Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 38
Текст из файла (страница 38)
е. крыла, сечение которого, вообще говоря, определяется двумя кривыми. Разумеется, толщина профиля должна быть не слишком большой. 252 Следовательно, коэффициенты сопротивления С и С„ будут соответственно равны: Для решения упомянутой задачи сперва рассмотрим задачу об обтекании симметричного профиля при нулевом угле атаки. Очевидно, интеграл с'(Е, ч)дич 91 = р=Д , ~ У (х — Е)' — ~'Ч(у — ч)'+хЧ (3.30) Итак, положим: =Д С,'(Е, ч) дЕЛч д у (х — Е)* — г~ [(у — ч)'+и1 1 + сз(Е, ч) д[дч д У (к — Е)~ — Е' Ку — Ч)~+зЧ (3.31) Это решение, в силу линейности дифференциального уравнения для р, удовлетворяет этому уравнению и условию на головной волне.
В данном случае в боковой области (область Б, рис. 24) р + 0 и нет ограничений для искомой функции в этой области. Тем не менее надо знать С1 и Сз в указанной области для того, чтобы можно было вычислить функцию р. Заметим, что в указанной области С1 = О, а при вычислении второго интеграла надо пользоваться теоремой Красильщиковой-Бабенко.
Аналогичным же образом придется поступить, если в область интегРирования попадает вихревая пелена. Покажем теперь, что подбором С1 и Сз можно удовлетворить граничным условиям на нижней и верхней поверхностях крыла. Пусть углы наклона крыла будут р, и р„. Очевидно, для вархней поверхности крыла имеем: 253 будет решением, удовлетворяющим дифференциальному уравнению и условию на головной волне.
В данном случае функция С(х, у) на крыле определится из условий обтекания ~ — ~ /дт т '1 дх) = — рг'= — яС(х; у), а вне крыла, ввиду полной симметрии обтекания относительно плоскости крыла г = О, будет равна нулю. Таким образом, в (3.30) интегрирование надо вести только по поверхности крыла. В данном случае теорема КрасильщиковойБабенко не имеет места. Пусть теперь имеем обтекание несимметричного профиля под углом атаки. Покажем, что комбинируя (3.12) и (3.30), можно получить решение для данного случая.
с' = — —. ооРо 1 оо с'= —; "оР1 . 1 оо + — + — = — ' К~Р1 КоРо КоР.. я оо оо Р1+РО=Ро ~.Р~ ь'.Р ~.Ь , я 11 ОО Мы показали, как найти С1, Со для различных областей интег- рирования. Таким образом, задача полностью решена. ф 4. Движение тонкого профиля в сжимаемом газе с дозвуковой скоростью Рассмотрим движение тонкого слабоизогнутого профиля в сжимаемом газе под малым углом атаки со скоростью 11, меньшей скорости звука в покоящемся газе. Задачу будем решать в линейной постановке.
Лннеаризированное уравнение для потенциала в системе координат х, г, связанной с телом, имеет вид (рис. 33): (4Л) В рассматриваемом случае М < 1 и уравнение (4.1) зллиптичес кого типа. Граничное условие на профиле по-прежнему записы вается в виде: дт УР дг (4.2) х =х; г =.г~'Т вЂ” М'. Тогда уравнение (4.1) и граничное условие (4.2) примут вид: (4.4) (4.5) д'1 )/Т Мо ' для нижней поверхности крыла— Так как в силу граничных условий средовательио, Ро= 2 " , 'Ро = 2 (М' — 1) — = —; М = — < 1.
дот д'т дх' доо ' ао Перейдем к новым координатам х„г, по формулам: 3 $ (4.3) В дальнейшем будем решать уравнение (4.4) прн граничном условии (4.5). Для удобства условимся в этих уравнениях индекс «1» у координат не писать. Тонкий профиль заменим дужкой, являющейся средней искривленной хордой профиля. Так как рассматривается слабо изогнутый профиль и угол атаки мал, то граничное условие на дужке можно перенести на участок оси х, являющейся проекцией дужки на эту ось (рис.
34). Если 1 есть длина хорды дужки, то координаты этого участка оси х с принятой точностью будут удовлетворять условию: О~~х 41. (4.6) Рис. ЗЗ Рис. 34 Кроме условия (4.5), решение задачи должно удовлетворять следующему условию на бесконечности: — = — =-О при х=., г= .. дт дт дх дг (4.7) Решение будем строить с помощью распределенных вихрей, расположенных на участке оси х (рис. 34). Пусть Т(х) — интенсивность этих вихрей. Тогда интенсивность элемента Л распределенных вихрей в окрестности точки 1 будет равна величине Т($)д1. Этот элемент индуцирует в точке х скорость с(о, которая выражается через интенсивность вихря по формуле Био — Савара с(0 =— 1 т(З)д$ (4.8) Скорость в точке х от действия всех вихрей, очевидно, представится интегралом: 1 (' т($)с% 2и) $ — х о Направление вихрей берем против часовой стрелки, и скорость о будет направлена вниз вдоль отрицательной части оси г. Поэтому, согласно граничному условию (4.5), будем иметь: ) ( т(З)ж ид(х) 2и,) 'с — х .у) Мо о (4.10) Т(6 ) = Ао с1д — + „~„А„зш(пйо), 1 (4.11) где угол сво связан с координатой х соотношением: х = —, (1+ соз О,).
! (4.12) Обозначая переменную интегрирования по введенному углу через 6, будем иметь: $ = — (1+ соз св) (4.13) с(1 = — — з1п ввЮ 2 Из (4.12) следует, что Йо=я при х=О, св =0 при х=1. (4.14) На основании (4.12). (4.13) и (4.14) уравнение (4.10) можно записать в виде: 1 ( т(6)51пво6 Щ(6) 2о,) сов 6 — сов вв г о где т(8) задано формулой (4.11), в которой с1к — выражает 6 особенность решения у передней кромки профиля.
Можно было бы особенность решения поместить у задней кромки, однако, по физическим соображениям, у задней кромки не должно быть особенности. Заменив в уравнении (4.15) т(6) по формуле (4.11), йолучим: Ф Ф А ( со 2 'и + 1 ~~~А ( в)п(п6)в!п6 Ю УР(6,) (4 10) 2о,) сов6 — сов6 2,~4 ",) со 6 — со 6 у-) о о где р(х) — угол касательной к дужке с осью х — есть заданная функция.
Таким образом, задачу о движении тонкого слабоизогнутого профиля с дозвуковой скоростью под малым углом атаки мы свели к определению интенсивности распределенных вихрей ((х) из интегрального уравнения (4.!0). Ядро этого уравнения имеет особенность в точке х=1. Решение его также обладает особенностью. Будем искать это решение в виде тригонометрического ряда: Интегралы в уравнении (4.16) вычисляются до конца. Первый интеграл дает: 6 с!я 5!и 6П6 2 со5 6 — со5 65 (4. 17) к в в — — .«) + 418 сов 6 — сов 65 2 ) со56 — со565 2 ) сов 6 — сов 6 о 5 о Но, как известно*, при целом пв имеет место формула: сов лв 646 Мп (т6 ) .6 — 6, = (4.19) Мп6 Поэтому из (4.18) нетрудно установить, что ( 51П (Л6) 51П 61(6 151П(Л вЂ” 1) 6 51П (Л+ 1) 6 ~ со56 — со56, 2 1 5!п6, 51п 65 (4.20) Подставляя значения интегралов (4.17) и (4.20) в уравнение (4.16), будем иметь: 2 Ав — ~)' А„соз (псвв)! = )1' 1 — Мв (4.21) Если задан угол р(евв), то путем разложения в ряд по косинусам от аргумента с)о й сравнения коэффициентов рядов справа и слева в формуле (4.21) мы определим все коэффициенты рядов (4.11).
Определим зависимость подъемной силы от коэффициентов этого ряда. Для этого рассмотрим циркуляцию скорости вокруг элемента вихря 5(х. Контур для вычисления этой циркуляции возьмем в виде малого прямоугольника со сторонами с(х, 5(г (рис. 34). Для циркуляции будем иметь выражение: ( с(х = с(х (1рвв 1рвв) + с(з (1рв вр 1рв вев) (4.22) где 45„„, (в„,— означают производные по х от потенциала 11 снизу и сверху от профиля, а р,„р и — производные от потен- ' В. В.
Голубев. Лекции по теории крыла. ГТТИ, 1949. 257 Интегралы, стоящие под знаком суммы, преобразуются следую- щим образом: циала по г вдоль правой и левой сторон прямоугольника. Разделив обе части уравнения (4.22) на е(х, получим: Иг Т(Х) = 9хв ееехв+ д» (ееохво ееехвев) (4.23) Так как профиль тонкий, то в пределе, когда выделенный Ыг прямоугольный контур примыкает к профилю, величина — будх дет малой величиной, следовательно, произведение этой величины на разность скоростей вдоль оси а в формуле (4.23) будет малой величиной второго порядка по сравнению с разностью скоростей вдоль оси х, и мы можем записать: '1д ) ~д )' (4.24) Подъемная сила, действующая на элемент Нх, определяется фор- мулой: или, согласно (4.24), ~1Р = Ро) Т (х) '"х (4.25) Следовательно, полная подъемная сила, действующая на профиль, выразится интегралом: Р = р $г ) Т(х)г(х.
о Если ввести угол 6, то этот интеграл преобразуется к виду: Р = р,У вЂ” Т (6) айп ВЮ. — (Аоя+Аг т ). (4.26) Таким образом, результирующая сила зависит только от первых двух коэффициентов ряда (4.11). Подставив значение Т(6) из (4.11), нетрудно показать, что только интегралы при первых двух коэффициентах ряда отличны от нуля.
Вычислив эти интегралы, получим величину подъемной силы: Для определения значения коэффициента Ар проинтегрируем обе части уравнения (4.21) в интервале от нуля до я. В результате получим А, †, = ' ~ ~(6)(6. (4.27) '2 Ф'~ — м о Если же помножить уравнение (4.21) на соз 6 и интегрировать в тех же пределах, то определим значение коэффициента А,: А 4 = ( р (6) сов боб 4 р.! Мз „ (4.28) Ар т р ) р(6)о6; — А, 4 р ) р(6)созбй6. (4.29) о о Коэффициент подъемной силы крыла в несжимаемом газе обозначим через с „„: Рнесж у несж ув р ! 2 (4.30) Из формул (4.26) — (4.29) следует, что значение коэффициента с подъемной силы профиля с учетом сжимаемости газа выражается через с „„следующим образом: р"'р у~ — м р" ~ р~ — м О Я 2 Коэффициент в последней формуле называется поправ- 1 р' 1 — Мй кой на сжимаемость Прандтля — Глауэрта к формуле (4.30).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
