Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(11.10) Равенство (11.10), имеющее место на границе тела, разбивается на два дч' = — Е'(х)(ц, — дт' ), (11.11) — '~' = — у,соз6+ Р'(х) — тх д» дх (11.12) Условие (!1.11) является точным граничным условием для тела, движущегося вдоль своей оси со скоростью 1!,. Аналогично этому, условие (11.12) служит точным граничным условием на теле при его движении перпендикулярно оси симметрии тела. В линейной теории с достаточным приближением эти условия можно записать так: д = — У,Е (х), (11.13) — ~' = — У, созе д,р, ди (11.14) Общее выражение потенциала фх, согласно (11.7) и (!0.9), дается функцией; о к+ед где неизвестная функция гп (х) должна быть определена из грз ничных условий.
В качестве примера рассмотрим сверхзвуковое движение тонкого кругового конуса под малым углом атаки а. Пр . П ежде всего заметим, что если воспользоваться уже произведенно ой за- 434 где (х х) — угол между касательной к образующей тела вращения и осью х. Если уравнение этой образующей задать в виде у= г(х), то !й( .) = — '„" = р ( ) (11.9) меной переменной интегрирования $ = х+ 1а у со г, то формула (11.15) примет вид: агсь Гс у гра = 1асо$6 ~ ш(х+ Руспх)спала. о (1!.
16) агсь е у суа = р сов 6 а, ~ (х -1- р д ей г) сЬ г д г, о (11.17.) где постоянная величина а, должна быть определена иэ гранич- ных условий. После вычисления интеграла получаем: (11.18) потенциал скорости от осесимметричного движения, согласно (10.10), представляем в виде: (11. 19) где постоянная аг определяется по формуле (10.12). Компоненты скорости от потенциала сга получим путем дифференцирования (11.18): д дгаа аа в соа сг Г ха иах = дх 2 ~,а а д та аа гасоа сг / — х х ха оа аду=2 (11.20) соответственно составляюптие скорости от потенциала р„ определенные из уравнения (11.19), представляются формулами: дта — х о, = — = а агсп— дх г гсу (11.21) дяг .
г ха = — =-а, 1а 1уг у гг Ваус Йля компонент полной скорости будем иметь о,=иц,+оаг, и„=и, +и,„. (11.22) (10.12), и Уже отмечалось, постоянная а определяется по формуле Как же 1 ) ио теперь в этом выражении вместо величины Одолжив 29» Диалогично формуле (10.10) для конуса, потенциал ра будем искать в виде: на основании формул (11.2!) из указанного условия получим; ,(11.23) агсь ~~к я+!с!яне с'.д~н ! ( у ! р!к~в где У, определяется формулой (11.5).
Давление на конусе по-прежнему определяется по линеаризированному уравнению Лагранжа Р— Р =рУ вЂ” =рУ~ — +— д~р Г ду, дт~ 1 (11. 24) стоять У,. Постоянная а, может быть определена по точному граничному условию (11.12). Помня, что на поверхности конуса с углом раствора 29, — — = с(ИО,, Глава %11 Взрывные волны (автомодельные задачи) ф 1. Введение Пусть в бесконечном пространстве, заполненном газом с атмосферным давлением, в момент 1= О возник некоторый объем другого газа с большим давлением и высокой температурой.
Так как на поверхностВ этого объема оба газа находятся в свободном соприкосновении, без промежуточной перегородки, то с течением времени давление в них будет выравниваться. При этом по газу с низким давлением буд т распространяться ударная волна, а по газу с высоким давлением — волна разрежения.
Описанное явление называется взрывом, а ударные волны, возникающие в результате взрыва, называются взрывными волнами. Возникновение объема газа с большимизначеннямидавленияитемпературы может быть результатом детонации вещэства или расщепления ядра атома (атомный взрыв). В настоящей главе мы рассмотрим некоторые простые задачи по определению течения газа, возникающего прн распространении и отражении взрывных волн.
Прежде всего рассмотрим распространение и отражение от прямолинейной границы плоской волны, движущейся со скоростью 0 в покоящемся газе, в котором давление равно р„ плотность Р, и внутренняя энергия единицы массы Е,. Значениям этих параметров непосредственно за ударной волной припиш м индекс 1 и пусть и, есть скорость частицы газа, полученная ею при прохождении ударной волны. Тогда уравнения сохранения массы, количества движения и энергии на ударной волне соответственно запишутся в виде: Роо = Р~Р п1)~ Р4Пп1 =р1 Ро (1. 1) ,2 ! Ро0 — + Е1 — Ео = Ркпт. 4зт Если из этих уравнений исключить величины О и о, и полученное выражение разрешить относительно Е, — Е, то получим: ( 1.2) Из первых двух уравнений (1.1) легко устанавливается зависимость скорости ударной волны от давления и плотности перед и за фронтом: (1.3) Ро Ро Ро Для калорически совершенного газа внутренняя энергия выражается формулой: (1.4) Е= В этом случае условия на ударном фронте, согласно (1.!), примут вид: Ро)) = Ро Р "!) е Ро 1~ о! = Ро Ро (1.5) = Р1оо ° Если в левой части формулы (1.2) внутреннюю энергию заменить выражением (1.4), то после разрешения относительно давления получим известное нам уравнение Гюгонио: (1.6) Наконец, разрешим уравнения (1.5) относительно параметров за ударной волной.
В результате будем иметь: (1.7) (ь+ !! Ро Ро о — ! +2/М' ' В этих формулах введены обозначения: яро М= —,а=— а ' о ро верхности раздела. Различие механических свойств в этих средах (плотность, сжимаемость) приводит к тому, что после прихода ударной волны,. распространяющейся в одной среде, к поверхно. сти раздела, в другой среде также возникает волна, распростра. няющаяся от поверхности раздела.
Одновременно в первой среде от этой поверхности распространяется отраженная волна. Огра ничимся рассмотрением простейщего случая, когда плоская ударная волна встречается с абсолютно жесткой плоскостью. Рис. 110 Итак, пусть плоская волна постоянной интенсивности встречает плоскость, являющуюся границей между газоч и абсолютно твердым телом, занимающим все пзлупространство. Угол между падающей волной 05 н граничной плоскостью ВВ, обозначим через Р (рис.
110). Перед этой волной по условию газ находится в покое. Нормальная к границе ВВ, составляющая скорости э, за падающей волной будет равна: о,„= и,совр, где о, определяется нз (1.7). Но из условия задачи следует, что граница ВВ, неподвижна. Поэтому сопротивление границы должно так изменить движение за падающей волной, чтобы на этой границе нормальная составляющая скорости равнялась нулю. Это можно осуществить, если на движение за падающей волной наложить движение, вызванное второй ударной волной„ с такой интенсивностью и направлением в точке касания О (см. рис.
110), чтобы ее прохождение вызвало образование нормальной скорости, равной по модулю величине, определенной форчулой (1.12) и обратной по знаку. Возможным фронтом такой волны может быть фронт плоской волны 01с с постоянной интенсивностью, показанной на рис. 110. Волна ОЯ называется отраженной ударной волной. Обозначим ее скорость и угол с границей соответственно через с и а. Параметры газа за отраженной волной снабдим индексом 2. Из условия неподвижности границы следует, что скорость ои за отраженной волной параллельна границе и направлена к точке О. Так как отраженнзя волна оставляет без изменений составляющую скорости о,, параллельную своему фронту, то получим: о, соз а = о, з! п (а + Р) .
))(ожно предположить, что газ перед отраженной волной не имеет нормальной составляющей скорости к этому фронту. Но тогда скорость отраженной волны должна быть заменена величиной а нормальная составляющая скорости газа за отраженной волной — величиной о,„, где (1.13) с' =-с+ о,соз(а+ р), о „= о, з!па+ о,соз(а+ р), При этом, в согласии с (1.5), основные законы механики на отраженной волне запишутся в виде: ( к р,с =р,(с — о„), р,с о„=р,— р,, Рзс — + — — = )72 О Г (05 соз (а -(- Р) + 05 5! и а)а р,(с+ о,соз(а+р)) [.
+ ! Рз Ра 1 + , ( — — †/~ = р, (о, соз (« + р) + о з(п а) . Рз Рз Из этих уравнений получим: 2 о,соз(а+р)+ озз)па = с+ о,соз(а+ Р)— )!+ ! 0+ 0, СО5(а+ 9 2Р5 Г 2 р, =, !1(с+ о, соз (а + р))' — о, ), ()з + 1) Рз 02 ! (с + 05 соз (а + Р)1 28 Заказ М 888 441 После подстановки в эти формулы значений с' и о „будем иметь: р, (с + о! соз (а -)- р)) = р, (с — о, 8(п а), р (с+ оасоз(а+ ар)) (озсоз(а+ р)+ 028(па) = ра — ро (1.14) В выражениях 1 — У вместо угла а введем а по формуле: а = а+ р.
(1.15) Тогда с помощью этих выражений и формул (1.7) и (1.9) после преобразований получим следующее уравнение, определяющее угол вс 7' (а' — 7а!а ° +)в=о (1.16) где введены обозначения: 2 1 с4я р + — — ' (а~-— а+! Мь ~ М~ /Й вЂ” ! 2 ! '!( ЗЬ+! (,ь+! + а+! м /1, ь+! + (1.17) ! за — ! а — з 7 =с!д~ ( — — — — ~+ (, ь+! а+! м ! Из (1.15) следует, что для отраженной волны ~к" — ~а 1 (1.16) Квадратное уравнение (1.16) дает два значения угла а.
Они определяются по формуле 1~~ — 41 ~1~ 211 (1.19) 442 Для определения пяти неизвестных р„р„с, а, о, имеем четыре уравнения 1, 11, 111, 1Ч. Недостающее пятое уравнение дает условие правильного отражения. Оно заключается в том, что падающая и отраженная прямолинейные волны за все время движения имеют общую точку 0 на границе раздела. Нетрудно установить, что это условие выражается формулой: Рз)па = сз)яр. 1! Из формулы (1.18) следует, что для угла а тоже получим два значения. На практике реализуется меньшее значение угла а, отвечающее знаку минус перед корнем в выражении (1.19): — 1,'— 41, 1 ив = 2!ь (1.20) В плоскости р, М для каждого значения й получим область, где все ь, а следовательно, и угол а отраженной волны действительны. Можно ожидать, что для этих значений р, М отражение будет правильным. Из (1.20) следует, что граница между областями действительных и мнимых значений угла отраженной волны в плоскости Р, М определяется уравнением: (1.
21) При постоянном я, согласно формуле (1.8), задание числа М равносильно заданию отношения давлений Р' . Поэтому при Рг определении области действительных и мнимых значений угла а вместо плоскости р, М можно рассматривать плоскость — ',р. Р~ ' Приведенная выше схема правильного или нормального отражения (см. рис. 110) на практике не осуществляется, если интенсивность падающей волны слишком сильна или угол р велик. В этих случаях, как показывают эксперименты, образуется волна 0)т, которая встречает падающую волну ОЯ не на границе, а в некоторой точке над ней (рис. 111).
От этой точки к границе и(1ет прямая ударная волна 00,. Состояние газа за отраженной волной далеко от границы определяется последовательным прохождением волн 05 и 0)т. Вблизи границы газ проходит только одну головную волну 00,. Такое отражение называется неправильным, или маховским, отражением. Из граничного условия и непрерывности давления следует, что в областях за Ударными волнами 00, и 0)т' давление газа одинаково, а скорости имеют одинаковое направление, по величине же они так же, как плотность, различны.
Эти условия будут выполнены, если допустить существование линии контактного разрыва ОК между Указанными выше областями газа (см. рис. 111). Такое допущение находится в согласии с наблюдениями. В окрестности контактной поверхности ОК течение газа завихренное. Как было отмечено выше, маховское отражение наблюдается при больших значениях числа М или угла Р. С другой стороны, при указанных значениях этих чисел по формуле (1.20) мы получим комплексные значения угла а. Отсюда следует вывод: маховское отражение ожно ожидать в той части плоскости м, Р 11или — ', ~), в Рь в точках которой правая часть формулы (1.20) дает комплексные значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
