Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(2.20) 288 Так как в уравнениях 17 Я (2.19), (2.20) величины иго л и„, могут быть определенй интерполированием значения соответствую- 14 Ю щих величин в точках 11 л' и 22, то неизвестными в 47 них являются семь вели- Р Р2 Л чин и„„и„„, и„,, и„„ ил Р Ьм. Рзо Рзо ТаКИМ ОбРазом, задача определения значения неизвестных в ао точках 21 и 22 решена. Прн проведении расчетов следует уточнить коорди- Р наты точки 21 путем повРис.
46 торного расчета с использованием полученного значения и„„. Очевидно, не представит трудности вычисление значений и„, и, во всех точках, за исключением точки 31 и 32. Координата точки 31 определится как точка пересечения характеристики, исходящей из 32, и ударной волны под наклоном Ьо,: хм — хоо = — а„(1о, — 1о,), х„— х„= Ь„(1„— 1„). Для определения значений параметров потока в точке 31 и 32 составим систему, аналогичную (239) и (2.20), с той лишь разницей, что 8 в точках 21 и 32 не будут равны нулю. Так, например, и†! ') о-! 1 !Ро! Ро3 Ьм= о (1+и о,) х„— хо! ~ о Р!! ~ (1+ и,о,) — — о Ьм. ° о 6 Так как координатой точки 32 мы задаемся, то зту точку следует взять с абсциссой х„= хоо тогда Ьоо = Ьо!. Заметим, что равенство 8„ = Ьо! следует из того, что 8 зависит только от х.
Таким образом, мы показали, что задача о движении газа впереди поршня решается численным методом. В одном случае задача решается аналитически, а именно, когда поршеньскачком приобретает скорость о„остающуюся постоянной. Полагая в (2.!1) и, = оо и подставляя значение Ь в (2.13), получим: РоР! = Ро ' Р! — Ро Как нетрудно видеть, мы получим квадратное уравнение отно- Р! Ро ", сительно -=' . Если обозначить через Л, = †', то получим Ро Ро Л и 2 2 + + 2 ".+1,(2.2)) Ро о.+1.( Л и+1+Л о+1+Л При решении квадратного уравнения перед корнем мы поставили ЗНаК ПЛЮС, таК КаК Прн Ло-+ ОТНОШЕНИЕ Р' ~ О И дОСтИГаЕт Ро своего максимального значения, равного х =— )о+1 А — 1' Зная Р' из (2.12) определим Р! , следовательно, из уравРо Ро пения состояния находим †' и, наконец, из (2.8) — скорость о ударной волны Ь.
Таким образом, задача решена до конца. 287 йь 3. Обыкновенный взрыв ала распад проазвольного разрыва Кроме ударных волн, где разрывы параметров газа связаны некоторыми соотношениями, бывают явления, в которых разрывы параметров газа не связаны никакими соотношениями. Так, например, если по какой-либо причине «лопнет» оболочка газа, находящегося под высоким давлением, и при этом температура газа внутри оболочки будет равна температуре атмосферы, то образуется произвольный разрыв давления. Если же температура газа отлична от температуры окружающей среды, то образуется пппгрьнпппьь проигроньного рпьрнра Зор ор нпггрпногньь пппнипнар. ного рагрьаг Рис. 47 разрыв как давления, так и температуры, а в общем случае и плотности.
Движение, возникающее после образования произвольного разрыва, мы называем обыкновенным взрывом. Обыкновенный взрыв называют также распадом произвольного разрыва. В газе произвольный разрыв не сохраняется, а происходит мгновенное выравнивание давления и скоростей по частицам контактирующей поверхности. Но указанные частицы обоих газов, как будет показано ниже, образуют поверхность разрыва плотностей и температур. Так как эта поверхность разрыва находится на одних и тех же частицах газа, то ее называют волной стационарного разрыва. Скорость распространения волны стационарного разрыва, очевидно, совпадает со скоростью частиц.
Малый элемент поверхности произвольного разрыва можно рассматривать как плоскость, и движение этого элемента в начальный момент может рассматриваться как одномерное. В частности, движение газа будет одномерным, когда мгновенно удаляется диафрагма, отделяющая два газа, находящихся в двух половинах длинной трубы постоянного сечения. В дальнейшем мы рассмотрим именно такой одномерный взрыв (рис. 47), На рис. 47 показана картина обыкновенного взрыва, когда рз » р,.
Очевидно, ударная волна будет двигаться в сторону 288 меньшего давления. Для того чтобы понять 'указанную картину движения, следует заметить, что движение перед стационарным разрывом и за ним ничем не отличается соответственно от движения, возникающего перед поршнем и позади него, приобретающего скачком скорость оо. С точки зрения расчетов, в данном случае скорость поршня не задана, зато заданы параметры на поверхности произвольного разрыва р„р,, р„р,. Ряс. 48 Таким образом, совмещая движения перед поршнем и за ним на плоскости х, г, получим картину характеристик, указанную на рис.
48. Как видно из рис. 47 и 48, картина движения при обыкновенном взрыве следующая. Произвольный разрыв распадается на ударную волну, распространяющуюся по газу низкого давления, и волны разрежения, распространяющиеся по газу высокого давления. Газ низкого давления, сжимаемый ударной волной, имеет постоянные параметры р,, р,, о,, Т„причем Т,)) Т„так как газ низкого давления сжимается ударно. В силу постоянства параметров и наличия высоких температур ударно сжатую часть газа называют горячей пробкой.
Аналогично область постоянных параметров расширяемого газа называют холодной пробкой. Выведем теперь уравнения, из которых определяются параметры движения. В силу тсго, что процесс распространения волн разрежения по газу высоких давлений является обратимым адиабатическим процессом, имеем: <з. ц 289 Кроме того, первый интеграл уравнения движения (1.17) дает: или, так как получим: Рз — Рз(1 + "з ) (3.2) Ударная адиабата Гюгонио дает: Рв ха — — 1 Рв Ро (3.3) Ро Рв х 1 Ро Здесь х, =— на+1 1— давления. Подставляя в где й, — показатель адиабаты газа низкого (3.1) выражения Р' из (3.2) и р, из (3.3), по- Рв лучим: во а — ! оо 1 — —— "о ~ (3.4) Так как Р' — функция, определяемая формулой (2.21), где поРо ложено х = х„и Очевидно, что при задании 1 остальные параметры ударной волны определятся по тем же формулам, что и при движении "о "о Ро , 1 в '~/ Ро Рв 'в ра в ро з / ра ро " Рв Ро 'у а — '~ — 'у а —— Ра Ро Ро Ра то уравнение (3.4) связывает три параметра: 1, Р', 1'.
Если Рв Ра здесь задаться величинами1 и Р', то из(3.4) легкоопределится Ра Р'. Проделав соответствуюацие выкладки, будем иметь: Ро газа перед поршнем. Таким образом, мы показали, что обратная задача об обыкновенном взрыве также решается в аналитической форме. ф 4. Детоссас4ссонньсй взрьсв Как мы видели в предыдущем параграфе, кинематика движения газа при обыкновенном взрыве совпадает с кинематикой движения газа перед поршнем и позади него, если поршень движется с постоянной скоростью, приобретаемой мгновенно.
С этой точки зрения, обыкновенный взрыв тождествен движению поршня бесконечно малой массы, приобретающего заданную скорость под мгновенным действием заданной разности давления р,— р,. Детонациониым взрывом называется явление, обусловленное мгновенной химической реакцией, сопровождающейся появлением ааиврнрайанные йанны Раыана Рис.
49 ударной волны. Ударная волна, поддерживающаяся выделяемой при химической реакции энергией, называется детонационной волной. Скорость распространения детонационной волны обозначим через с'.й. С кинематической точки зрения, детонационный взрыв отличается от обыкновенного тем, что при детонационном взрыве область с постоянными параметрами не примыкает к ударной детонационной волне. Вообще говоря, картина движения зависит от граничных условий.
Пусть, например, взрывчатое вещество— ВВ находится в абсолютно твердой трубе и мы возбудим его каким-либо способом с торца, граничащего с атмосферным воздухом. Тогда за фронтом детонационной волны будут распространяться центрированные волны Римана, которые будут примыкать к области постоянных параметров, остающейся за фронтом ударной волны, вызванной в воздухе расширяющимися после детонации газами ВВ (рис. 49). В плоскости х, г картина движения показана на рис.
50, где для общности мы допустили существование еще одной области с постоянными параметрами р„, о„, Т,. На рис. 50 эта область заштрихована. Как будет видно из излагаемой ниже теории, заштрихованная область не существует, и волны Римана непосредственно примыкают к волне детонации. Индекс «г» у параметров газа должен напоминать, что зти величины относятся к газу, образовавшемуся после детонации.
Аналогично индекс «в» йнауи~о3онн»м Ют»м Римини Рис. 50 соответствует параметрам вещества, в котором идет процесс детонации. Конечно, описываемая нами картина движения в данном случае не так очевидна, как в случае обыкновенного взрыва.
Необходимо указать, что эта картина движения наукой установлена не сразу. В данном случае читателю надо проверить динамически возможность описанной кннематической картины движения. Здесь уместно указать, что физика всегда пользуется методом создания модели движения и дальнейшим ее математическим обоснованием. Возникновение центрированных волн Римана в данном случае легко обосновать автомодомельностью движения, х т.
е. зависимостью параметров движения от отношения — . Автомодельность движения может быть установлена таким же методом, как и в случае мгновенного движении поршня (~ 1). Заметим еще, что непосредственное примыкание центрированных волн Римана к детонационному фронту — общее явление, не зависящее от граничных условий в месте возбуждения детонационной волны. Хотя, на первый взгляд, детонация является чисто химическим процессом, на самом же деле в ней имеют решающее значение механические закономерности. Это объясняется тем, что в процессе детонации большую роль играет механическое движение образовавшихся после детонации га- 292 (4.3) В этом уравнении р, р — давление и плотность любой частицы газа, р„р, — те же величины на фронте детонации. Если обозначить через Я химическую энергию, выделяемую единицей массы ВВ при детонации, то уравнение энергии напишется, очевидно, так: 1.) Рв ~ 2 + Š— ЕВ ~ = Р»О + Г) Рв Я.
(4.4) В силу (4.3) внутренняя энергия единицы массы газа Е будет иметь вид: Е= (4.5) Из (4.4) получим — + " = — "— +Я+Ео. 1) Рг в)Р» Тогда, используя уравнение количества движения: (4.5) х)Р»" = Рв 'Рв и уравнение сохранения массы Рр, = р„(0 — о), (4.7) найдем: + (Р— в) (Рв+Г)Р»о) в(рв+))Рв») 2 (л — 1) Г)Р» АР» 293 зов. Поэтому теория детонации является чисто механической теорией. Для установления закономерностей на фронте детонации и за ним будем исходить из следующего неравенства: (4.1) где а „вЂ” максимальное значение скоростей волн Римана, распространяющихся в газе, движущемся за фронтом детонации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
