Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Из (3.16) получим: — (х — Ей) — ( ( — (у — Е) — — +а~=О, дЕй й( дч дЕо дг дЕй дг откуда, имея в виду — = (ца и р = с1яа, получим: дч (3.20) дг (у — ч) с(д а — (г — Е„) Знаменатель этого выражения равен нулю только тогда, когда точка х, у стремится к линии пересечения головной волны с плоскостью г = О. Поэтому для любой точки внутри области возмущения дЕй дг — '-эО при г-~ О. Для доказательства равенства нулю третьего интеграла в'(3.19) рассмотрим производную: дС' дС' дЧ дС' г сой Гй дг дЧ дг дЧ вЂ” г' (йй Обозначая этот интеграл через 1„получим: (йй или Полагая г — Š— =гсЬи, получим: о ! дС' [Ц < йй — созе[ г [( — й(и)= ! дч 1айй,Г йй ~В" ~ ) [* — й /(„ц)' Из полученного выражения видно, что (, -5. О при г -+ О.
Четвертый интеграл в (3.19) будет стремиться к нулю в силу (3.20). Для оценки пятого интеграла найдем — . Из (3.17) неде, дг посредственно имеем: — (х — 1 ) — — )55 ~ — (у — г)) — — + г~ = О д$5 5Г дЧ дс5 дг дЦ дг откуда ! (3.21) ! дгг (У вЂ” )) — — (х — 15) дч д$5 дг Знаменатель этого равенства будет стремиться к нулю при г -+О только тогда, когда — = с1я а, т.
е. если направление касательдч дз, ной в точке С к контуру крыла совпадает с направлением волны Маха, так как указанными точками являются только точки А и В (рис. 28), знаменатель в (3.21) не будет нулем. Так как шестой интеграл в (3.19) стремится к нулю так же, как и третий, нам остается рассмотреть седьмой — последний интеграл. Так как )90 = у)о($, х, у, г), из (3.18) получим: со595 г или д9~ — г с)у 9, — г н 005 95 — о г (у — 5)) — — г ( 1/'(г — 1)5 — рл 1(у — ч)5 +551 ~( )' 1 Первый множитель знаменателя этого выражения нигде в области изменения 1 не обращается в нуль. В нуль обращается только второй корень в точке С (рис. 28).
Так же, как и в случае („ можно доказать, что седьмой интеграл будет равен нулю. Если теперь в (3.19) устремить г к нулю, то получим теорему (~ т) = — С'(х, у) . 246 Так как на поверхности крыла задано~ — [, то неизвестная 7дт '1 1дг /о' функция С' во всех точках поверхности крыла определяется на основании соотношения (3.13). Оказывается, нет необходимости нахождения С'(х,у) для точек областей Б, т. е. возмущенной области плоскости з = О, лежащей вне вихревой пелены и вне поверхности крыла. Для разъяснения этого обстоятельства обратимся к рис. 29.
По доказаиному выше положению значение потенциала скорости а в точке М (рис. 29) определяется путем интегрирования по области ММ'У'00')г'. Заметим, что в данном / А, Ряс. 30 Рис. 29 с'(1, ч)д4дч тм (3.22) Для доказательства этой теоремы переходим к косоугольной координатной системе с осями, направленными по волнам Маха: с = (и+ о)сова, х =(и,+ о,)соха, ч = (и — о) з[п а, у = (и, — ос) з!и а. Нетрудно заметить, что элемент площади в данном случае (рис.
30) будет равен НЗ = г(иг(осйп2а. Далее непосредственно получаем: (х — 1)' — Р'(у — г1)' = созг а [и, — и+ ог — о)' — рг [и, — и— — (о,— о)]аз[ига = 4созга(ис — и)(оо — о). 247 случае, когда мы ищем т в плоскости г = О, гипербола вырождается в прямые ММ' и МО'. Здесь в область интегрирования попадает часть поверхности крыла и область ФОО', где т = О. В последней области неизвестна функция С'(х, у), следовательно, фактически мы не можем производить интегрирование.
Оказывается, нет необходимости нахождения С'(х, у) в области ФОО'1 ибо существует теорема Красильщиковой-Бабенко: Следовательно, ио ив (' о)п а С'(и, и)с(аао . (' с(и (' С'с(о =з(па ! -=0 У(ио — и)(оо — о) ) р ио — и ' Р о.— о -оо(и) и, ао ж + = рл и — о,(и) сс + з!па (3.23) Нам нужно доказать равенство нулю второго слагаемого в этом равенстве. Дано, что у, = О, т. е.
и (' С'ао 9)с .)сии — и а г'оо( — о Π— оо(и) (3.24) Заметим, что о, = оа, их+по. Если бы и, = по, то наша теорема была бы тривиально доказана. Для ее доказательства применим решение интегрального уравнения Абеля. Исходим из простого равенства: с(Е 1 а."оа — о (3.25) с с ~ )". (х) ~~ ~ с(х = ос ~ $(х)((х. о а о В плоскости Е, х левая часть (3.25) интегрируется по треугольнику ОМ( (рис. 31). Изменим порядок интегрирования в левой части (3.25) ( с Умножим обе его части на )".(х) н проинтегрируем их по ха пределах от нуля до Е, в результате чего будем иметь: ф1 Таким образом, если ввести обозначение: то получим: = я ~Дх) аЕх.
Итак, если = ф(Е), о то 4 (3.26) Равенства (3.26) дают обрашення интегралов по Абелю или решние интегрального уравнения Абеля. Применим теперь (3.26) для доказательства нашей теоремы. Вводя обозначения: С' оо г'(и) = Г' о — о -онаЕ из (3.24) получаем: РЕ")"" =О; ф' и~ — и о это интегральное уравнение' Абеля с нулевой правой частью. Следовательно, по (3.26) получаем: Г(и) = О. Таким образом, получится равным нулю второе слагаемое в (3.
23), н тем теорема доказана. Пользуясь этой теоремой, вычислим подъемную силу и лобовое сопротивление четырехугольной пластины. !Е заказ м 488 249 Если начало координат располагается на одном из передних углов пластины (рис. 32) для точки М, лежащей внутри возмущенной из-за наличия краев области, имеем: иф РУДО Р Уоспа 2 1 ~/о +и ио — и и ое оа к ( 2ьд2 .о) )' („,о,ь ое А "о — "к — 4(ио + РУо!па (3.27) астин- апом! ор = уР ~~д„) (д~) ~ = 2УР(д~) Следовательно, для части пластины ОАВС (рис.
32) имеем: с ь и = ~~Ьрссхс(у = — ) ссй ) 2~1 Ро( д ) ссх. ОАвс о о В силу того, что сР (О, у) = О, получим: с йь = — ') 2(7 р ос,(Ь, у)с(у, о Рис. 32 Этот интеграл вычисляется с помощью тригонометрической подстановки У о1п а г ч г сР = — 2Р— (ио + оо) ~ т — агс(Я го +— Зная тм, легко вычислить общую силу сопротивления пл ки сс, которая будет нормальной к плоскости пластины. Н ним, что при дозвуковых скоростях результирующая сил давлени, согласно теореме Жуковского, перпендикулярна направлению набегающего потока. Давление Ьр на элемент пластины будет нормальным к ее поверхности и, очевидно, равным или 14 = (ио + ов) 61па ) ~ 2 — агс1йгв + 1+, ~с(У.
4ЬО р, а гф в о Перейдем от переменного у к г,. Так как в данном случае Ь = (ио+ ов) сов а; и = ов,' у = (ив — ов)6)па; Ь у 2ов сов а в1па в!и а "в "в у сова в!и а то в(у = — Ь(ии " ", Так как 1 = Ь(иа, окончательно получим: р 4Ь11~рв Ь в1п а (1 а агс(огв( в 1 о гв ь а ' савва 1 1 2 !+го ( (1+гога) о или 461гвРв Ьв( в„1а (' 2гввгс1игдигв + 1' 2г', а )2 ) (11 г)в )(1+фа О~. о о Вычислим интегралы, стоящие в квадратной скобке: !+сов 2о 2 4 ' о где 2~=1иВ, дв4 = 1+ го СО 00 ОЭ (1+гго1в 2(1+гав)в ~ 2 ) (1+ гг)в 8 — ' ~+ — ~ о о о 16а 261 (' 2гввгс1вгв ,), (1+ ~)' Ь усова 1 1; у Ьв1па в+1 вгс1кгв ! + (' агв о о где В результате будем иметь: 2й, = Ь (я'а ~ з 4 + а ~ = ЗгУ рЬ (я'а, ~1.
— 2 Ь (й «+. — Ь (й а~ = ярри ь Г з ~'м — ! ! ! — 0,5— (3.28) где Й вЂ” полная сила сопротивления пластины, полученная путем сложения 2Я, и силы сопротивления остальной части пластины, определенной по методу теории крыла бесконечного размаха, так как там не сказывается влияние концов. Имея величину общей силы сопротивления, очевидно, легко получить величину подъемной силы Р и лобового сопротивления Я: Р =Ясозр=Я, Я = )«з(п р ж )гр. (3.29) ( 1 — 0,»~ с,= рс,. Очевидно, формулы (3.28) и (3.29) справедливы только до тех пор„ пока волны Маха с правого и левого концов крыла не пересекаются. Легко заметить, что указанное пересечение произойдет при ь — = — (я« = — .
Следовательно, максимальное уменьрм — ! шение коэффициента подъемной силы засчет конечности размаха крыла составляет 25«~»; это имеет место в случае, когда волны Маха с правого и левого концов крыла пересекаются на задней кромке. Приведенная выше теория, как указывалось, справедлива для «дужки», т. е. бесконечно тонкого крыла. Пользуясь полученными результатами, можно решить задачу об обтекании «профиля», т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
