Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Рассмотрим случай, когда р, ) р,где р, — критическое давление, соответствующее М = 1. В этом случае давление на выходе р, будет совпадать с противодавленнем р,. Действительно, дозвуковой поток поток кзрячий», поэтому, если бы р,~р, то воз- зо! Ра Ро РИС. 1о (6.3) 202 мущения, порожденные разностью давлений, проникли бы вверх по потоку и уравняли бы давления (мы рассматриваем стационарное истечение).
Скорость истечения и другие параметры истечения в этом случае не зависят от площади поперечного сечения и определяются только разностью давлений ро — р . Используя формулы (4.6) и (4.16), получим: ! Г,Г о — !ч л! = РиА = р,и,А, = А, ~~') ~!! ~~ РоРо ~ 1 (Ро) ~. (6.1) Для данного сопла при постепенном уменьшении противодавления (р, = р,) расход и увеличивается и достигает максимума при р = р . Максимум расхода о+! %мах = («1) АоЪ йроро ! 2 !2(о — !) + (6.2) При дальнейшем уменьшении противодавления, когда р, (ро, давление на выходе р, перестает следовать зц изменением противодавления р, возмущения от разности давлений р, — р не проникают внутрь потока сквозь выходное сечение.
Давление на выходе остается постоянным р,=р,. Для разгона газа может быть использован только перепад от р, до р,, Рас~ — ) г 1Ь ход через конфузор ос«+г/ тается постоянным (рнс. 15). Из условия обращения воздействий следует: для того чтобы давление меньше критического достигалось внутри сопла и скорость истечения была бы больше критической, необходимо, чтобы сопло сначала имело конфузорную, а затем диффузорную части. Пусть в горле сопла число М = 1, тогда р„= р„р„= Р,, Т„= = Т, гл =ло „и А„=А . Примем значения в критическом сечении за начальные, тогда по заданному отношению — ' на выхо- А де из сопла, пользуясь формулой(5.8), получим: Отсюда найдем для числа М два решения.
Первое решение с М < 1 дает дозвуковое истечение (верхняя ветвь Б, рис. 16). Давление на выходе нз сопла при этом р, = рз. Второе решение с М) 1 дает сверхзвуковое истечение (нижняя ветвь Е). Пусть давление на выходе прн этом р,= рв. Если противодавление р, = ра, то говорят, что сопло Лаваля «работает» на расчетном режиме. Рассмотрим различные режимы течения газа в сопле Лаваля (нерасчетные). Рис. !6 1. Течение газа в сопле Лаваля везде дозвуковое.
В этом случае в горловине сопла скорость течения наибольшая, давление наименьшее (кривая ОК, рис. 16). В выходном сечении Противодавление р = рл регулирует течение во всем канале. 2. Противодавление р, < рв — давление при расчетном сверхзвуковом истечении. В этом случае скорость, давление и другие параметры в выходном сечении будут такими же, как и на расчетном режиме. Понижение противодавления против расчетного скажется только на поведении потока после его выхода из сопла. Струя газа будет расширяться вне сопла. 3. Давления равны: р, = рн, причем рн немного меньше рз. Здесь возможен отрыв потока от стенок сопла. В хорошо выпол-. ненных соплах отрыва потока нет.
В этом случае изоэнтропи- 203 ф 7.Двпженпе газа в рпрубе постоянного сеченая с подогревом Рассмотрим случай, когда имеется лишь одно воздействие— тепловое. Условия обращения воздействий для калорически совершенного газа (формулы (3.!О)) дают: (М' — 1) — = — — — с(е, ни ь — ! и а» (М вЂ” 1)' —" = ' — ''" М»дд, (М' — 1) — = — Щ ер ь — ! р аз (М' — 1) — = —, (ЙМ' — 1) дд. (7.1) Безразмерные характеристики потока И!пи р Ы!пи 1= — = — — (О, г= — = — 1, н!пр ри' ' е!пр е!пи ! ыпр 1 = — =- — —, л = — = АМ». Ыът дм' — ! ' Ы!пр (7.2) ческого решения не существует.
Поток газа за критическим сечением продолжает непрерывно расширяться. Получается пере- расширение газа. В некотором сечении возникает скачок давления (лнния г"Т). переводящий сверхзвуковое течение газа в дозвуковое. Положение скачка должно соответствовать такому числу М, которое дало бы значение давления рг, которое нужно для достижения давления рнна выходе из сопла.
Каждой из точек г', определяющих положение скачка на сверхзвуковой ветви, соответствует определенное значение давления на выходе. По мере уменьшения давления на выходе скачок движется вниз по потоку н достигает, наконец, выходного сечения, когда давление на выходе принимает значение ро. Дальнейшее понижение давления на выходе не оказывает влияния на течение внутри сопла, а выравнивание давления осуществляется посредством системы косых скачков вне сопла.
При рассмотрении течения со скачком возникает вопрос, каким образом на поток, движущийся со сверхзвуковой скоростью (кслепой»), могут. оказать влияние условия в окружающей среде. Ведь возмущения при сверхзвуковых скоростях не могут проникнуть вверх по потоку. Это противоречие является результатом упрощения схемы течения. В действительности поток не одномерен, вблизи стенок благодаря вязкости всегда имеется некоторая область дозвукового течения, через которую внешние возмущения проникают в глубь сопла навстречу течению.
для ускоренного потока (1(и>0) при М<1, М=1 и М>1 соответственно получаем дд > О, дд = 0 и йд < О, т. е. при дозвуковом течении тепло подводится, прн сверхзвуковом течении — отводится. При этом плотность и давление убывают, температура сначала возрастает до М = = ,затем прн М > = 1 1 р'Г ' рГ убывает. На участке =< М < 1 температура убывает прн под- Р"Г воде тепла (й)> 0). Уравнение неразрывности ри= р,и, дает и рд (7.3) Р Уравнение Бернулли 14.19) р + ри' = р (1 + АМ') = р, (1 + ЙМ,) позволяет выразить давление через число М: р 1+АМ р = 1+им (7.4) Зависимость плотности и скорости потока от числа М можно представить в виде: М" риз йр, р, М* АР р и* Р и рз р~ Р Р Поэтому, используя формулу (7.4), получим: р из М', 1(ам (7.5) р~ и М~ р М' 1(иМ* Т и рз Ть Рь Р Подставляя сюда значение ~ из формулы (7.4) и ~ нз формулы Р~ Р (7.5), получим: т м ( 1+ам Тъ М' ( 1+аМз ( ' (7.5) Нетрудно еще раз убедиться, что в точке М= = температура 1 ф'Г Для вычисления температуры газа как функции числа М исполь- зуя' уравнение состояния, получим: Т,„= Т, (1+ АМ')'.
1 Найдем соотношение между М и М, при одинаковой температуре Т=Т,. Из уравнения (7.6) имеем: М (1 + йМ*,) = М, (1 + ймо). Это квадратное относительно М уравнение дает два корня: один 1 1 М = М, — тривиальный и второй М,= . При М, = 1 М,= —. ам, Для этих точек имеем: то то оа таво трах (1+о) Например, при А = 1,4 — = 0,97; т,„ при 1=1,2 т В первом приближении на участке — ( М (1 процесс можно 1 о принять за изотермический. Найдем параметры торможения как функции числа М. Температура торможения ~ 1М*( Мо + 2 1+ом, т (1+:Мо) т, 2 (7.7) тоо т (1 1 о — 1 М*) 2 В Уравнение энергии дает связь между подводом тепла и Т, (М): Ч (о (ог ср (7о 7оо)' (7.8) Задавая д = д (х), можно получить Т, (х), затем по формуле (7.7) число М (х), а, значит, и другие параметры как функции х (д). Учитывая, что давление и плотность изоэнтропнческого торможения как функции числа М выражаются соотношениями 206 имеет максимум.
Этой точке соответствует подвод тепла о(п) 0 при пТ = 0; следовательно, мы имеем элементарный изотермический процесс. Максимум температуры равен ь р.=р( — ")" '=р (1+'— — 'М )"-', 1 ! Ро Р (Т) =Р (1+ М') а о 2 . (7.9) 2 о Л,1+:М',) — 1 2 получим а — 1 2 (7.10) Как мы уже выяснили, Т, прн М = 1 (Л= 1) имеет максимум. В этом легко убедиться, отыскивая экстремум выражения (7.1 1): Тооооо ( 1 1 Ло ) Тоо 'Л 2Ло Обычно вводят еще безразмерную величину: Т, (Л вЂ” Л*) (1 Л*Ло) д †.' — ' 1 1 о (7.12) Л'(1+Ло)о Тоо ооо которая при Л = 1 имеет максимум: ("'Г Чшох Из этих формул следует: Ц д.„о 2) д,„- -о.
со при Л„-+1, при) ~0. Легко проверить также, что о,„при заданной начальной температуре Т, уменыпается с ростом начальной скорости и„и при заданной начальной скорости и, увеличивается с ростом начальной температуры Тм Если в формуле (7.7) число М заменим через Л по формуле (5.2), то получим температуру торможения как функцию приведенной скорости т, ло (т — л'1 (7.111 Т., Л*(1+Ло)о ' 1 и„„,=и,(1+ ~~, ). В частности, если вести отсчет от критического сечения (Мх=1), то а+1 / з а+1 и =а — =аа у тзх ьа а — оа ~/ а+1 Здесь а — значение критической скорости в сечении, где М= 1, Заметим, что в связи с подводом тепла значение критической скорости а, а также скорости звука, соответствующей параметрам заторможенного газа аа, меняется по длине сопла.
Максимальная скорбеть в тепловом сопле так же, как и максимальная скорость в сопле Лаваля, имеет главным образом теоретическое значение. 8 8. Адиабатичесное движение газа в трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Рассмотрим адиабатическое движение газа в трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения калорически совершенного газа. Условия обращения воздействий (формулы (3.10)) дают (Ма — 1) — = — —,д(, йи а (М' — 1) — и = -Р— ((1 + (й — 1) М') Ж (Мз — 1) — ' = —,Ж, (М' — 1) т — — ЙМ' —,а1, ет, а — ! (8.1) 208 В случае интегрально адиабатического перехода, когда а = О, но де+ О, при условии Т„= Т„формула (7.!2) дает два решения.
Первое решение Ла — — Л, (тривиальный корень) соответствует случаю а = О и Нд = О. Второе решение Л, Л, = 1, или Л, Лл = 1. Эта формула совпадает с известной формулой Прандтля для прямого скачка. В дан. ном случае формула Л, Лз = 1 устанавливает связь между приведенными скоростями в двух сечениях «тепловой» трубы, имеющих одинаковую температуру торможения (течение в этом слу. чае непрерывно). Из формулы (7.5) видно, что при изолированном тепловом воздействии (при М -» сю) Безразмерные характеристики потока д!пи 1 о!!пр 1= „т = — „о(, 11(о, = — „„=1+(й — 1) (8.2) Уравнение Гиббса Тйз = Тй,.з = Ж, Т, (1+ — М,) — Т(1+ — М).
(8.3) Отсюда получаем температуру как функцию числа М: 1+:М* Т 2 (8.4) т) 1+« — ! Мо 2 Уравнение неразрывности ри р,и, дает: (8.5) Здесь мы использовали постоянство критической скорости и формулу (5.1) связи ), и М. Для вычисления давления потока как функции числа М, используя уравнение состояния р = рйТ, получим: (8.6) Найдем теперь параметры торможения. Как мы уже отмечали, уравнение энергии дает Т, = Тоо Используя уравнение состояния, получим: Ро Ро!ото Ра Рок РоооОгоо Роо 15 заказ м ооз Так как о(,з всегда больше нуля, то работа сил трения есть одностороннее воздействие. Поэтому .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
