Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 57
Текст из файла (страница 57)
После этого так же, как определялась точка М, определяется следующая соседняя к ней точка свободной границы. Путем повторения такого процесса вычисления параметров, задача будет решена в области 11, ограниченной характеристиками разных семейств АВ„ В,С и свободной границей струи АС. Так же строится решение в области 1П (см.
рис. 91). Зная Распределение скоростей на характеристиках В,С и В,С,„ мы получаем известную задачу для определения, течения в области 1Ч характеристического четырехугольника. Расчеты методом характеристик показывают, что в этой области происходит 383 дальнейшее расширение газа, так что в струе, вблизи границы, давление делается меньше давления р,. Но на границе давление должно быть равно р,.
Наличие этого граничного условия приводит к тому, что в струе возникают ударные волны. Возникновение волн сжатия предсказывается расчетами методом характеристик и подтверждается экспериментом. При этом в общем случае течение уже не будет изоэнтропическим. Возникшая ударная волна поворачивает вектор скорости потока в сторону оси симметрии. Поэтому струя перестает расширяться и начинает сужаться. Но ось симметрии является линией тока и, следовательно, за ударной волной у оси симметрии поток должен повернуть в сторону свободной границы. Такой поворот осуществляется образованием новой поверхности сжатия. За этим скачком давление оказывается выше внешнего давления р, и поэтому происходит новое перерасширение струи и затем новое сжатие струи с помощью скачков уплотнения и т. д.
Этот процесс может повториться несколько раз, он хорошо подтвержден экспериментами. В дальнейшем наличие вязкости приводит к перемешиванию струи с окружающим газом. При истечении сверхзвуковой струи в пространство с более высоким давлением (р, > р,) у выходного среза образуется волна сжатия в виде мостообразной поверхности вращения, опирающейся на окружность выходного сечения. Поверхность сжатия поворачивает поток к оси симметрии струи и увеличивает давление в струе так, чтобы на границе ее давление равнялось р,. Сужение струи вследствие поворота вектора скорости потока к оси симметрии прекращается за счет образования новой ударной поверхности, отклоняющей поток к границе так, чтобы ось симметрии оставалась линией тока.
За этой ударной волной давление оказывается выше давления р„ что приводит к пере- расширению струи и понижению давления в ней до значений, меньших р,. Вследствие этого появляется новая ударная поверхность, и процесс начинает повторяться. Пусть перепад давления р, — р, настолько мал, что задачу можно линеаризировать и считать скорость звука в струе постоянной. Тогда при истечении сверхзвуковой струи из круглого отверстия поверхности разрежения и уплотнения будут конусами с вершиной на оси симметрии струи. В этом случае свободная граница струи будет состоять примерно из поверхностей таких же конусов, сопрягающихся между собой последовательно то основаниями, то вершинами.
ф Ю. Обтекание конуса иод нулевым углом атаки Перейдем к задаче обтекания тел вращения сверхзвуковым осесимметричным потоком газа. Начнем с простейшего осесимметричного тела — кругового конуса. 384 0 Рис. 92 Пусть равномерный сверхзвуковой поток газа со скоростью т(, обтекает конус в направлении его оси. Обозначим угол раствора конуса через 26а При таком обтекании впереди конуса образуется осесимметричная поверхность ударной волны, ось которой совпадает с осью обтекаемого конуса (см. фото 1 и 2). Так же, как при обтекании клина, форма и положение поверхности этой волны зависят от скорости набегающего потока и угла раствора конуса. Здесь мы рассмотрим наиболее простой и часто встречающийся на практике случай, когда ударная поверхность (называемая также головной волной) представляет собой конус, соосный с обтекаемым конусом и имеющий с ним общую вершину (см.
фото 2). На рис. 92 показана кар- г тина сверхзвукового обтекания конуса в меридианной плоскости. Здесь 05 — образующая ударной волны, 0С вЂ” образующая обтекаемого кону-' са. Течение между конусом и ударной волной сверхзвуковое. Экспери- о менты подтверждают, что указанная х картина обтекания имеет место при не слишком большом угле раствора обтекаемого конуса в достаточно большом диапазоне сверхзвуковых скоростей газа. Для простоты мы не будем изучать влияние донного среза обтекаемого конуса на сверхзвуковой поток за ударной волной и поэтому конус можно считать бесконечным.
Во всех точках конической ударной волны параметры потока, в том числе и энтропия, изменяются скачком на одну и ту же величину. Следовательно, за скачком уплотнения энтропия всех частиц газа одинакова и, согласно (3.17), течение потенциально. Возьмем оси координат в меридианной плоскости, начало их поместим в вершине конуса, ось х направим по оси симметрии вниз по течению, ось у в перпендикулярно оси х. Уравнения движения газа между ударной волной и обтекаемым конусом будут описываться дифференциальными уравнениями (2.1), в которых необходимо считать энтропию постоянной и одинаковой во всех точках области движения.
для дальнейшего важно показать, что поток, обтекающий конус, будет коническим. Поле потока называется коническим, если параметры его остаются постоянными вдоль прямых, начинающихся из заданной точки, называемой вершиной конического течения или полюсом. Перейдем в меридианной плоскости х, у к полярным координатам г, 6 с началом в вершине конуса. Угол В будем отсчитывать от оси симметрии х. В этих переменных любой параметр движущегося газа, в том числе, например, и компонента скорости о„будут функциями начальных параметров набегающего потока: ро, р, 1го, угла раствора конуса 26, и координат г, 6. Эту зависимость можно записать в виде: ог = ог (г 6 6о )Го Ро Ро). дающего нулевую размерность.
В механике имеются 'три неза- висимые размерности, например, длина Т., время Т и сила К. Если их ввести в написанное выше произведение, то получим: [г гр~, -,) го )глг о п41 — у о1+оа 2ла оод Т оа+оо4 Кла+о< Для существования безразмерных комбинаций сумма показате- лей в правой части этого выражения должна равняться нулю: и, + л, — 2по — 4ло = О, — л,+ 2по= О, ло + и, = О.
Из этих соотношений получаем: и,= О, л, = 2им л,= — по. Таким образом, единственной безразмерной комбинацией размер- ных аргументов г, 1'„р„р, является соотношение ( — ';,')." Без ограничения общности показатель и, можно принять равным единице, так как любая степень безразмерной величины также является безразмерной.
Основное, что мы доказали, состоит в том, что радиус-вектор г не входит в состав безразмерных аргументов 1л, = О). Итак, мы установили, что любой параметр потока не зависит от координаты г. Например, для компоненты о, можем записать: ( 6 6 ~ ) (5.1) 388 По основной теореме теории размерностей любой безразмерный параметр движения, например, отношение о,/)г„должен зависеть только от безразмерных комбинаций незавйсимых величин г, 6 6о Ро Ро "о. Представим эти безразмерные комбинации в виде произведений размерных величин в различных степенях и определим показатели степеней, а также количество безразмерных комбинаций. Итак, вопрос сводится к определению конкретного вида комбинации „:размерных величин, взятых в виде произведения гоо )/о~роз Ро4 о о о о.'д н, следовательно, параметры вдоль прямых, выходящих из на.
чала координат, сохраняют постоянное значение. Приближаясь по этим линиям к началу координат (полюсу), мы получим различные значения параметров газа в точке, совпадающей с вершиной конуса. Таким образом, в вершине конуса не существует однозначного решения, и она является особой точкой поля течения. Напишем уравнения движения газа в полярной системе координат г, 6. Сначала выведем уравнение, Ф выражающее потенциальность движе- Ю' ния газа. Для этого в меридианной л плоскости х, у в области между удар- в ной волной и обтекаемым конусом гв выделим двумя лучами под углами г 6 и 6+ Ю и дугами двух окружно- в отей радиуса г и г + йг замкнутый контур АВСР (рис.
93). Циркуляция вектора скорости по этому замкнутому контуру должна равняться нулю. На этом основании имеем~ ивго6 + оФ + "эго6 + (оаФ6) ~(г очаг д ди (огог) "6 =9. д Но так как поток конический, то компоненты скорости не зависят от координаты г. Поэтому предыдущее выражение приводит к следующему уоавнению: д"г — =0 дЕ а. (5.2) Второе уравнение, связывающее компоненты скорости, получим из условия, выражающего закон сохранения массы. Для составления уравнения, выражающего этот закон, выделим объем, заключенный между двумя соосными конусами с углами 6 и 6+06 и двумя сферами с радиусами г и г+пг.
Пусть криволинейный четырехугольник АВСР на рис. 93 есть сечение этого объема меридианной плоскостью. Через поверхность выделенного объема, соответствующей линии АР (см. рис. 93), за секунду войдет количество газа 2ягз1п6 рсггй6, — 2я ~г з1п брорМ + (г ~~~бр~ г 6) 1 д 887 а через противоположную поверхность со следом ВС вытечет количество Через боковую поверхность со следом 0С втекает газ в ко. лнчестве 2чгз!пйро дг; через противоположную поверхность газ вытекает: д — 2-. ° ~г з1п 6рое ~(г + ~е (г з(п 6 рге ~(г) ~(6~ Разность между расходами втекающего и вытекающего газа через всю поверхность объема должна равняться уменьшению массы газа в объеме в единицу времени: — — 2кге гйп 6~Ы6. др дг ' Из этого условия с помощью приведенных выше выражений для количества вошедшего и вышедшего газа из рассматриваемого объема получим: 2гз!пйро,+г де (гйп9рое) = — д, г з(п6.
Для 'установившегося движения член в правой части этого уравнения равен нулю. Поэтому закон сохранения массы принимает внд: 6 о'+з(по в + оесоз6+ вез'"о дв дае д1пр Из интеграла Бернулли имеем: 1 Р— Ре д 1в Р 2 "е ае+ а~а~ дн е — 1 а~~ — ае Поэтому для производной от логарифма р получим: д!пр 1 дв = е (ОЕ "в+Огпг). Если подставить это выражение в уравнение (5.3) и воспользоваться уравнением (5.2), то для производной от компоненты скорости о будем иметь: Лае г ае с12 6+ ~т пг ЫИ ~ аа а~~ (5.4) где штрих означает дифференцирование по 6.
Но, согласно тому же интегралу Бернулли, 2аа о2 о1 ~п — а 1 Таким образом, задача об определении поля скоростей при сверхзвуковом обтекании конуса свелась к интегрированию системы двух дифференциальных уравнений (5.2) и (5.4) После того, как скорость найдена, давление, плотность и температура могут быть определены 'по известным формулам для изоэнтропического течения, которое имеет место в области между ударной волной и конусом. Сформулируем граничные условия, при которых необходимо найти решение системы уравнений (5.2) и (5.4), Условие обтекания конуса дает: са = б прн ~ = 6~о (5.5) На головной конической ударной волне должны выполняться основные соотношения для нормальной и касательной составляющих скорости до и после скачка уплотнения. Если через обозначить угол между осью х и образующей ударной волны, то зти условия запишутся в следующем виде: о, (Я = 1~, соз р, — и (Р) 1'зз1п Р = аз — — У~~ соз'р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
