Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Следовательно, в системе координат (х, у, г), где Это условие справедливо и для крыла конечного размаха. В последнем случае в качестве профиля необходимо рассматри- вать сечение крыла плоскостью, параллельной плоскости полета. При решении задачи за поверхность крыла примем его проекцию на плоскость у =- О. Тогда (2.7) должно выполняться на отрез- У Ю ке оси Ох (рнс.
19). в~ Заметим, что хотя поверхность крыла совпадает с отрезком д, оси Ох, но значения угла р, входящего в (2.7), <сверху» и / ли сснизу» этого отрезка, будут разными. Указанные на рисун- гС' » ке линии АВ и АС являются характеристиками уравнения (2.4).
Докажем, исходя из физических соображений, что они являются границей возмущений, излучаемых точками поверхно- сти крыла, или в нашем приближении — точками отрезка оси Ох. Для случая сверхзвукового полета (М > 1) частицы газа начинают получать й возмущения только тогда, когда соприкасаются с носком крыла. Когда крыло пройдет путь И, возмущения, излучаемые указанной точкой, распространятся вплоть до окружности радиуса а1 (рис. 20). Как видно из чертежа, касательная к окружности возмущения составляет угол и, причем: Рис, 19 и1 Мпа = — = и1 п 1 и м-' Ряс.
20 (2.8) 1 У+ х =сспМ У' М вЂ” 1 (2.9) Заметим, что угол а, определяемый формулой (2.8), не зависит от времени, т. е. линии АВ и АС являются огибающими окружностей, несущих передний фронт возмущения. Докажем теперь, что линии возмущения совпадают с характеристиками уравнения (2.4). Очевидно, характеристики (2.4) имеют вид: причем знак минус относится к АС, а знак «плюс» — к АВ; таким образом, 1 (Яя = у м:~ Отсюда непосредственно следует 1я. З1П а У1+1а" У М вЂ” 1 1 1+— Мх — 1 В силу доказанного возмущения вне угла' ВАС отсутствуют, т.
е. т= о. Характеристики АВ и АС назовем головной волной, так как они связаны с носовой точкой крыла и являются границей возмущенной крылом области. Таким образом, задача обтекания крыла сверхзвуковым потоком свелась математически к смешанной задаче для уравнения (2.4), т. е. необходимо найти решения (2.4), удовлетворяющие на характеристиках АВ и АС условию т = О и на отрезке оси Ох условию (2.7). Из условия на АВ и АС вытекает, что в области ВАО т,=~, (х+ йу); в области САО 9х= 7у (х лУ) х а=1'и' — 1, уд р у е.7у 1 й7;(х) =-Р,(х)и, л(х' (х) = + Р„(х) У.
Следовательно, х+ху и — — р,(х) дх, (2.10) х — ху и — ) р„(х) Нх, где х, — абсцисса точки А. Найдем теперь давление в «верхней» и «нижней» областях: и Р =Ро Ро» Р (х+лУ) (2.11) и Р. =- Ро+ Р.—, Р. ( — Ы Из этих формул видно, что в полосах, указанных на фиг. 19, истик постоянны, т. е. такие же, как давления вдоль характер У Рис. 21 и на поверхности крыла. Зная формулы для давления, легко вычислить подъемную силу Р и лобовое сопротивление 1~.
Имея в виду, что давление перпендикулярно к элементу крыла, легко вывести следующие формулы: «а кв 1~ = ~ р„з!пр„с(х — ~ р.з!п~,дх, о к, ке Р = ~ р„созр„о(х — ') р,соз'р,«(х; о в силу того, что совр„= соз(», ак 1, з(п р„='р'„, з!и р, получим: 1 Г Р = Р»У' а ~ (1„+ 1,) 1(х, о «» «к и = р, и —,' ) о.
'~- ~'. ) « ~- р, ~ о, ь — и ~о к*. о Обозначая через ро угол атаки хорды крыла (рис. 21) и полагая 1. = 10+1.' р.= 10+ 1.', получим: Легко заметить, что Р,', Р„' — углы между касательной к контуру крыла и хордой. Поэтому Р,'Нх и Р„'авх представляют собой дифференциалы ординаты точки на крыле, отсчитываемые по перпендикуляру к хорде.
Так как концы верхней и нижней поверхностей крыла пересекаются хордой, будем иметь (рис. 22) Рис. 22 ив ) р,'сЬ О; ~ Р„'с(х=О. о Эти интегралы будут точно равны нулю, если положить р,'= = АР,', р„'= 1ф„, на что мы имеем право ввиду малости углов. Таким образом, имеем: и = 2ро гиохо о о (2.12) г. е. подъемная сила тонкого крыла в сверхзвуковом потоке не зависит от формы профиля н, следовательно, равна подъемной силе пластины, имеющей угол атаки, равный углу атаки хорды крыла. Для лобового сопротивления получаем формулу Хв (~ = Ро 0о ) ( ~~ + ~~~ ) Дх . о Положим Р„= Ро+ ~„,; Р, = Р, + Р„ДлЯ х, < х < х,, Р.=Ро+Р„; Р,=ро+Р„для О<х<х,. Здесь ~„Цо, р„ро — углы наклона сторон четырехугольника, указанного на рис.
23. Соответственно, р,о Р„, Р„„р„о — углы между касательной и сторонами указанного четырехугольника. В этом случае имеем: Определяя отсюда ~„~„~, ся получим: Ьа га Ро хо — х, йа 1.=~,+ — „ х1 Ла 1а = 1о+— хо х1 йа х, Рис. 23 Следовательно, для Я получаем следующее выражение: 0 Ро а (ха (('со + ) + (1о ) (+ (ха ха) ((со — ..-"'.,)'+~ + .."-'.,Л) Исключая отсюда ла =й — Ь,, получим функцию двух аргументов х„И,. Для определения минимального 9 выпишем первые производные по Ь, и х,: —,.' й =~ + )'+( -Ф)'-( — ..-"', )'- -(+ —,"-'.,)'+Ф~ -Ф)-Ф(+ )+ 2йа л, 1 2а, ( а„ 62 ьа 2 1 аа 2 аа, а а + + — ' =О; ха ха (хо — ха) а (хо — хх1а — — =2(Ц, + — „')+ 2(~,— — „')— 235 (аа = (хо — ха) Ро — 1д = х Оа — 1о), (аа = (хо ха) (Ра 1о) = ха (1о 'со) ° па + Ьа = Й = сопз(.
/ / / / / / 2~1а — ) 2(Ро+ х — х )=О1 отсюда следует Ьд + «д хд хо — хд хд хо — хд Таким образом, оптимальные параметры не зависят от угла атаки. Из последнего уравнения получаем: 2йд — Ь=О, или — + =О. 1 ' 1 хд хо — хд Так как х, ) О и хд( х„получим: 1д йд=Ь,= —. 2 Подставляя этот результат в первое уравнение, получим: 1 1 — — =О, илих,= хо (хо — хд)о ход Таким образом, мы доказали, что ромбовидный профиль является профилем наименьшего сопротивления при всех углах атаки.
ф 3. Теаран крыла конечного размаха В теории, изложенной в предыдущем параграфе, угол наклона касательной к профилю крыла с осью Ох — р(х) имел разное значение с разных сторон по- Х верхности крыла. Очевидно, эта теория приложима и для случая, когда р,=р„. В последнем случае профиль крыла фактически является дугой некоторой кривой. В теории крыла конечно,т го размаха особое значение имеет случай, когда ррофиль крыла является «дужкой», т. е. угол З У р с обеих сторон поверхности Ю крыла имеет одинаковое значение. Итак, пусть нам задано крыло, имеющее произвольную в плане Рис.
24 форму и любое сечение которого плоскостью у=сопз1 является дугой некоторой кривой (рис. 24). Условия на поверхности крыла переносим на проекцию крыла в плоскости г = О. 236 Итак, на поверхности крыла мы имеем условие обтекания, аналогичное условию (2.7), т. е. др (ЗА) Так же, как и в предыдущем случае, условие на бесконечности переносится на поверхность головной волны.
Очевидно, в данном случае головной волной является поверхность, огибающая поверхности конусов Маха с вершинами на передней кромке крыла. Под передней кромкой крыла будем подразумевать часть кромки, расположенной между касательными к контуру крыла, совпадающими с волнами Маха. На рис. 24 передней кромкой является часть контура крыла АОВ. В точках А и В волны Маха касаются контура крыла. Очевидно, наше определение передней кром- а ки не состоятельно для того случая, когда контур крыла имеет часть с углами наклона, большими, чем угол Маха (рис. 25).
В этом случае передняя кромка определяется геометрией крыла 1 и не зависит от числа М поле- Л Ю та. Для случая, указанного на фиг. 25, передняя кромка представляется ломаной линией АВСР. Валны Фага Из определения головной волны вытекает, что любой конус Маха Рис. 25 с вершиной в любой точке вне передней кромки будет лежать внутри головной волны.
Так как головная волна и в этом случае является границей возмущенной области, на ней потенциал скорости равен нулю, т. е. <р =О. (3.2) Поверхность крыла является поверхностью разрыва касательных скоростей. Это обстоятельство вытекает из того факта, что Р„= Р, и, вообще говоря, скорости с разных сторон поверхности крыла разные и по модулю, и по направлению.
Всякая поверхность разрыва касательных скоростей является вихревой поверхностью. Заметим, что на поверхности крыла также терпит разрыв давление. Таким образом, поверхность крыла является вихревой и «сопротивляющейся» поверхностью, т. е. крыло создает сопротивление. В данном случае сила сопротивления будет иметь составляющую, перпендикулярную скорости полета — подъемную силу — и направленную против скорости полета — лобовое сопротивление.
Так как поверхность крыла есть вихревая поверхность, то потенциал скорости будет нечетной функцией координаты г. для 237 доказательства этого положения воспользуемся теоремой Био-Савара. Пусть в некоторой точке поверхности крыла вектор скорости снизу ч„, сверху — ч,.
Разложим эти скорости по осям х, у, так как векторы ч„и ч, лежат в плоскости г = 0 (плоскость крыла мы заменили его йроекцией на плоскость г = О). Итак, мы имеем: ч„= г о„„+ ) о„, ч, = ) о,„+ ) о, Рис. 26 = ) (я сг с(г + Сг(х, д) ° о (3.3) 288 Таким образом, вектор вихря будет иметь составляющие: а„и в„, обусловленные соответственно разностями скоростей — о„и онх овк' Вектор вихря оо =! а + ) м, очевидно, лежит в плоскости г = О.
Элемент м Ыа указанного вихря по закону Био-Савара в каждой точке М индуцирует скорость, касательную к окружности, проходящей через данную точку и расположенной в плоскости, перпендикулярной к вектору ог, с центром на продолжении указанного вектора (рис. 26). Из рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
