Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 52
Текст из файла (страница 52)
За ось х выбирается ось симметрии тела вращения, ось у нормальна оси х в меридианной плоскости, 9 †' угол между рассматриваемой меридианной плоскостью х, у и некоторой фиксированной меридианной плоскостью. Запишем уравнение (1.1) в проекциях на оси цилиндрических координат. Заметим, что проекции скорости частицы газа на оси цилиндрических координат х, у, 9 представляются соответственно в виде: Поэтому для ускорения частицы газа получим выражение: „— = х ! + У! + УО 11 + УО 11 + х — + У вЂ” „-+УО-„— Из векторного анализа известно, что сд ~ — — О, а1 — =Й, — = — 6).
а) ' ак ° ж ' а! На основании этих соотношений предыдущая формула для уско- рения перепишется в виде: до аох !' аоу ов~ 1 а 2 '! — = =!+ — ~)+ (уо ) ~. а! = а! ! аг у ~ у а! е (1А) Таким образом, для проекций ускорения на оси цилиндрических координат получим: Если з — дуга какого-нибудь направления, то проекция градиента давления на это направление выразится формулой: (йгаб р)О = — Р.
(агабр)х= Р. (агаор) = Р, (дгабр)в=+. (1.6) Проектируя теперь векторное уравнение (1.1) на оси цилиндри- ческих координат, на основании (1.5) и (!.6) получим: ао» 1 др аоу ое 1 др и ! ар —" = — —, —" — — = — — —, — (уо ) = — — — . (1.7) а! р дх' Ж у .
р ду' Ш е р дЕ Если в этих уравнениях раскрыть полные производные, то при- дем к следующей системе уравнений Эйлера, написанных в ци- линдрической системе координат: дох дох дох — о+о — +о — + ду ' дх У ду ов дох ! дР у дн р дх доу ов 1 дР доу доу доу Ое — +о — +о — +— дг хдх Уду у (1.8) ае у р ау дое дое дев Ое — +о — +о + д1 х дх У ду у дое Оуое 1 ! др ае+ у р уае 362 Но элементы дуг цилиндрических коордийат равны !(х,с(у, у!(й и поэтому для этих направлений имеем: Перейдем теперь к выводу уравнения неразрывности в цилиндрических координатах. Выделим в пространстве, занятом текушим газом, малый объем АВСРА'В'С'О' посредством двух близких плоскостей х = сопз1, х + дх = сопз1, двух близких цилиндрических поверхностей у = сопз1, у + ду = сопз1 и двух полуплоскостей 6 = сопз1, 6 + Ы 6 = сопз1 (рис.
84). л Ф' Рис. 84 р дхс(ууп6, поэтому изменение этой массы за время й будет равно: д — (1 х(у у(Е. Через грань АВСР внутрь объема втекает газ с массой р о„у Н6 Ыу п(, через противоположную грань А'В'С'Р' вытекает масса газа — (ро + ( ) Ых)УМс~уй. Через грань АОА'О' пройдет масса (1.9) ро„уд6 йх Ж, а через противоположную грань ВСВ'С' — масса вытекшего газа будет равна — (р;у+ —,(р,у) (у)~О~х(~.
д Масса газа, прошедшего через грань РСС'Р', равна Ров "У "х ог 353 Увеличение массы газа в выделенном объеме за время ог' равно притоку массы газа через поверхность объема за то же время. Масса газа в объеме равна: а масса вытекшего газа через грань АВВ'А' выразится величи- ной д (рое) — (р,+ —,~ 1(В) ) аул. Поток массы газа в выделенный объем через всю ее поверхность равен алгебраической сумме потоков через все грани. Эта сумма равна (1.10) Согласно закону сохранения массы, величины (1.10) и (1.9) долж- ны быть равны друг другу. Из этого условия получим: (1.1 1) это есть уравнение неразрывности, написанное в цилиндрических координатах, которое необходимо присоединить к уравнениям Эйлера (1.8). В дальнейшем преимущественно будем рассматривать осесимметричное течение газа, ось симметрии которого совпадает с осью симметрии обтекаемого тела. При осесимметричном течении картина движения во всех меридианных плоскостях одинакова.
Из этого следует, что до» дох ду др "е = О, дв —— дн — — — д  —— дв — — О, и можно ограничиться изучением течения газа в какой-нибудь одной меридианной плоскости, за которую примем плоскость ху. Тогда уравнения движения (1.8) и уравнение неразрывности (1.11) приводятся к следующей системе уравнений осесимметричного движения: дох дох дох 1 до х+о х+Х, х др х дх У ду р дх ' до„до„дор 1 др — "+о — +о — = — —— дФ «дх оду р ду др — + д) д(ро„) д(ро„) ор — "+ — '+р — '=О дх ду у К этим трем уравнениям необходимо добавить уравнение, отно сящееся к энтропии з: дх дх дх — +о — +о — =0 др хдх Уду (1.13) 354 У дро .
д(рору) д (рор) 1 — ~У вЂ” + — + — ) г(хйуйтрй, дх ду до др 1 д(ро„у) 1 д(рое) д(ро.) др + у ду + у дн + дх ! г (1.12) н уравнение состояния, которое для совершенного газа определяется формулой р=врт. (1.14) Напомним, что уравнение (1.13) выражает тот факт, что энтропия рассматриваемой частицы газа остается постоянной при ее движении, если не учитывать трение и теплопроводность. Пять уравнений (1.12), (1.13) и (1.14) содержат шесть неизвестных параметров движущегося газа: о, о, р, р, з, т. Но, как показано в главе 11, для рассматриваемого здесь совершенного газа имеется зависимость которая и замыкает систему дифференциальных уравнений.
ф 2. Характеристики уравнений осесимметринного установившегося движения газа В случае установившегося движения из (1.12), (1.13) и (1.14) получим: дох дох ! др о — + о х дх аду р дх' ди до„! др о — +о — = — — —, "дх Уду . р ду' др др 1дах до ох ! о — +о — +р( — + — + — 1=0, "дх Уду !дх ду у/ (2.
1) дх дх о — +о — =О, дх Уду р=врт. Принимая во внимание определение скорости звука а и четвертое уравнение этой системы, уравнение неразрывности можно представить в виде: др др /дох дох Руй о — +о — +ра' ~ — + — + — 1=О. х дх Уду (,дх ду у! Исключим из этого выражения производные от давления с помощью первых двух уравнений системы (2.1), в результате получим: Согласно уравнению Бернулли, вдоль линии тока имеет место дифференциальное соотношение оп'о + Ж = О, где о — модуль скорости частицы газа.
В дальнейшем рассматривается движение газа с постоянным теплосодержанием (о, соответствующим состоянию покоя. В противном случае уравнение Бернулли имело бы вид: ой — +1=1,Щ а дифференциал от него записывался бы так: По первому закону термодинамики Тйз = Ж вЂ” Р . Р Из последних двух выражений легко установить, что при (о=сопз1 — = — оНо — Т~(з, др Р отсюда 1 др дох доу дх 1 др — — = — о — — о — У вЂ” Т вЂ”, —— р дх " дх У дх дх ' р ду дох доу ду = — о — — о — — Т вЂ”. «ду Уду ду' Подставив зти выражения для производных от давления в правые части первых двух уравнений системы (2.1) и присоединив к иим уравнение (2.2) и уравнение состояния, получим: /дох доу1 ду — Π— — — — Т— х '1ду дх) ду (2.3) до„ оуоу + — =б, р=крт; у четвертое уравнение системы (2.!) следует из первых двух уравнений (2.3,.
Из этих же двух уравнений следует, что условия постоянства энтропии з во всех точках пространства, заполненного текущим газом, эквивалентно условию: доо доо ду дх которое выра кает условие отсутствия вихрей, т. е. потенциальности движения. Как отмечено выше, для совершенного газа, который здесь рассматривается, — =( — ) е', Т= (2.4) Система уравнений (2.3) и (2.4) является замкнутой. Для случая изоэнтропического течения, согласно уравнению неразрывности (третье уравнение системы (2.3)), потенциал скорости р будет удовлетворять уравнению: д*т д'т г дгт а'ог (и о ) д„, 2о,"г а а + ( и " ) В * + = О (2 6) Введем понятие функции тока осеснмметричного течения независимо от того, будет ли это течение изоэнтропическим или нет. Функция тока для осесимметричного течения определяется совершенно аналогично функции тока в случае плоскопараллельного течения газа.
Уравнение неразрывности при осесимметричном движении можно записать так: д (ро,у) д (рогу) — О, у дх из этого уравнения следует, что существует функция ф (х, у), удовлетворяющая условиям: дф р дф р — = — — о у, — = — о у (2.6) дф дф дх до — йх+ — Ну = О, или, согласно (2.6), — о е(х + о„пу = О 357 где р, есть некоторая характерная плотность. Для конкретности пусть это будет плотность в точке с нулевой скоростью при аднабатическом непрерывном торможении набегающего однородного потока. Вдоль линии ф(х, у) = сонэ( имеем: откуда ох ох Таким образом, вектор скорости является касательной к линии й(х, у) = сопя( в каждой ее точке, т. е. эта линия совпадает с линией тока; отсюда и название функции тока. Очевидно, при осесимметричном движении линии тока образуют поверхности вращения.
Расход газа между этими поверхностями, проходящими в плоскости х, у через точки А и В, определяется формулой: пт = ~2кУР(х(У вЂ” оу"х) = 2 яре~И = 2кре(Фв — Фл) А л Таким образом, как и в плоском течении, расход газа пропорционален разности фв — (~л . Нетрудно проверить, что при потенциальном осесимметричном движении газа линии тока ф— = сопи( ортогональны эквипотенциальным линиям р = сопи(.
Можно было бы составить уравнение для функции тока (точнее, для некоторой функции, связанной с функцией тока квадратурой)*, однако на этом мы не будем останавливаться. Перейдем к выводу уравнений характеристик осесимметричного движения газа**. Вначале рассмотрим изоэнтропическое движение. В этом случае потенциал скорости удовлетворяет уравнению (2.5). Характеристики этого уравнения мы получим из 'рассмотрения задачи Коши, которую сформулируем следующим образом. Пусть на некоторой заданной кривой Ь в плоскости х, у заданы первые производные функции р(х, у) по координатам х, у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
