Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 69
Текст из файла (страница 69)
сама функция строится с точностью до произвольного мнимого постоянного по формулео и',г) =р+ о1 = — ) р(з) Т(г, з) ~гЬ(-(- гС, 1 Г (6.11) где г — внутренняя точка области, з — точка границы. о См., например, С. Г. Михли н. Интегральные уравнения. Гостехиздат, 1949. При переходе через участок А,В, отраженной волны, являющейся дугой окружности, давление меняется непрерывно. Поэтому на этом участке ' =1, р=О, г=1, 2~< 6<2я — ~, (67) Рг — Ро Следовательно, достаточно знать ядро Шварца для какой-нибудь области и отображающую функцию этой области на рассматриваемую. Ядро Шварца для круга известно: ! 1 3+2 — Т=— 2з 2и з — и (6.13) Поэтому формула (3.11) для нашего случая примет вид: (6.14) На основании граничных условий (6.8) и (6.9), отбрасывая несу- щественную для нашей задачи мнимую постоянную, нз (6.!4) будем иметь: за з4 После вычислений квадратур и подстановки значений пределов для значения р получим: р=Д.ч.—,.
1и —, е ~ +1п,. е ~ . (6.16) После определения действительной части и некоторых преобразований получим: Р = — (Фз+ Фз) (6.17) где (! — )зз) сиз Ли — ((,~, )(з) з)и Ли -1- 2)1 и!и Л ( — и) ф =агс1 — (! — дз) сиз Ли Фз = аГС К (1,1. из) з)и Ли — 2)1 з!иЛ( — и) 31 заказ № ззз Ядро Шварца обладает следующим свойством. Если й (г) отображающая функция области Р плоскости г на область Р' плоскости 1 и Т'(1, з) есть ядро Шварца для Р', то ядро Шварца для области Р получим по формуле: Т(г, з) !з(з/ = Т'(й(г), лз(з)) Я, (6.12) Согласно введенным преобразованиям координат, чтобывернуться к исходным переменным, необходимо воспользоваться соотношениями: Я = за, Х =, г =, х = г соз9, у = г яп 9.
(6. 17) По формуле (6.4) давление за отраженной волной можно представить в виде: (6. 18) 6 А егр йе йе Рис. 115 На рис. 115 в плоскости г по этой формуле построено распределение отношения давления за отраженной волной к давлению на падающей волне вдоль стенки Е,ОЕ в области дифракции для различных углов Р. ф 7. Отражение ударной волны от твердых стенок, образующих угол Пусть ударная волна с постоянной интенсивностью и прямолинейным фронтом падает на вершину угла. Как и в акустическом случае, произойдет дифракция от угла, а в дальнейшем будет иметь место отражение по закону косой волны от бесконечной твердой стенки.
Поэтому естественно считать, что за отраженной волной в областях, где не сказывается дифракция вершины угла, параметры газа постоянны, а участки отраженной волны прямолинейны. Зти участки, исходящие из точек на стенках, до которых дошла падающая волна в данный момент, будут соединены криволинейной частью отраженной ударной волны, которая является результатом дифракцни от вершины (рнс. 116).
Рассмотрим симметричный случай, когда обе стенки образуют одинаковый угол р с падающей волной. Очевидно, возникшее движение за отраженной волной будет автомодельным. Начало координат поместим у вершины угла, ось х направим вертикально вниз, ось у — вправо. Область мнимых характеристик уравнений движения газа за отраженной волной определится условием: (о» вЂ” ») + (оу — »1) С О, (7.
1) где 1, ») определены формулами (4.2). На рис. 116 эта область заключена внутри замкнутой границы, состоящей из участков ВОВ, стенок, дуг ВС, В,С, икриволинейной части СС, отраженной волны. Рис. 116 Вне этой области за отраженной волной, в силу выясненного выше характера отражения, параметры газа постоянны.
Снабдим индексом О параметры покоящегося газа перед падающей волной, индексами 1 и 2 †значен этих параметров соответственно за фронтом падающей и отраженной прямолинейной части ударной волны. Значения параметров газа в области дифракции угла оставим без индекса. Из условия непрерывности движения газа за отраженной волной следует, что на линиях ВС и В,С, параметры газа постоянны и равны их значениям, определенным за прямолинейной частью волны. Поэтому уравнение линий ВС и В,С, согласно (7.1), запишется в виде: (п, — 1)'+ (о, — т1)'=аз, (7.2) т е.
каждая из этих линий есть часть дуги соответствующей окружности. В дальнейшем, в силу симметрии, ограничимся Рассмотрением области над правой стенкой. Очевидно параметРы газа за падающей волной будут определяться формулами 31 ° 467 (1.7). За прямолинейной частью АС отраженной волны скорость газа оа параллельная стенке и направленная к точке А, и все другие параметры будут определяться формулами (1.5).
Перепишем зти формулы, введя угол в согласно (1.15). В результате получим: о,япа = о,соз(а — р), О,ЯП(а — 1)+ О СОВа = — 1С+ О,СОЗв— ,Оз = Й:1 ~(с+ о,созв) 2Й о1 (7.3) 1 Рз =(й+ 1)р 2 2а, + (С+ 0~ С05 а) а — 1+ сз!па = 0яп(а — 31). В т 1 было указано, что из системы (7.3) для определения угла в получается квадратное уравнение (1.16). Зная угол в, из формулы (1.15) можно легко определить угол а между стенкой угла и прямолинейной частью отраженной ударной волны.
Определение потенциального течения за отраженной волной, в области влияния дифракции угла, сводится к следующей задаче. Найти функцию т (1, т1), связанную с потенциалом скорости по формуле (4.6) и удовлетворяющую уравнению: (а' — (о, — 1)'),~ ~, — 2 (о„— 1) (оу — Ч),~~ + , азт + (~' — (о, — ~)'1 й— . = О 1 (которое в силу условия (7.!) в области дифракции будет уравнением эллиптического типа) при следующих граничных условиях. На участке ВОВ, стенок угла (см.
рис. 116) производная по нормали к стенкам равна нулю — = 0; на границах ВС и дт В,С„являющихся дугами известных окружностей (7.2), определены обе компоненты скорости. В каждой точке неизвестной части СС, отраженной волны имеют место три закона механики, записанные в форме уравнений 1 — 1Ч из э 1 и еще уравнение (4.20), которое в нашем случае можно представить в виде: с = $созв+ вяпв. '(7.5) В ходе решения задачи должен быть построен также уч -ток СС, отраженной волны, являющейся границей области. С шествуют только приближенные решения этой задачи для частных значений угла р и интенсивности падающей ударной волны.
Этн решения содержатся в работах [3] и ]5] (см. список литературы к настоящей главе). Наконец, заметим, что полученные в $ 4 н з 5 уравнения автомодельного движения газа с осевой симметрией позволяют исследовать отражение акустической и ударной волны от вершины конуса ]5]. Однако здесь мы на рассмотрении этих задач не останавливаемся. Глава!Х Плоское дозвуковое движение газа с конечными возмущениями В 1. Вывод уравнений Чаплыгина В главе Ч1 настоящей книги было рассмотрено движение газа со сверхзвуковыми скоростями. Как мы видели, там можно было легко получить простые соотношения между параметрами движущегося газа.
Применяя числовые методы, можно было решить почти все задачи о плоском движении 'газа. В противоположность сверхзвуковому движению, анализ дозвукового движения представляет значительную трудность. Математически это объясняется тем, что уравнения, описывающие дозвуковое движение, являются эллиптическими, в то время как для сверхзвукового движения они гиперболические. У эллиптических уравнений характеристики мнимые; применение их не дает особых упрощений.
Физической основой математической сложности задач дозвукового движения газа является то, что в данном случае возмущения распространяются во все области движения, тогда как в случае сверхзвукового потока возмущения всегда не выходят за пределы области, ограниченной исходящими из точки возмущения характеристиками. Напишем уравнения плоского движения газа, беря за независимые переменные угол В наклона вектора скорости к оси Ох и некоторую функцию модуля скорости е = д(о). Впервые такие рЗ переменные были введены С. А.
Чаплыгиным, причем а=в за Дальнейшее развитие этого метода необходимо рассматривать 470 как обобшение метода Чаплыгина. Напишем полные дифферен- цналы потенциала скорости (в и функции тока ф: с/!з = д ох+ — Иу = исоа!~!/!х+омп!~и!у, дт дт дх ду (1.1) дф = — с(х + — и/у = — [ — о з! и 6 !(х + и соз й! Иу). дф дф р дх ду В этих выражениях мы воспользовались известными определе- ниями1 и ф: о„= осозц = — „о, = оз(пр)=— дт .
дт дх ' ду — о = — осоз9 = —, — и = — оз(п 9 = — —. р дф р р . дф Рз Рз дУ Рз Р Ра дх ' Из (1.1) следует: сов6 1 р з!п6 в!п6 „+ р сов6 и Ри и ри Из этих уравнений непосредственно получим (1.2') Составляя выражения х о =хе и у е =уе, получим: де — ев де — ее~ Мп6 р соз6 сов6 ди д /р,яп6! — — — )ф и и ро и = и' ду е ду ( ти ) е' сов6 р„з!п6 в!п6 ди д /р,сов 61 Умножив одно из последних выражений на созЕ, другое на з(пс! и складывая или вычитая одно из другого, непосредственно получим: (1.3) 'Ре д ирз ди е р ди 47! соз6 р,з/п6 х = и в ро и 4»вЂ” 6 р,в!п6 хе = — 4» и е ри е Мпб р, 6,, и фо ри Выведем теперь из этих уравнений уравнения Чаплыгина.
Вспомним, что ! Р=Ро 1 г ! со и†! н положим !у = — ", тогда р = ро [1 — оу] и Иоо Ро ! Ро о( Ро о 1 о (оо) ! Р + о йу рс ) роро Йу роро '1 о(4 о(о ) — ( — ')- Так как Ну 2с 23~ д то ! — — ! и — ! (1.4) следовательно, (1- — 4) (1-4)- -' з+! уо — 1 оу 2д (1 — д) "1 ! !Р = 2!у (1 — уу) Эта система уравнений впервые получена С. А. Чаплыгиным. Она является эллиптической для дозвуковых скоростей; в самом Уо+ 1 с' с' деле, — !7 = = — < 1 только для дозвуковых ско- 1 а — 1г =,г (+1 оо с ростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
