Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Исключив т н Ь из этих соотношений, получим: , ' 1=0. 2!2 — а)6~! 11 (10.19) Корень г, = 1 соответствует одномерному потоку без скачков. Не имеет физического смысла н отрицательный корень га квадратного уравнения, так как мы рассматриваем модуль скорости. Таким образом, представляет интерес положительный корень г, квадратного уравнения: 2ьа2 1 +— 2 (10.20) Прн отсутствии внешнего магнитного поля (Ь, = 0) это уравненне дает значение скорости газа за прямым скачком в обычном 14~ 219 газе. Из выражения (10.20) видно, что при неизменном Р с увеличением й, корень г, возрастает. Когда й! достигнет критического значения й„р, где (! 0.21) й(йг)' — 2(й — 1)й,(Ьг) — (2 — й)Ь|+К= О, (10.22) где »+! (, !» — ! 2» т»» '! К = — (г — 1) ~г' — ( — + — + )г— т ь (,»+! »+! »+!/ 2(2 — »)»~~ ~ »+! из уравнения (10.22) имеем: (10.23) (» — ц», ~~/ »г! — »К й— » (10.24) Введем в третье уравнение системы (10.8) безразмерные величины (10.16), в результате получим: — — = Ьг — й,.
(10.25) Подставим в правую часть зтого уравнения значение Ь из (10.24) и результат запишем в виде: — = — „( — й, ~ ~' й',— ЬК ), $ = — '. (10.2о) 220 то г, = 1 и, следовательно, скачок исчезает. Если й, > й„р, то г, > 1. Этот результат физически не может быть реализован вследствие второго закона термодинамики. Полученные здесь результаты относятся к однородному потоку газа с конечной проводимостью. Однако если предположить, что газ обладает бесконечно большой проводимостью (ч = ), то условия (10.11) на ударном фронте, а'следовательно; и безразмерная система (10.18) будут иметь место для общего случая движения газа, а не только однородного. Для такого газа, как показывает уравнение (10.20), может существовать поверхность разрыва.
Перейдем к исследованию структуры ударной волны. Исключив т из первого и третьего уравнений системы (10.18), будем иметь: Так как — = — = 0 для значений г = 1 и г = гм то в ураний лй ых = л! пении (10.26) перед корнем необходимо взять знак плюс.
Очевидно, в ударном фронте имеем 1 ) г ) г,.В этой области величина К Ый всегда отрицательна, а — положительна и конечна. Выясним, возможно ли в этом случае непрерывное течение. Имеем: дд ад рй рр рй рр (10.27) Величина — берется из (10.26), — „„легко определяется после дй дд дифференцирования уравнения (! 0.22): 2йгд ~' й~ — йК вЂ” йг — — 2 Р' й1 — йК ~(й — 1)йд+ й1 — йК ) ддд В интервале г,< г <1 числитель в правой части (10.28) всегда положителен.
Величина же —, как видно нз (10.23), положи- лК дг тельна вблизи г = 1 и отрицательна вблизи г,. Поэтому возможно, что при некотором значении г между 1 и гр знаменатель в правой части (10.28) обращается в нуль. Тогда из (10.27) получим (10.29) Отсюда следует, что должно иметь место разрывное решение. Критическое значение г„р, при котором выполняется сортношение (10.29), согласно (10.28), определяется уравнением Ьгф+ 2~/Ь',+ ЬК [(Ь вЂ” 1) Ьд+ )ГЬ',— ЬК~ = О.
(10.30) Нетрудно проверить, что при Ь, -р 0 имеем: ~/й — 1+2 йР (10. 31) 22! где г, определяется из(10.20) при Ьд —— О. Таким образом, для ма'й,=о лых Ь, получаем: г, < г„р< 1. По мере возрастания Ь, от нуля до г„р максимальное значение ~ — — ~ стремится к нулю, а второй ддК член уравнения (10.30) стремится к 2 ЬЬдо Для фиксированного значения Р существует величина Ь, =- Ь„выше которой нет значения г, лежащего между 1 и г и удовлетворяющего урав- нению (10.30). Следовательно, при Ь, > Ь, будем иметь непрерывное решение.
При Ь, ( Ь, величина г непрерывно падает от 1 до г,р. При а = га, — = о и можно предположить существование ударив ного фронта. Однако в реальных условиях вблизи гар необходимо учитывать влияние вязкости. Учет влияния вязкости приводит к тому, что увеличивается «толщина» ударного фронта'. Б а й Ш и - И. Введение в теорию течения сжимаемой жидкости. ИЛ, 1962. Глава !7 Движение газа с малыми возмущениями ф 1. Вывод уравнения движения Движения газа с малыми возмущениями встречаются очень часто.
Так, например, при движении удлиненных ракетных аппаратов, скоростных самолетов, звуковых волн мы имеем дело со сравнительно малыми возмущениями. Теория движения газа во всех этих случаях сводится к интегрированию линейных уравнений. 'цв лаве нами будет рассмотрен плоское и пространственное движение газа для случаев, когда перепады давления и плотностей, а также скорости и их производные во всем поле движения невелики. Движение с малыми возмущениями во многих случаях может рассматриваться как потенциальное. Существование потенциального движения нами будет доказано путем непосредственного нахождения решения уравнений, которые будут выведены в предположении потенциальности движения. Таким образом, мы докажем математическое существование потенциального движения.
Соответствие найденного нами движения движению, имеющему место в природе, т. е. его физическое существование, может быть установлено только путем сопоставления найденных решений с данными эксперимента. Так, например, при обтекании тонких тел с малыми углами атаки наблюдаемые линии тока и распределение давления совпадают с теоретически вычисленными. Это обстоятельство доказывает физическое существование потенциального движения и, кроме того, указывает на условие, при котором потенциальное движение реализуется. 223 Итак„мы предполагаем: дт д|р дт о = —; о = ~ э х дх' г дУ' ' дх (1.1) В этом случае, как было показано выше (глава 11), имеет место интеграл Лагранжа — Коши: Р дг + 2Едх) +~ду) +(дг)3+~ р =Р(1) (12) Уравнение сохранения массы дает: др др др др Р 9+ох д + оу д + ог д + дг =О' (1З) Отбрасывая нелинейные члены в (1.2) и (1.3), получим: (1.4) др Рлт+ = О. дг Таким образом, уравнения (1.4) являются линейными.
Дифференцируя первое из них по времени, получим: дгт 1 др — + — — = г" (1). дг р дг или дгт 1 др др + — = г' (г). дгг р Ыр дг (1.4') ~р= 0 и р=- сопз1 др Следовательно, подставляя —, из (1.4) в (1.4'), получим: др — = — ьт = агьт. дг др (1.5) В этом уравнении коэффициент — изменяется незначительно, др др 224 Во всех случаях, когда движение происходит в однородном пространстве, )"-(1) = сопя(, ибо вне области возмущения д2 т дз т — = а' — „ дР дхз ' (1.8) Так как последнее есть уравнение колебания струны, мы могли бы сослаться на установленный факт, что а — волновая скорость. Покажем это непосредственно. Очевидно, уравнение (1.8) описывает распространение плоских волн в трубе илн в бесконечном пространстве.
В обоих этих случаях в плоскости х, 1 мы будем иметь следующие условия. Начальные условия: при любом х и при ( = 0 дт дт — =0; =О. дк ' д1 Граничные условия: при х = 0 и любом ( д, — Ф1(Г), нлн — =М(). Физически поставленная нами задача означает: найти распространение волн в покоящемся однородном газе, находящемся в бесконечно длинной трубе, возбуждаемых изменениями давления или скорости — в некотором ее сечении, принятом за начало дт координат.
Поставленная задача математически распадается на две задачи. Начальные условия выражают первую задачу — это задача Коши: найти решение (1.8) при условиях: дт дт — = — =0 (1=-0) (1.9) 226 Дифференцируя обе части (1.5) по г и заменяя — т через р д~ или р, получим, что последние также удовлетворяют волновому уравнению. Скорость распространения возмущений во всех случаях будет равна а. Обращаем особое внимание на то, что всякое малое возмущение (не только звук) распространяется со скоростью звука, поскольку распространение всякого малого возмущения описывается одним и тем же уравнением (1.5). Поэтому величину а следовало бы называть скоростью распространения малых возмущений.
Очевидно, звук, как малое возмущение, также должен распространяться со скоростью а. До настоящего момента мы не доказали, что а действительно волновая скорость. Для доказательства этого рассмотрим одномерное движение. В этом случае уравнение (1.5) примет вид: Так как граничйые условия заданы на оси г, то условия (1.9) выполняются или на положительной, или на отрицательной половине оси х.
Так как (1.8) имеет общее решение вида: т = ~,(х+ а()+ ~,(х — а!), то для х 0 будем иметь: ~,'(х)+7,'(х) =- 0 7"„'(х) — ~,'(х) = 0 (1.10) Отсюда получаем: ~,'(х) = О, ~,'(х) = 0; (1.11) т = ~, (х + аг) + 7 (х — аг) будет тождественно равным нулю. Очевидно, ~,' и ~,' равны нулю для положительных значений своих аргументов; мы получим следующие неравенства: х+ аг) 0; х — а() О. Первое неравенство выполняется всюду в первом квадранте, второе же неравенство — всюду ниже прямой х = а1.
Следова- тельно, т= — 0 внутри угла между осью х и прямой х = а(. Выше этой прямой т =,ь О. Это показывает, что возмущение, возникающее в начале координат, точку с координатой х дости- гает через время г = — , т. е. возмущение распространяется со й скоростью а. Таким образом, смысл коэффициента а раскрыт. Найдем теперь значения т в области, лежащей выше прямой х= — а(. Математически это есть смешанная задача об определе- нии решения гиперболических уравнений по данным на характе- ристике и на нехарактернстической прямой х =О, т.
е. оси Г. Пусть на оси г задана функция т, = ф ((). В этом случае решение имеет вид: т =7 (х — а(), так как при х = а( будем иметь т = 7" (0) = О. Это будет дополнительное условие для функции 1". (х — а(). Из граничного условия имеем: — а7"'( — а() = ф(г), 227 условия (1.11) выполняются или только для х) О, или только для х< О. Если бы они выполнялись для любого х, то мы имели бы т— = О, что неверно, так как т+0 на оси 1. Теперь, исходя из того, что (1.11) выполняется только для х) О, определим, в какой области откуда, полагая — а( = г, получим: оΠ— х а о о /(г) = ) )Яй; т(х,1) =~(х — а1) = ~ ф(1)Ш, (1.12) о Из этой формулы видно, что на любой прямой х — а( = сопзг т = сопз1.
Это свидетельствует о том, что волны распространяются вдоль характеристик. ф 2.Теоран крьсла бесконечного размаха Пусть тонкое цилиндрическое крыло бесконечного размаха заданного профиля движется с постоянной скоростью У в направлении положительной полуоси х перпендикулярно своим образующим. В этом случае поток, обтекающий крыло, будет, очевидно, плоскопараллельным. Если за плоскость потока принять плоскость (х, у), то уравнение (1.5) примет вид: (2.1) х = х, — Ио„у = у„ 12.2) оо не будет зависеть от 1.
Итак, преобразовав (2.1) с учетом (2.2), будем иметь: дт дт дх дт ду дт д1 дт дхо дх дхо ду дхо д~ дхо дх дт дт дх дт ду дт д~ дт дуо дх дуо ду дуо д~ дуо ду ' дт дт дх дт ду дт д~ дт дт — = — — + — — + — — = — — — У д~о дх д~о дУ дно д~ дОо дО дх дот дот дот дот — = — — 2 у+ — уо.
др да дх д~ дхо Имея в виду независимость оо от г, из (2.1) получим: (2.3) 228 В этом уравнении индекс нуль введен для обозначения того, что движение описывается относительно неподвижных осей. Так как крыло движется с постоянной скоростью, то движение в координатной системе, связанной с ннм, установившееся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
