Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пусть течение газа в канале таково, что справедливы предположения о малости наклона скорости к оси и однородности давления по сечению. Выберем в качестве замкнутой контрольной поверхности два произвольных сечения и боковую поверхность канала, заключенную между этими двумя сечениями (рис. !3). Для нашего случая стационарного течения приращения массы, количества движения и энергии газа, заключенного в рассматриваемом объеме, равны нулю.
Рис. !3 а. Сохранение массы. Поток массы т через сечение канала равен т = )" с(т = )" р ад А, где с(А — элемент поверхности, А — площадь поперечного сечения и и — составляющая скорости, нормальная к поверхности сечения. В соответствии с предположением о малости угла наклона скорости к оси канала, нормальная составляющая скорости может быть принята равной полной величине скорости. Закон сохранения массы, выражающий равенство нулю суммарного притока массы через контрольную поверхность при стационарном течении„может быть записан так: (2.3) т, — т, + т,. = О.
Здесь т, представляет собой поток массы через первое сечение, т, — поток массы, вытекающей через второе сечение, а т,— поток массы газа, втекающего через стенки канала между этими двумя сечениями в единицу времени. б. Сохранение количества движения. Закон сохранения количества движения выражает равенство между векторными величинами. Однако если канал симметричен относительно прямолинейной оси, по отношению к которой массовые силы и находящиеся ВнУтРи канала тела также симметричны, то закон сохранения 181 количества движения может быть выражен с помощью одного скалярного уравнения. Обозначим поток количества движения через сечение канала через 1, тогда 2 = агийн =1риЧА; И А силы, действующие на каждое сечение, определяются величиной давления, и так как оно предполагается постоянным по сечению, то эти силы равны рА.
Е ли имеется осевой градиент скорости, то следует также учитывать осевые вязкие напряжения, однако в нашем случае осевые градиенты скорости малы и эти напряжер Фл Р+Ф ния пренебрежимо малы. л+~л Силы, возникающие между стенками канала и газом, состоят прежде всего из давления, направРис. 14 ленного вдоль нормали к каждому элементу стенок. Рассмотрим два сечения площадью А и А+лА, расположенные на осевом расстоянии йх (рнс.
14). Если площадь стенок между этими двумя сечениями обозначить через ЫАч, то гидравлический диаметр Ы„обычно определяется соотношением ЫА =4А— аь Для канала круглого сечения гидравлический диаметр И„ совпадает с диаметром канала й. Проекция ЫА на плоскость поперечного сечения, очевидно, равна ИА. Результирующая сила от давлений, действующих на йА в осевом направлении,может быть получена, если умножить давление на каждый элемент 0А , спроектировать полученные-выражения, направленные на нормали к элементам, на направление оси и затем просуммировать. Результат будет тем же самым, если элементы йА сначала спроектировать на плоскость сечения, затем просуммировать полученные выражения и, наконец, умножить на давление. Поэтому осевая результирующая сил от давлений на участке поверхности НА на газ равна рЫА; соответствующая результирующая сила, действующая на газ между сечениями 1 и 2, равна х, Она направлена от сечения 1 к сечению 2.
182 Кроме давлений, действующих по нормали к стенке, существуют также и касательные напряжения т, возникающие вследствие действия сил вязкости. Этими напряжениями нельзя в общем случае пренебречь, так как поперечные градиенты скорости вблизи стенок могут быть достаточно велики. Предполагая, что касательное напряжение т постоянно на всех элементах дА стенок, или считая его соответствующим образом выбранным средним значением и полагая в соответствии с предположением о малости расширения канала, что касательное напряжение можно приравнять его осевой составляющей, получим, ик что величина т йА = 4т А„— представляет собой элементарал ную осевую силу, вызванную вязким напряжением, действующим со стороны стенки на газ. Полная сила, действующая на газ между сечениями 1 и 2, равна Х,„=4~к А — „ к, и направлена от сечения 2 к сечению 1.
Далее обозначим через Х„ осевую массовую силу, действующую на газ между сечением 1 и 2, и через Х, осевую силу воздействия на газ со стороны тел, расположенйых в потоке между двумя сечениями. Обе силы будут рассматриваться как положительные, если они направлены от сечения 2 к сечению 1. Теперь уравнение сохранения количества движения в рассматриваемом объеме, ограниченном контрольной поверхностью, можно записать так: 11 1л + рлА1 рлАз + ~ рбА Хв Х Хл У~ = 0' (2 4) к~ Величина 1, представляет собой подвод осевого количества движения через стенки канала между сечениями 1 и 2, т.
е. осевое количество движения массы тг в, Сохранение энергии. Поток внутренней энергии через сечение канала Е = ~ ейи = ') григ~А. к1 А Поток кинетической энергии через сечение канала Е„= — ~ иЫт = — ) рилбА. ОФ А Работа сил давления в единицу времени в сечении канала равна )р иоА=) — от. А И3 Силы давления. действующие на стенки канала, нормальны к стенкам и в случае неподвижных стенок работы не совершают. Работа, производимая вязкими напряжениями, действующими на контрольную поверхность, обращается в нуль, так как она равна нулю на стенках (в случае неподвижных стенок скорость газа равна нулю), и так как осевые вязкие напряжения в поперечных сечениях 1 и 2 пренебрежимо малы.
Работа, совершаемая действующими на газ массовыми силами, может быть оценена по увеличению потенциальной энергии Ем внутри контрольной поверхности. Подвод тепла от окружающих тел через стенки канала определяется формулой х, х, 9 = ~д' оА = 4~д' А— к, где д' — тепло, передаваемое газу через единичную поверхность стенки канала за единицу времени. Тепло, возникающее при химических превращениях или физических изменениях состояния, учитывается при расчете потока внутренней энергии. Тепло, которое передается через сечения 1 и 2 вследствие теплопроводности, пренебрежимо мало, так как по предположению осевые градиенты малы. Условие сохранения энергии для случая стационарного течения может быть теперь записано в форме: 1„— 1„+Я„+О +О,— 1.,+1м=о.
(2.б) Здесь1 = ( (1+ — от= ) (е+ — + — ~ от — поток энталь- пни торможения, Я„и Е,— теплота и работа, сообщаемые газу телами, находящимися в потоке, а 1„— энтальпия торможения, подводимая через стенки массой тг г. Второй закон термодинамики. В случае стационарного течения для массы, заключенной внутри контрольной поверхности, имеем: Ь,а+Ь,з = О.
(2.6) Здесь Ь,з — изменение энтропии, обусловленное влиянием внешней среды (приток энтропии извне), Ь,з — изменение энтропии вследствие внутренних необратимых процессов (возникновение энтропии). Возникновение энтропии, согласно второму началу термодинамики, не может быть отрицательным Ь,з)~ О. Отсюда получаем, что для стационарного течения приток энтро- пии извне Д,з <О. Это неравенство вносит ограничение в возможные решения. Подсчитаем поток энтропии через контрольную поверхность. Поток энтропии через сечение канала равен ) зйп, поток энтропии вследствие втекания газа через стенки канала между сече~а пнями 1 и 2 равен ~ з,йпь где з,— удельная энтропия втекаю.ч щего газа.
Поток энтропии за счет подвода тепла Д„со стороны стенок канала равен ) — ", где Т вЂ” температура стенки; '*лЕ Х~ поток энтропии за счет подвода тепла Я между сечениями 1 и 2 есть ) — а, где Тз †однородн по сечению (по предположед ~щ ть х, нию) температура тел, находящихся в потоке. Поток энтропии за счет подвода тепла через сечения канала в силу наших предположений пренебрежимо мал.
Возникновение энтропии, т. е. количество энтропии, производимой в единицу времени в объеме ~, охватываемом контрольной поверхностью, есть) Ы~, здесь т з †скорос возникновения энтропии в единице объема. Из условия стационарности течения следует: ') айл — ') зпгл+ ) зло~,+ ) ~ + ) ~ + ~ай = О, (2.7) к, к, или, так как ~ ад~ ) О, (2.8) !аз 12 Заказ М 683 Уравнения упрощаются, если сделать предположение о равномерности распределения скорости, температуры и состава газа в каждом сечении канала. В этом случае и = Ари„у = яьи = Ари', 1о = пь1о. Предполагая, что массовые силы Х„и изменение потенци альной энергии Е„ малы, имеем (2.9) /о — ), = Р,А, — Р,А, + ~РЕА — Х вЂ” Х -1- У, = — ~АдР— «, «1 Хм Хь+ )о )оо — ~оь = (~+ ~о~+~о. (2.10) (2.1 1) Здесь для краткости обозначено Д„ + Яь = 9.
Эти уравнения можно также записать в дифференциальной форме (2. (2; Ы = — А(Р— (Х вЂ” (Х„+ Ыи (2.13) Н, = о(Я+И„+Им (2.14) щ = Ари = сопз1. (2.15) Логарифмируя и затем дифференцируя его, получим: — + — + — =0; ФА ир ии л р и (2.1 ?) (2.16) уравнение количества движения «ь и'о — и', = т (и, — иь) = — ') Акр — Х вЂ” Хь «, 186 Рассмотрим случаи, когда расход постоянен (о(т, = 0) и газ имеет или фиксированный состав («замороженное» состояние) или находится в термохимическом равновесии. В этом случае основные уравнения можно записать так: уравнение неразрывности или в дифференциальной форме й3 = то(и = — Аг(р — о(Хе — г(Хь (2.18) уравнение энергии ~оо — ~от = ло ('оо — (от) = <) + 1.ь = !'7 — ~~ (2.10) Здесь Е = — Еь — работа газа, обусловленная его воздействием на тела, находящиеся в потоке, — техническая работа.
Введем д = — и 1, = — — тепло и техническую работу, отнесенные к Р.т единице массы протекающего газа. Уравнение энергии можно теперь записать так (2.20) ьоо (от = Ч 1т или в дифференциальной форме й, = й+ иди = да+ д1 — "1+ ит(и = ой) — д1,. (2.21) ,'Р/ Вместо выражения (2.?) напишем уравнения Гиббса для удельных величин (см. главу 1) Тйз = Тй,з + Т11,8 = Нд+Т1(,з = о(е + рй 1 — ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
