Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(1.8) Рассмотрим случай движения, когда энтропия меняется при переходе от одной линии тока к другой. Как будет показано ниже, в таком случае движение не будет потенциальным, т. е. будет завихренным. Введем функцию тока дф дф ри = —; ро= — — „ ду ' дх (1.4) Подставляя и, о из (1.4) в уравнение линии тока, получим, что вдоль линии тока Ф = сопз(. В самом деле, Дх ду 1 дф 1 дф р ду р дх или — 1(х+ — о(у = О; Ф = сопз1 . дф дф дх ду С другой стороны, интеграл энтропии показывает, что — ру — = 1(Ф).
Интеграл Бернулли вдоль линии тока в силу (1.5) дает; Уо йр + = (о(Ф) о 2 (й — 1)р (1.5) (1.6) или — + р — 'о(т) 1" а7(ф) «-! (1.7) где Второе уравнение движения напишем в форме Громека-Лемба: 1 др 1 дуо / до ди 1 — — = — — — — и р ду 2 ду ~ дх ду ! ' до ди Вводя компоненту вихря и = — — — , получим: дх ду (1и8) ЗОО 111 д!'о 1 др1 м= — — — ° — + —— и 1 2 ду р ду ) Подставляя в последнее выражение Уо из (1.7), р из (1.5), заменяя — = — — и подставляя сюда — из (1.4), получим: д д дф дф ду и ф ду ду 0тсюда видно, что когда Г и 1и не зависят от ф, то движение будет потенциальным.
Нас интересует случай, когда (и=сонэ! во всей области движения. Тогда верна следующая теорема: изоэнтропическое движение потенциально и, наоборот, потенциальное движение обязательно изоэнтропично. д'о Итак для случая — ' = 0 получим: > Фф ы с— ра ~1 а — 1 и( (1.О) Из (1.7) будем иметь: 1 1и (а 1) Уй (а — 1)1" М(И 2М(Ф) ) =Г или 1 уз 1» Р = Ри(Ф) 1- — ~ уз ° (!.10) где Р— максимальная скорость потока.
Заметим, что энтальпия торможения находится по формуле а Ро (" 1) Ро = (о ° Кроме того, = 1()), го следовательно, (1.11) ди ди — — — =ш дх ду (1.!2) д(Г и) д(Г.) 0 дх ду Найдем характеристики этой системы. зо! Из этих уравнений видно, что кроме неизвестных величин — компонент скорости и, о, — в нашей задаче содержится еще одна неизвестная функция Г(ф). Для разработки методов решения задачи выведем уравнения характеристик.
Так как по (1.10) р определяется через и, о, задача о движении газа сводится к интегрированию системы уравнений: По определению характеристическими являются такие направления, вдоль которых существует линейная связь между дифференциалами искомых функций и, о. Итак, если направление Ф л (1.1З) является характеристическим, то зЬ = АзЬ+ Вз»х.—- (1.14) Преобразуем уравнение неразрывности (второе уравнение (1.12)) с помощью (1.10): у2 уз ду + дх + с 2 из 1 да а — 1 у2 уз) дх (а — !»( ) а — 1 !я2. уз / ду » вЂ” '" =0.
С учетом первого из уравнений (1.12) найдем: + — 2 — + аз), ди Ь ди У / ди ду М дя М ~ ду где Е=1— й — 1 у2 уз зз М вЂ” 1 — " .Ж= 2ио ии й — 1 уз уз ' (»з !» (у2 из) а' Очевидно, выражение (1.14) может быть записано в виде: ди ди 1 ди У (' ди 1 Л Ь ди д +Л д =А из+ — +Л вЂ” 2 — +зз — —.,— ]+В. Приравнивая в этом уравнении коэффициенты при степенях —, —, получим: ди ди дх ' ду Л А». 1= —— М Л = А ~1+ Л вЂ” '~ ), А|а+ мЛ вЂ” 1+В = О. (1.15» ЗО2 Исключая А из первых двух уравнений, получим квадратное уравнение для Л: Е Лз + 2»У Л + М =- О, откуда, подставляя выражения для Е, Л~, М, получим: — ио ~ а У уи — а' (1.16) а — 1 где а = — !' — 1" ~, как известно, является скоростью звука.
Из (1.16) видно, что для случая дозвуковых скоростей й (а характеристические направления отсутствуют. Для случая же У ) а, т. е. для случая сверхзвуковых скоростей, существуют в каждой точке два действительных характеристических направления. Найдя коэффициенты А и В из (!.15) и подставляя их в (1.14), получим связь между дифференциалами скоростей вдоль характеристических направлений. Так как в каждой точке имеем два значения Л, то из указанных уравнений получим две связи между лп, ло. Эти связи называются условиями на характеристиках. В пазовой динамике их называют характеристиками в плоскости годографа скоростей. Из (1.15) получим: А= — —, В= — в~1+ — ) М М ! ~У ЕЛ' = ЕЛ ~ М)' Следовательно, подставляя в (1.!4) значения А и В, будем иметь 1 В Но = — ди — — Йх А А или (о= — — ( +в~1+ — ) (х.
ЕЛ ЛУ1 М м) Подставляя сюда значения Е, М, У и значение у' = Л из (1.16), получим а3Г ои — а' 1 + ° —,а лх а~ — и~ уз ! а' — ии ло = — — у,л аи аи ои Так как у~ у2 аи из ° то 1 аи' ии — аи ло = — —,ди+ у О)йх Ук! аи — о' ьэ (1.17) В этом уравнении верхний знак н первый индекс соответствуют характеристике 1-го семейства, а нижний знак и второй индекс— характеристике 2-го семейства. Докажем теперь, что (1.16) и (1.17) эквивалентны системе (1.12). Из (1.17) непосредственно получаем: до до 1 ( ди ди '! а У У! — а! —.!(х+ — !(у= + —, — !(х+ — Ну ~ + о! у !1х. дх' ду у' 1 дх ' ду ) а! о! !Л 2,1 Поделив все члены предыдущего выражения на Ых, получим систему: Умножив первое из зтих уравнений на у, а второе нау, ивычтя второе уравнение из первого, будем иметь: до ' до ' ди ' ди ' аУ о! — а! у у= у+ у2ыуу дх ! дх ! ду ! ду х а! ! ! 2' нли Так как ау о' — а* у — у,= — 2 а! из а' — о' а' — «' то окончательно получим: до ди — — — = Ю дх ду т.
е, функции и, о, определенные из характеристических уравнений, удовлетворяют первому из уравнений движения (1.12). Если выше после умножения на у и у, сложить уравнения (1.17'), то получим: В до до ди ди (У! + Уз) дх + 2 У! Ух д — — — 2 дх (У! + У!) д или ди 2ио ( ди дх а! — и! ( ду до а! — о' до дх ) +2 — =О, а' — и' ду или (а — и-1 — — ио ( — + — ) + (а' — о') — = О . ! ' ди l ди до ! х до дх ( ду дх ) ду 304 до до 1 ( ди — + — у, = — --~ — + дх ду ! у ( дх до до 1 ( ди — + — у= — —,— + дх ду з ' ( дх у! ди ! аУ У! — ах (1.17') Легко убедиться, что это выражение представляет собой преобразованное уравнение неразрывности. Таким образом, доказана эквивалентность уравнений характеристик уравнениям движения (теорема эквивалентности).
Дадим теперь геометрическую интерпретацию характеристическим дифференциальным соотношениям (1.16) и (1.17). Пусть функции и =и(х, у), и=о(х, у) (1.18) таковы, что они обращают в тождество (1.!7), если — „опредеку ляется из (1.16). ерасуака сеаейстаа кмерасаака секкейсмаа Х еа Рис, 52 Предположим, что систему (1.18) можно однозначным образом разрешить относительно х, у: х=х(и, и), у = у (и, и) . (1.19) Исключая х, у из (1.17) и и„п из (1.16), можно получить четыре обыкновенных дифференциальных уравнения.
Очевидно, их решения в плоскости х, у и, соответственно, в плоскости и, и дадут два семейства кривых. С геометрической точки зрения, теорема эквивалентности означает, что решение уравнений характеристик дает отображение некоторой области плоскости х, у на область в плоскости и, о такое, при котором точки кривых, определяемых дифференциальным уравнением (!.16), соответствуют точкам кривых, определяемых дифференциальными уравнениями (1.17). Таким образом, точкам какай-либо характеристики плоскости х, у будут соответствовать точки характеристики плоскости и, о (рис. 52). Так. например, все точки характеристики АВ плоскости х, у будут соответствовать точкам характеристики А' В' плоскости и, п. Очевидно, что указанное соответствие может быть установ- 21 Заказ аа аМ 305 фу. Безвихревое сверхзвуковое движение газа Если ввести полярные координаты, уравнения характеристик в плоскости годографа скоростей могут быть проинтегрированы в конечном виде.
Из (1.17) получаем — (ав — ив) аи аи а'о (2.1) — ии т- а )Г 1п — ав у ', Введем полярные координаты й и р: и=У соз р о=1'яп р, (2.2) а также угол Маха а: а япа =— (2.3) Пользуясь (1.16), покажем, что угол а является углом между характеристикой и линией тока.
Для этого направим ось Ох по линии тока, тогда о = О, и = $', и, таким образом, ау а в1па — = 1йА — + — + — + 1яи. ах У Ув — ав 3/"1 — в1пв а (2.4) Из этой формулы следует, что если угол между линией тока и одной из характеристик положителен и равен а, то угол линии тока с другой характеристикой по абсолютному значению такой же, но по знаку обратный. Это указывает, что линия тока делит пополам угол между характеристиками (рис.
53). лено различными способами и зависит от заданных граничных условий. Так как соответствие должно быть однозначным, то точка пересечения характеристик плоскости х, у будет соответствовать .точке пересечения соответствующих характеристик плоскостях и, о.
На рис. 52 точка М плоскости -х, у будет соответствовать точке М' плоскости и, о. Таким образом, мы установили важное свойство характеристик, а именно: Точка пересечения характеристик одной плоскости х, у соответствует точке пересечения соответствующих характеристик другой плоскости и, о. Это свойство характеристик является главным, позволяющим решать все задачи для гиперболических уравнений.,Мы назовем его теоремой соответствия. Из рис.
63 видно, что составляющая вектора скорости по нормали к характеристике равна: (/„= )/5(П а . Подставив сюда выражение (2.3), получим: (2.6) т. е. указанная составляющая равна скорости звука. Если в (1.16) ввести (2.2) и (2.3), получим: в(у совр 5!0~~5)п» сов» (2.6) Сов»р — 5!П а //ееетла ейее/йа е/аеп е/ее/и ейее/йа Рпс 53 Покажем теперь непосредственным преобразованием, что правая часть (2.6) равна (и(6+ а), В самом деле, ! совр 5!0~~5(па сова 2 (5!026~51025) сов» !! — Мпв а 1 — (С05 2 р + С05 2 а) сов((! ~ а) 5!и(!!~ а) 0 сов (е + а) сов (й — а) Таким образом мы доказали справедливость уравнения — = !6ф+ а).
(2.7) Если ввести полярные координаты, то (2.1) приводится к виду: и'()/з!п Р)+ с(6(~ + и) с(()/совр) = О, откуда с(У 5!п ~+ с!я(р ~ а) сов Е У сов !! — с!И (е ~ а) 51п !З 21* Если в правой части этого выражения котангенс заменить через отношение косинуса к синусу, привести к общему знаменателю и воспользоваться формулами для синуса и косинуса разности углов, то получим: д~= + с1яа —, аУ (2.8) Так как угол Маха зависит только от величины скорости, то (2.8) является дифференциальным уравнением с разделенными пе- ременными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
