Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Таким образом, уравнение (1.21) в плоскости М, р определяет границу между областями правильного и маховского отражения. Уравнение (1.20) точно определяет область правильного отражения в том.случае, если газ строго подчиняется политропическому закону. Рассмотрим отражение акустической волны. я Х Рва 111 В акустическом приближении отраженная волна также перемещается со скоростью звука а,. Поэтому формула У для акустического случая запишется так: з(па = з(пр. (1.22) Отсюда следует известный закон отражения а = р — угол падения равен углу отражения. Условие 1 для звуковых волн записывается в виде: оа = 2о,з(па.
(1.23) Второе уравнение системы (1.14), выражающее теорему количества движения, на отраженной ударной волне для акустических волн принимает вид: ра — р, = р,(по+о,соз2а) (о з(па+ о соз2а). В этом соотношении в звуковом приближении плотность р, за падающей волной можно заменить начальной плотностью ра. Учтя еще, что величина о, сов 2 а по сравнению со скоростью звука является малой величиной, можно записать: ра — р,= р, а,(о,з(па+ о,соз2а). Подставив сюда значение о,, из формулы (1.23) получим окон! чательное выражение теоремы импульса на отраженной звуковой волне: (1.24) Рз — Рз = Ро аа о1 444 Но согласно (1.11), перепад давления на падающей акустической волне равен: Ро Ро = и Р = Ро ао оо Поэтому предыдущую формулу можно записать в виде: Ро Ро =2. Ръ Ро (1.25) 9 2.
Сильный точечный взРыв в газе Пусть в сфере малого радиуса в результате взрыва мгновенно возникает большое давление, которое затем распространяется в окружающем газе с образованием ударной волны. Энергию, выделившуюся при взрыве, обозначим через Е,. Окружающий газ предполагается калорически совершенным. Будем рассматривать волну на таких расстояниях, чтобы можно было пренебречь радиусом сферы, в которой произошел взрыв, и, таким образом, считать взрыв точечным.
В то же время расстояния от ударной волны до места взрыва должны быть такими, чтобы интенсивность ее была большой. Мы будем считать, что давление за ударной волной настолько велико, что по сравнению с ним можно пренебречь начальным давлением покоящегося газа, в котором Распространяется эта волна. В нашей постановке, очевидно, задача будет обладать сферической симметрией. Параметры газа за ударной волной — сфе- Следовательно, за отраженной волной приращение давления в два раза больше, чем за падающей волной.
Этот результат получен вне зависимости от величины угла а падающей волны. Таким образом, из формулы (1.22) следует, что при любом угле падения акустической волны существует отраженная акустическая волна с углом отражения, по величине равном углу падающей волны (это же следует из уравнения (1.16) при М = 1, что соответствует звуковой волне). Приращение давления за отраженной акустической волной, согласно (1.25), в два раза больше приращения давления за падающей волной. Эти выводы составляют содержание известного акустического парадокса.
Дело в том, что независимость отношения (1.25) от угла наклона падающей волны к границе приводит к тому, что для углов а, очень близких или равных 90', это отношение также равно двум. Но при движении волны под углом 90', т. е. параллельно стенке, нет причин для удвоения давления на отраженной волне.
Однако при углах а, не очень близких к 90', формула (1.25) для слабых волн сжатия дает результаты, хорошо согласующиеся с результатами измерений. рической поверхностью — будут подчинены уравнениям (1.7). Из сделанного предположения о большой силе ударной волны следует, что число М в формулах (1.7) велико. Поэтому в согласии с тем, что начальным давлением пренебрегается, условия (1.7) на ударном фронте заменяются приближенными формулами: 20 2реВг а+1 (2.1) В приведенной выше постановке параметрами, определяющими движение газа, будут: плотность р„начальная энергия взрыва Е„координата г (расстояние от центра) и время 1.
Нетрудно проверить, что из этих величин можно образовать только одну независимую безразмерную комбинацию: = (" )иа (2.2) Но никакой комбинацией размерных величин Е„рм 1 нельзя получить безразмерный параметр. Поэтому ха может быть только постоянной величиной, которую необходимо определить в ходе решения задачи. Таким образом, согласно (2.2), х меняется от нуля (центр взрыва) до значения х„соответствующего ударной волне, при этом закон измененйя радиуса ударной волны определяется формулой: г*(1)=х, ~ ) (2.3) Отсюда для скорости ударной волны находим: йг" 2 г* (Г) В= — = — —.
дг 5 (2.4) Уравнения, описывающие движение совершенного изоэнтропического газа в случае сферической симметрии, записываются в виде: да да 1 др — + о— дГ дг р дг 446 Из этой формулы прежде всего следует, что координате ударной волны г*(1) соответствует некоторое постоянное значение ха безразмерной величины х. В самом деле, координата ударной волны есть функция времени г и постоянных р„, Е,. Поэтому соотношение (2.2) для точек ударной волны записывается так: др д(рд 2р — + — + —— д~ дг г ( — +и — )1и (2.5) Для рассматриваемой задачи интегрирование этой системы облегчается тем, что один из ее интегралов можно получить непосредственно из физических соображений.
Предположение рз = О означает, что начальной энергией газа пренебрегается и, так как диссипативные силы отсутствуют,то полная энергия газа в любой момент времени равна энергии Е„ выделившейся при точечном взрыве. Пусть в области движения газа некоторая сфера переменного радиуса г расширяется по закону х = х„= сопз(, где (2.6) Покажем, что энергия газа в этой сфере остается постоянной. В некоторый момент г внутри сферы произвольного радиуса г в области движения полную энергию газа Е можно представить согласно (2.2) в виде: га Е = рз —, Е' (х), где Е' (х) — безразмерная функция от х.
Для сферы, радиус которой связан со временем по формуле (2.6), предыдущее выражение дает: 2 г О и (2.8) При неизменном радиусе г сферы за время пг через поверхность сферы вытечет газ в количестве 4яг'роог. Прн этом силы дав- ления произведут работу 4яг'риЖ. Следовательно, полная энер- гия, ушедшая через поверхность сферы, равна: ( р Е„=4нг*риг)г( — + з+ — ) =4нг'рой ((+ — /. (2.9) Р 447 Е =х1 Е, Е'(х1), (2.7) т. е. внутри этой сферы полная энергия постоянна и выражается формулой (2.7). Выведем теперь уравнение, выражающее эту энергию. Скорость расширения рассматриваемой сферы, согласно (2.2), определяется формулой: и4 1 Е, = 4 а г' р о„г11 (е + — ) .
(2.10) Из постоянства энергии в рассматриваемой сфере следует, что выражения (2.9) и (2.10) должны быть равны друг другу. Следовательно, о (1 + — ) = о„(е + — ) . (2.11) Это и есть первый интеграл системы (2.5). Для калорически совершенного газа имеем: 1 р е= —, (=й е — р и уравнение (2.11) принимает вид: о(~ ! + 2)=о ((, ! + 2) (212) Введем безразмерные функции по следующим формулам: гй о=а — о', р=р р', р= р —,р'. (2. 13) Безразмерные величины о', р', р' могут быть только функциями безразмерной переменной х. Если в (2.13) положить (2.14) 4 1 8 р1 а =— 8 ь+!' 28 а+1' то, согласно (2.1) и (2.4), на ударной волне будем иметь: р'= р'= о'= 1.
(2.15) Введя безразмерные величины, определенные формулами (2.13) и (2.14), в уравнение (2.12), получим: Р' а+ 1 — 2о' р' 2 аи' — й — ! (2.16) Отметим, что интеграл (2.12) удовлетворяет граничным условиям (2.1), поэтому выражение (2.16) будет удовлетворять условиям (2.15). 448 Но согласно (2.6), радиус сферы расширяется со скоростью о„. Поэтому за время п( в сферу войдет масса газа 4яг*ро„й с энергией После введения безразмерных величин по формулам (2.2), (2.3), (2.13) предыдущее выражение принимает вид: 1 х~ Зт ' ~ (х~р'п' + х~р')Пх = 1.
(2.20) 25 (ь~ — 1) о Из этой формулы для й = 1,4 получаем х,= 1,033. Интегралы (2.16) и (2.18) совместно с (2.20) дают полное решение поставленной задачи. Из этих интегралов следует, что отношения — и — как функции отношения —, = — стремят- Р зз г* х, Г ся к нулю при — „- 0 в следующем порядке: з Отношение давлений р/р, стремится к постоянному пределу, отношение температур 7УТ,— к бесконечности. Эти выводы получены для калорически совершенного газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
