока 1р (Г, Л!9) установившегося движения газа за ударной волной будет определяться уравнениями: дЧ вЂ” = Г 5! и !9 ° Ое ,' дГ тле о„ои — компоненты скоРости по осЯм Г и 6.
На сфеРической ударной волне, согласно введенным обозначениям, имеем: 0505 6 о = —; ое=У51пВ. (9.19) Эти условия будут удовлетворены, если положить при Г = гл Ус Мп»6 дч" — =исз(п Е. 2Л ' дг (9.20) 423 Таким образом, компонента вихря в любом из двух главных направлений кривизны поверхности скачка равна кривизне другого главного направления, умноженной на составляющую скорости (л ц в этом же направлении и на коэффициент —, который в слу- л чае диссоциирующего газа представляет собой большую величину.
В случае осесимметричного течения компонента скорости в одном из главных направлений равна нулю. В этом случае можно записать: (л — ц М =Мы = л О»1(ь (9.17) Единственная компонента вихря в выбранной системе коор. динат, направленная перпендикулярно к меридианной плоскости, записывается в виде: 1 д(газ) 1 диг 1 дз% 1 д / д%' Л дг г д6 Мпв дгз + ~~ д6( д6)' (9.21) Согласно (9.17) это выражение на ударной волне принимает вид (Л вЂ” В из1п6 (9.22) гип6 Л с В осесимметричном потоке за ударной волной отношение гс1п6 остается постоянным вдоль каждой линии тока (см. гл. 11, формула (13.21)).
Но во всех точках ударной волны (Л вЂ” 1) и* (9.23) гмп 6 Лс' и все линии тока проходят через поверхность ударной волны. Следовательно, отношение (9.23) должно быть постоянным всю- ду, и уравнение (9.21) можно представить в виде: дз%' з(п 6 д / д%' Л (Л вЂ” 1) Уг'с(пг6 д + д6(СЗЕС~ д6 1 — Л Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному условию (9.20), представим в виде: %' = ф (г) з)п' й . (9.24) и удовлетворять граничным условиям, полученным из (9.20): Ф(с) = ~'; ~'(с) =Ус.
(9.26). Решение уравнения (9.25), удовлетворяющее условиям (9.25), представляется в следующем виде: (г) — юл (3(Л вЂ” 1) ~ — ) — 5Л(Л вЂ” 4)~ — ) + +2(Л вЂ” 1)(Л вЂ” б)Я ). (9.2 424 Тогда функция у (г) будет определяться из дифференциального уравнения: (9.25) е 4 е ю /Оюгж Рис. 104 8 10. Линеаризированное течение около тонкого острого тела вращения. Обтекание кругового конуса В главе 1Ч рассматривалось линеаризированное обтекание тонкого тела крылового типа (несущих поверхностей). Другой важной задачей является обтекание тонких тел вращения типа снаРядов и ракет. Если такие тела имеют достаточно малые попеРечные размеры, то исследование задачи обтекания можно вести по теории малых возмущений.
Вначале остановимся на осеснмметричном обтекании тел вращения. Движение газа будем ~читать потенциальным. Способ линеаризации уравнений движе- 425 Таким образом, общее решение дается формулами (9.24) и (9.27). Из этого решения следует, что поверхность шара радиуса а является частью поверхности линии тока %' = О, и, следовательно, поток обтекает этот шар. Можно показать, что корни уравнения )(г) = 0 существуют при любом значении Л > 1 в интервале 0~(г <с и г =- а есть наибольший корень. Формула (9.27) позволяет определить радиус сферической ударной волны при заданном радиусе обтекаемого шара. В самом деле, для линии тока, проходящей вдоль шара радиуса а, имеем: З(Л вЂ” 1)'~ — ) — 5Л(Л вЂ” 4)(- — ) +2(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 6)~ — ) =0.(9.28) Из этого уравнения при заданных Л и а определяется радиус волныс.
На рис. 104 представлен график отношения (с — а) (а в виде функции от параметра Л при Л ) 4. Последнее йИ неравенство для сильных ударных волн выполняется для всех газов. Величина с — а равна расстоянию ударной волны от обтекаемого тела, Распределение давления на шаре в окрестности критической . точки торможения, найденное из полученыого здесь решения, находится в согласии с результатами вычислений давления с помощью формул (9.5) и (9.8).
Такое соответствие подтверждает правильность представления о равновесном обтекании тупых тел в области, где давление не слишком мало по сравнению с р,(/'. Характеристика потока в местах, где давление значительно падает, а сечения трубок тока становятся большими, до сих пор не выяснена.
ния газа достаточно подробно изложен в главе 1Ч. Применяя этот метод к уравнениям движения (2.1) или квазилинейному уравнению (2.5) для потенциала скорости линеаризированного осесимметричного течения, получим: дгт дог 1 дт 1 дгт дхог дУго Уо дУо аг дгго Здесь неподвижные координаты в меридианной плоскости и время снабжены индексом О, а — скорость звука в невозму. щенном газе. Пусть тонкое тело вращения движется с постоян. ной скоростью У параллельно оси симметрии х,. Рис 105 Поместим начало подвижной системы координат х, у у острой вершины тела, ось х направим вдоль оси симметрии тела в сторону его движения, ось у — в меридианной плоскости перпендикулярно оси х (рис.
!05). Запишем связь между неподвижными и подвижными координатами: хо = с'го+ х Уо = У (о = 1. С помощью этих соотношений в уравнении (10.1) перейдем к подвижной системе координат и воспользуемся тем, что в этих координатах картина течения установившаяся и, следовательно, потенциал скорости от времени не зависит. В результате уравнение (10.1) в подвижной системе координат примет вид: Пусть тело движется с дозвуковой скоростью (М < 1). Если ввести новую систему координат: у'=чу, х'=х, ч=ф 1 — Мг то уравнение (10.2) примет форму уравнения Лапласа: дгт дгт „! дт — — 0 ,г ,г + дх' ду' у' ду' решение этого уравнения ищется в виде потенциала распределенных вдоль отрицательного участка 1 оси х (1 — длина тела вращения) источников с переменной интенсивностью: (х' ') = (' 1(Е)дЕ' (10,З) ) г' (х' — Е' ) +у' Переходя к первоначальным координатам, из этой формулы получим: ч(х,у) = Р(Е) д Е г (х — Е)о + оо уо (10.4) Функция (10.4) удовлетворяет уравнению (10.2).
Интенсивность источника на единицу длины ~(х), стоящая под интегралом в формуле (10.4), определяется из граничных условий на теле. Путем дифференцирования э(х, у) из формулы (10А) получаются интегральные выражения для составляющих скорости. Когда у -о 0 эти выражения дают вдоль поверхности тела, за исключением граничных точек, следующие асимптотические соотношения [51: ох -о (ц )о = 2~' (х) 1и ~ у), "у ' ("у)о ! (х) (10.5) Таким образом, в случае осесимметричного тела вблизи оси 1 х компоненты скорости о„и о „растут как 1п)у~ и —.Еслидвижущееся тонкое тело вращения достаточно гладкое, то можно принять, что компонента скорости газа (о ), равна нормальной составляющей скорости тела к образующей у= Р(х) его поверхности, и, следовательно, есть известная величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
