Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 60
Текст из файла (страница 60)
рис. 97). Этот угол поворота, вообще говоря, меняется от сечения к сечению. Однако для небольшой окрестности острого носка тела его можно считать приближен- Рис 98 но постоянным. Тогда, согласно (7.25), деформация тела состоит ' в повороте жесткого тела около его вершины в меридианной плоскости х, у. В таком приближении мы приходим к следующему выводу. При обтекании острого тела вращения сверхзвуковым потоком под малым углом атаки образуется такая же ударная волна, как и при осесимметричном обтекании с той же скоростью. Но при этом в плоскости х, у ось симметрии тела оказывается повернутой к оси симметрии ударной волны на угол, пропорциональный углу атаки. В работе Р.
Зауэра, указанной в сноске, в качестве примера рассмотрено обтекание конуса под малым углом атаки. Завикренностью потока за счет наложения малого конического тече27 заказ И з88 401 ния, обусловленного углом атаки, пренебрегаем*. Обозначим угол раствора конуса через 2 ое н через т — угол между осью конуса и осью конической ударной волны (рис. 98). В работе приводятся следующие результаты: при М = — = 2,378 и а, 395 т 048 т. е. угол т примерно равен половине угла атаки.
Таким образом, если угол между осью ударной волны и вектором скорости набегающего потока есть а, то угол е между осью обтекаемого конуса и той же скоростью (угол атаки) равен разности: а = а — т. ф 8. Обтекание тонких тел с очень большими сверхзвуковьзми скоростями. Закон илоских сечений Движение тонких тел под малым углом атаки изучалось в главе 1Ч. На основе теории малых возмущений для потенциала скорости там былополучено следующее линеаризированное дифференциальное уравнение: (М' — 1) — = — +— дзт д'т д'т дхз дуз дгз' где М вЂ” отношение скорости движения тела в направлении оси х к скорости звука в невозмущенном газе.
При М -ь 1 коэффициент при производной в левой части стремится к нулю и весь этот член по своему порядку становится меньше отброшенных при линеаризации членов в уравнениях движения газа. Поэтому приведенное выше уравнение непригодно при изучении околозвуковых течений газа. Другим предельным случаем движения тонких тел, когда проведенная в главе 1Ч линеаризация неприменима, является движение тонких 'тел с очень большими сверхзвуковыми скоростями.
Такие движения называются гнперзвуковыми. При гиперзвуковых движениях впереди тела образуются мощные ударные волны, приводящие к неизоэнтропическому возмущенному движению газа, которое не может быть изучено методом обычной линеаризации основных уравнений газовой динамики. В этом параграфе кратко излагается теория гиперзвуковых течений.
Для общности мы рассмотрим трехмерную задачу. Пусть тонкое заостренное тело движется с большой сверхзвуковой ско- " А. Ферри показал, что эта завихренность порождает особые точки в распределении энтропии и приводит к изменению давления на величину аз[31. Здесь это явление не учитывается, 402 ростью К Возьмем начало координат х, у, г, связанных с телом у его переднего носка, ось х направим против движения тела,: осн у н г в плоскости, перпендикулярной направлению движения.. Вслн х„у„г, означают неподвижные осн координат, то связь между ними н подвижными осями х, у, г будет следующей: х,=х — И, у,=у,го=г, 1,=!. Течение газа в подвижной системе координат, жестко связанной: с летящим телом, будет установившимся. Поэтому частная производная по времени от любого параметра газа в пространстве, связанном с неподвижной координатной системой, будет выражаться через координаты подвижной системы соотношением,' д д — =У вЂ”.
дга дх ' Переход от уравнений движения Эйлера, уравнения неразрывностн н уравнения энергии в неподвижной системе коордн-,. нат к тем же уравнениям в подвижной системе координат, производится так же, как это делалось в главе 1Ч. В результате такого перехода в подвижной системе координат трн уравнення движения, уравнение неразрывности н уравнение сохранення энтропии частицы газа запишутся так: (и+ ) — "+ — "+ до„ до„ до„ ! др дх У ду г дг р дх' (У+о ) — +о — +в — = — — —, дох дог дог ! др дх г ду г дг р ду ' дог до дог 1 др (У+ о ) — '+ о — '+ и — '= — — —, дх У ду г д р дг ' дрФ+о ) + дро + дх ду д, + О ) дх + "г д + " !г = () до дг дг (8.1) Для совершенного газа с постоянными коэффициентами тепло; емкости с точностью до пронзвольной постоянной велнчннынмеем Зс с!п — „.
о рл (8.2) Напомним, что о„, о, о, есть компоненты абсолютной скорости газа. Мы рассмотрим движение тонкого, достаточно гладкого тела, поэтому угол между нормалью п в точках обращенной впе-' ред части поверхности тела н осью х близок к прямому, так что* соз (и,х) = г соз т, (8. 3),. где г — малый параметр, например, максимальное значение уг-: ла, образованного поверхностью головной части тела н осью х,' 27* 403 илн же относительная толщина тела. Угол т есть заданная функция координат поверхности тела. Из этих определений получим следующие оценки порядков величин: соз (п,х) = с, соз т = 1.
(8.4) Граничное условие на поверхности тела с учетом(8.3) запишется в виде; и,соз (п,у)+и,соз (п,г)= — (У+и,)ссозт. (8.5) Пусть поперечные размеры тела в направлении осей у н г соизмеримы по порядку величин, т. е. соз (п,у) соз (п,г) — 1. Тогда граничное условие (8.5) дает следующую оценку порядка величин и и и,: и,=и,=с(У+и ). (86) У Условие (8.6) получено для частиц газа вблизи поверхности тела. Будем считать, что такой порядок величин сохраняется во всей области возмущенного движения газа между телом н головной ударной волной.
Эта ударная волна близко примыкает к телу, Ряс. 99 н возмущенная область движения в поперечном направлении невелика (рнс. 99). Но поверхность разрыва является сильной ударной волной, н градиентом энтропии позади волны в общем случае нельзя пренебречь. На головной волне, распространяющейся по невозмущенному газу, основные соотношения записываются в виде: РоР=Ро(Р— и1 ) Ро Ро= РоРио % где Р— скорость ударной волны, о — нормаль к поверхности волНы, индекс О отнесен к параметрам невозмущенного потока, индекс 1 к параметрам за скачком, и,„— нормальная составляющая скорости к поверхности разрыва, и„— составляющая вектора скорости и, в плоскости, касательной к головной у волне.
Для параметров за скачком уплотнения из (8.7) получим; 2Е> !' а* ('8.8) а+! Р1 =Ро Х вЂ” 1 2а', + — ' !а о„= О. Но ударная волна относительно движущегося тела неподвижна, поэтомуР= — и .(.,х). (8.9) Из формулы для скорости газа за ударной волной в (8.8) полуа чнм: Отсюда видно, что скорость Р имеет порядок: (8.10:) Р— а, + о,. о~ = — о1 сов(ч, х), о„= о1соз(ч,у), о = о1соз(ч,г).
Согласно (8.6), в левых частях последних двух формул стоят величины порядка т (У+ о ). Косинусы, входящие вправые части этих формул, имеют порядок единицы. Поэтому (8.1 1) о,— о — о — т(0+ о ). (8. 12) Но тогда из (8.9) и (8.10) следует, что О аа+и, . 1 сов (ч,х) !! и т + —. М' Следовательно, для компоненты скорости вдоль оценку величины: оси х имеем (8.18) Для компонент скорости на ударной волне по осям координат имеем: Теперь нетрудно оценить порядок величины изменения давления и плотности на ударной волне.
Из (8.7) получим: р,— р,=р,ром-Р,и (1 + — ') =йр,М "(1+ — ') (8.!4) о,. Мт Р Ро = Ро Р „ Ро 1 1 М, Из приведенных оценок приходим к следующему заключению. При движении тонких тел (х~(1) с небольшими сверхзвуковыми скоростями У(Мх((1) скорость возмущенного движения, давление и плотность имеют одинаковый порядок: о — по~, о — о — Ух, — Мх, — Мт. Рг Ро Рг Ро х У е Р Ро Из условий т((1, Мх((1 следует, что скорость возмущенного газа, изменения давления н плотности являются малыми величинами.
Прн движении тонкого тела с очень большими сверхзвуковыми скоростями, когда ~((1, но М~) 1, оценки величин дают следующие порядки: (7хз о о (7,~ ~ ~о Мзтз Р~ Ро 1 (8 ]5) Ро Отсюда следует, что повышения давления при этих условиях могут быть очень большими, а плотность может изменяться на порядок.
Поэтому обычная линеаризация уравнений движения газа при движении тонких тел непригодна при Мт> 1. Отметим, что при значениях Мх ч" .1 из (8.12) получаем: 1 соз(ч, х) — — , -т. е. головная ударная волна мало отличается от конуса Маха. При Мт)) 1 имеем: сов (ч,х) 'с, (8.16) и область возмущенного движения сильно сужена в поперечном направлении. Пусть форма рассматриваемого тонкого тела в подвижной системе координат задана уравнением г" (х,у,г) = О. Тогда, согласно граничному условию (9.2) главы 11, написанному в неподвижной снстеме координат, в подвижной системе будем иметь: (И+ох)д+оРд+отд=О др дР' дР' (8.17) Очевидно, это уравнение тождественно с граничным условием (8,5).
Напишем еще условие на бесконечности перед телом. При х-+— (8. 18) ох=оу =по=О Р=Ро Р=Ро. Это условие, выражающее невозмущенность газа, выполняется всюду слева от головной волны. Перейдем к установлению закона подобия прн гнперзвуковом движении тел. Примем длину тела за единицу, н пусть безразмерная величина о, как и выше, характеризует относительную толщину тела. Уравнение заданной поверхности можно записать тогда в виде: г" (х, ~~, — ) =О. Уравнение формы головной ударной волны, которая должна определяться в ходе решения задачи, будет зависеть от формы тела, характеризуемой параметром о, н от набегающего потока, который характеризуется числом М (й = Ж = сопз1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
