Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 50
Текст из файла (страница 50)
в) У в1пЯ Х '~ ' в(х= ~А~д. ав ов (4.4) 1 в в+1 )в — 1 в „, ав Так как з(пва = 1+Ев ' 2 2 в!пвв имеем (напомним,что скорости отнесены к а,): ! + вв 1+: св в -1- 1 (4.5) Преобразуем теперь выражения, стоящие в правой части (4.4). Заметим, что так как с!ф = р (ив(у — и(х) вц в(У +, Т- с1да в — 1 !) (! 1 вв) ! ! — вв) и вдоль характеристик „вЂ” „= [я(р ~ а), то, относя скорости к критической скорости потока, получим: с[ф =р а Р [и[йф ~ а) — о]с[х. ' Р„ (4.6) Таким образом, учитывая (1.9), получаем: ~!к(3 ~ а) а у у' — а' а — 1 ~ р ! [и — С!Я(Р~ а) О][и!И(р ~а) — О] ао ОС Имея в виду выражение для т в (4.5) и замечая, что "= — '2'('+'- )='2'(Ы вЂ” "- ') получим аУЪ" — а' Е(1+Р) !к(3 ~.) [и — о с!ц (р ~ а)] [и !К (Р ~ а) — о) ос[с!ц 'Р' — с!я (р ~ и)) [с!ар — с!К(3~а)] 4.7 Мп ро!вфла) Мп (3 ~а) а!пср[о!пса — о!пср] ос[~о!па][~о!па] оса!пса КРоме того, из уравнения Бернулли получаем: ис+ оа ар а+! — + 2 Р 2(и — 1) (а — 1)р а со ° Р 335 Преобразуем теперь еще один множитель в выражении А, а именно: откуда, имея в виду, что~ = „, получаем, Р р а ( — ) 1 1 (4.8) а — 1Р 1+1 Наконец, имея в виду, что з!пса = 1 Р .
1 1 З1П Г 1 + с!К~~ 1 + Р, ЯП а = 1 + с!ай а 1 + Р получим: й — 1 1 + — Ей сз з!пса 1+Е (!+Е)(!+Р) а — 1 !+а+ ! Е 1 Есс 1+Р 1+Р Напишем теперь окончательное выражение для Аьа. З вЂ” 1 1 1+з+1Р 1 РР Е(1+Р) А!л— 1 д) з(з:)) — з- ! 1+ Е' 1+ Р ! -Е'Р 1 1+ — Р Гг+ 1 с(й — 1) г" 1+Р Уравнения характеристик в новых переменных запишутся в виде: 2 Р (1+ Р) ИЕ Е (1+ Р) с(Е ~ , , ~ „ , сЬ =- О. (4.9) (а+1;(!+е)~!+у „( 1Е) Введем функцию тока, отнесенную к произведению плотности набегающего потока на критическую скорость звука. Тогда с(ф = Р (и (д (Р ~ а) — о) Ых= — 'и ((д (Р ~ а) — (д Р) с(х.
Рсс Ра Подставляя сюда выражения ! и 1д(~ ~ а), получим: Ро 1 Г' ' 1 1+Р 11 Р'1+Е' 1+Р 2 « — 1 ( ! «1 (Е~ С) 1 + «+ ! Р (1+(2) (1+ Е2) «+1 или окончательно 3Г (1 + Р) (1 + Р) — ! 2(« — 1) (1+ «+1 Е2) тогда будем иметь уравнение 1 ДЧ1~~+ Р! !* «+1 2(« — 1) (Е т Е) ~1+ «+ 1 Е' ~ (4.10) Перепишем уравнения характеристик и условия на них, беря за независимую переменную в одном случае х, в другом случае у. Характеристики первого семейства (независимая переменная х) могут быть представлены в виде: ЕЕ+1 Иу = — ((х, 2 Р (1 + Р) Ж Е(1+ Р) («+ 1) (1 + Е') (1 + 2Е!) «(« — 1) (1 + Е2) Р'(1+ Р) (1 -1- Р) ((х е (Š— Е) (1+ 'Р)*'*" (4.11) где. х =— « — 1 «+1 ' 23 зама! м 682 Чтобы в расчетах не иметь дела с вычислениями значений трансцендентных функций, рекомендуем ввести новую функцию тока %' по уравнению: 1 ((ч" = А е (((1, или сокращенно ((у = т<(х, А — К((Š— Р<(з = О, <РУ = УНх.
2 Р (1 + Р) (<Е Е (1+ Р) (<3 (<! + 1) (1 + Р) (1 + хР) а ()( — 1) (1 + Ех) ! (К+ 1) (1 + хЕ!) (4. 12) или сокращенно <(х = пи(у, Ж вЂ” К((Š— Р<(з = О, <1!Р= (7<(у. Характеристики второго семейства (независимая переменная х): <(у = — ((х, К вЂ” 1 Е+Е !(, (( ((*(((* ( (((+(( й(О О( КР(О( Р( ((( — ((((+Р( ! (Е + Е) (1+ хР) (4.13) или сокращенно ((у = л((х, !(('. + К<(Е+ Р<(з = О, (1<у = — Т<(х.
Характеристики второго семейства (незавнсимая переменная у): <(х = — <(у Е+Е К вЂ” 1 (А + 1) (1 + Р) (1 + »Р) а (а — 1) <1 + Р) дх (((((.((((~Я(( (К вЂ” 1) (1 +»Р) (4.14) Характеристики того же первого семейства при независимой пе- ременной у и меют вид: или сокращенно с(х = иду, с((. + Кс(с + Рс(з = О, тЦ = — Тйу. Выпишем введенные обозначения: йс-.) 1 1 сс — 1 1 !п = — ' о=в — 1+й ти Л 2 Р (1+ Р) ! (1 ). 1») (Уг+ 1)(1(-Р)(1+х6») ' а(ь — 1)(1+$») и — ""ти"+'~, и=и, т-и ' — ',т=т .
+1' (8 — О(1+ .Р) !4.15) Используя приведенные выше уравнения, можно решать все задачи газодинамики сверхзвуковых скоростей. Ниже мы даем схему решения задачи об обтекании заостренного тела сверхзвуковым потоком. Для простоты решения рассмотрим случай обтекания симметричного профиля с нулевым углом атаки (рис. 80). Юх Рис, 80 23» Рассмотрим случай, когда тело обтекается с присоединенной ударной волной.
Некоторый малый участок носовой части тела заменим касательной АС, проведенной в точке С (рис. 80). Тогда, очевидно, указанная часть тела будет представлять собой плоский клин и параметры потока внутри треугольника АВС, где ВС является характеристикой первого семейства, будут постоянными и известными из решения задачи об обтекании клина 8 3).
Внутри указанного треугольника движение будет безвихревым, позтому чт отличается от ф лишь постоянным множителем; причем значение Е на СВ будет определяться соотношением )тсо У «и (И тт а, 1 — 18 8, с(и И, Здесь ~,— полуугол раствора профиля, х,— абсцисса точки С, ~, — угол наклона прямолинейной части ударной волны. Формула (4.16) выводится чисто геометрически, если воспользоваться законом сохранения массы и вспомнить, что ф равно отношению секундного массового расхода потока к р.,а . Опишем схему численного расчета, а затем выведем соответствующие формулы и попутно сделаем необходимые указания о практическом осуществлении численного расчета.
На рис. 80 приведена картина характеристик. Расчет начинаем от характеристики ВС. Для этого разбиваем "~ ее на )У равных частей. Получим координаты точек С, С„ ..., ) Сл з, В. Как известно, во всех этих точках скорости постоян- .. ны. СлеДовательно, бУДУт постоЯнными и 1 = 1, = тягло = с1да,. Величина угла Маха а, определяется из таблицы реше- . ния задачи об обтекании клина. Первая задача, которую нам необходимо решить, — это определение параметров потока в точ- !~ ке пересечения характеристики второго семейства,. исходящей из,' точки С„ с жесткой границей в точке 1. Решение этой задачи '" в прежних переменных было дано выше, и оно нами было на-. звано операцией 2'.
Указанная нами операция с достаточной точ- ' ностью может быть проведена только для не очень больших скоростей. Теперь мы изложим методику решения этой зада-; чи, годную для любого случая. Заметим, что, зная параметры потока в точке 1 стенки, мы можем их определить во всех точках 2, 3, 4,..., )У, лежащих на пересечении отрезков характеристик второго семейства, исходящих из точек С„ С„ ..., В, н отрезков характеристик первого семейства, исходящих из точек 1, 2, 3,..., )Ч (рис. 80, точка б). Эта задача является типичной и нами была выше названа операцией 1. Очевидно, после того, как будут найдены параметры потока в точках 1, 2, 3,..., Ж, их можно определить и в точках 7, 3, 9,...
Нетрудно сообразить, что описанными расчетами можно определить параметры потока в достаточном количестве точек треугольника СВ0. Для того чтобы вести расчет дальше, нам необходимо найти параметры потока в точке В, ударной волны, достаточно близкой к точке В. Точку В, находим как точку пересечения ударной волны с характеристйкой первого семейства, исходящей из точки 1. характеристики В0. Точку Е необходимо выбрать так, чтобы АВ, по величине была равной отрезку Вб характеристики В0.
Зная параметры потока в точке В„ мы можем найти их во всех точках характеристики В,0,, применяя операцию 1 (т. е. зная параметры потока в двух точках,, определяем их в третьей точке), за исключением самой точки 0г Определение параметров в точке 0, есть задача, которую мы имели при определении параметров потока в точке 1.
Расчет можно продолжить дальше, последовательно определяя параметры потока на характеристиках второго семейства, исходящих из очек ударной волны. Например, следующей характеристикой будет ВРм очевидно, что, продолжая расчет,мы найдем параметры газа во всех точках контура профиля. Если есть необходимость, то параметры потока можно найти и в области, лежащей за обтекаемым телом. В данном случае надо учесть, что на хвостовой очке тела образуется ударная волна, которая на рис.
80 показана линией ОМ. Причина возникновения хвостовой волны та же, что и при обтекании угла, меньшего 180'. В данном случае механическая причина появления ударной волны — встреча двух сверхзвуковых потоков под некоторым углом друг к другу. Теперь дадим решение трех задач, к которым свелась наша задача обтекания заостренного профиля. Идея использования характеристик для решения задач (в данном случае задач газодинамики) основана на замене дифференциальных уравнений характеристик уравнениями в конечных разностях.
Такую замену можно осуществить различными способами. Практика использования численных методов показывает, что если имеем систему дифференциальных уравнений вида ~ Афи, = 0 на некоторой линии, то между двумя близкими точками а н Ь этой линии можно заменить эту систему линейной системой: 1 — (А„+ Ам) (им — им) = О. (4.17) ~аралаериппака го семеаппба Здесь Аем Ам, им, им — соответственно значения Аь и, в точках а и Ь. Выведем теперь уравнения в конечных разностях для решения задачи об определении значений, гвходящих в наши уравнения ф, з, х, у, в точке д.
Эта г точка является точкой пересечения двух характеристик различ- ~араклгирустика ных семейств, исходящих из двух ~ 1-~0 сситсп15а близких точек 1 и 2, которые не лежат на характеристике одного семейства (рис. 81). Если углы наклона характеристик не близки к нулю и то можно пользоваться любыми системами уравнений из выше написанных, только беря одно из них из 1-го семейства, а другое — из 2-го семейства. Ниже мы рассмотрим четыре особых случая, когда углы наклона характеристик в плоскости х, у будут близкими к — или же к нулю. В этих случаях всегда надо за независимую переменную принять х или у так, чтобы коэффициенты диффе- 34! реициальиых уравнения были малыми. При таком выборе переменных мы избегаем расчетов, где пришлось бы вычислять малые разности больших чисел.
1-й с,йучай. Пусть угол наклона характеристик первого семейства к оси х близок к — (т. е. $ — !.=О), а второго семейства — к 2 нулю (т. е. 2!",— 1=0). В этом случае будем пользоваться семействами (4.12) и (4.13). Заменяя дифференциальные уравнения конечно-разностными уравнениями вида (4.17), получим: 1 1 уз — уй = 2 (пз+ пз)(хз хй)1 вв вй+ 2 (Кз+ Кй)(18 — ййв)+ + —,(Рз+ Рз) (зв — зй) = 0; 1 хв — — — (пч + 8 ) (У вЂ” У,), ~3 ! 2 (Кз+ К1) ( 3 $!) 2 (Рв+ Р1) (38 31) 0 1 1 Ч"в — %"з = — — (Т, + Тв) (хв — х,). 1 Решим эту систему 1 1 Х1 — 4 (321+ Л!3) (Лй+ Лй) Х2 + 2 (И1+ 323) (Уй У1) Хв— 1 4 (Й1+ Лйз) (Лй+ Лз) 1 Уй Уй + 2 (пз + пз) (хз хв) 1 1 ~2 — ~+ 2 (Кз+Кй)!2+ 2 (Кз+КХ)! 28— 1 1 2 (Кв+К)+ 2 (Кв+Кй) (4.18) 1 1 (! в + Ю (зз — 12) + 2 (! З + ' 1) (Зз — 31) 1 1 2 (Кв+К1)+ 2 (Кв+Кй) ~3 ~2 2 (Кз+ Кв)( 3 ~2) 2 ( 3+ 2)( 2 2)й ! 1 1 18 12 (72+ 18)(хз хй) 38 3( 3)' В этих уравнениях индексы 2 и 3 при коэффициентах л, лв, К, Р, Т означают, что эти коэффициенты взяты для значений 342 своих аргументов $, 1, соответственно равных $„(в, $в, ~з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
