Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 25
Текст из файла (страница 25)
'Т ', [а] =Т ', [р,) =М Ь Т'. Применив к уравнению (13.1) оператор го! и воспользовавшись уравнением (13,5) и (13.3), получим: — ЬН = — го1(р,ч)+ — го1(аЕ) + —.,' го1(чХН)+ со со со (13.6) Обычно в большинстве электродннамических задач токами смеоо дЕ щения (током смещения называется величина — ' — ) и конвек4а дг ционными токами в уравнении (!3.6) пренебрегают. В теории электромагнитного поля показывается, что это можно сделать при условии (13.7) 4ао где оо — частота электромагнитных волн.
о Напомним, что закон Ома неприменим з случае очень имсокоа ионизанни. 1о2 Из этого условия следует, что пренебрежение указанными членами уравнения (13.6) возможно при больших значениях величины проводимости с и не быстрых колебаниях поля. Считая эти условия выполненными н предполагая, что с не зависит от координат и времени, ппиведем уравнение (13.6) с помощью (13.2) к виду: дн саа — = го1 (чх Н)+ — ' ЬН. д1 4аа (13.8) Входящая в это уравнение величина сз о ч 4аа (13.
9) имеет размерность кинематической вязкости и называется магнитной вязкостью. Уравнение (13.8) определяет изменение магнитного поля. Если ионизированный газ покоится, это уравнение упрощается дН вЂ” =ч ЬН дс Яа (13. 10) 1=р,Е+ — ') х Н. са (13.11) Величину $ можно назвать также объемной плотностью электромагнитных сил, которые называются пондеромоторными силами.
Формула (13.11) показывает, что силу, действующую на заряженную частицу, можно разбить на электриче=кую силу р,Е и силу 1 — 1 х Н от воздействия магнитного поля на электрические токи. са Если Ларморовская частота обращения электрона вокруг ядра атома м, намного меньше, чем частота столкновения между электронами «,Ф(аа„((ч,ф), то, как известно из электродинамики, 1О ааааа м заз 153 и принимает вид уравнения диффузии.
С помощью уравнения (13.10) можно показать, что изменение магнитного напряжения Н происходит за счет выравнивания магнитного поля во всем объеме рассматриваемого газа. Это выравнивание происходит за счет <просачивания» поля- от точки к точке среды. Как указывалось выше, при движении ионизированного газа в электромагнитном поле в нем возникают токи и соответствующие электромагнитные силы. Эти силы являются объемными силами, они действуют на ча=тяцы проводящего газа и поэтому при составлении уравнений движения среды они должны быть учтены. Из электродинамики известно, что величина 1 электромагнитных сил, приходящаяся на единицу объема, занятого газом, определяется формулой Лоренца: первым членом формулы (13.11) можно пренебречь. Указанное условие для сплошных сред всегда выполняется, и поэтому с достаточной точностью можно написать: 1= — 1ХН, 1 сс (13.12) Таким образом, уравнение движения проводящего газа в векторной записи будет отличаться от соответствующего уравнения (З.З) непроводящего газа тем, что добавится сила 1, заданная формулой (13.12): р(Р— н1)+ — 1ХН.+ — + — йк+ в-* = О.
(13.13) со Будем считать, что условие (13.7) выполнено, и токами смеще- ния можно пренебречь. Тогда уравнение (13.1) примет внд: го1 Н = — 1. 4х сс (13.14) Найденное отсюда значение плотности тока подставим в векторное уравнение (13.13) и спроектируем его на оси координат. В результате этого получим следующую систему дифференциальных уравнений проводящего газа в электромагнитном поле: х 2 — — ( — + — + — 1 — — (Н Хго1 Н), 1 /дргх др,у дрг»1 1 р 1дх ду дг ) 4хр дсу дг . (13.15) 1 4х (13.17) 154 В этих уравнениях по-прежнему компоненты тензора гидродннамического напряжения связаны с компонентами тензора скоростей деформации по формулам (5.5). Плотность пондеромоторных сил 1 можно представить через эквивалентный ей тензор магнитных напряжений.
В самом деле, из тождества НХго1Неь — вегас(Н' — (Н огай)Н (13.16) н уравнения (13.3) следует, что указанный тензор существует, он симметричен н записывается в виде: где Н, Н„ Н, — проекции вектора Н на оси координат. Таким образом, плотность пондеромоторной силы может быть сведена к поверхностным силам, которые определяются тензором напряжений (13.17). Этот тензор называют максвелловским тензором. Проекции плотности силы 1 на оси координат определяются формулами: (НХГ01Н)е[(Н)+(Н~Ну)+ +,' (Н.Н)), (НХго1Н)у~(НеН)+(Н)+ 1 1 д д з Ое + —," (Н,Н,)~, )е (Н Х го 1 Н )е (Н ~Не) + (НуНе) + 1 1 гд д (13.18) где и, — плотность частиц с зарядом е,: ч, — скорость этих час- тиц.
В результате уравнение энергии примет вид: р д 2 + р ду —— П(Ч(Лйуац7')+ рг)я+ дх ' + д ч ч де д(р, ч) д (ру ч) д (р ч) (13.20) где 1 в общем случае определяется по формуле Максвелла (13.1). Используя тождество б(ч (а Х Ь) = Ь го1 а — а го1 Ь, получим: Е) = Е( — ' го1 Н вЂ” — — ) = — б(ч( — 'ЕХН)— ее 1 дц1 . усе 1 4гг 4е де ) 14гг (13.21) 10* 155 Последние члены уравнения (13.15) можно заменить этими выражениями, предварительно разделив их на плотность р. Уравнение энергии проводящего газа в электромагнитном поле будет отличаться от уравнения энергии непроводящего газа (7.6) тем, что в правой части этого урав)уения необходимо добавить выражение работы поля над заряженными частицами в единице объема: А = Е ~У„е и ч, =1 Е, (13.18) Уравнение (13.21) выражает закон изменения электромагнитной энергии в рассматриваемом объеме, занятом текущим газом.
Величина йр= — (и +е) называется плотностью электромагнитной энергии, а вектор — 'ЕхН называется вектором Пойтинга. 4к Будем иметь — = — б!ч — ' ЕхН вЂ” Е). д~ 4л (13.23) Если уравнения движения (13.!5) помножить соответственно на и„, о, о„затем сложить их, и полученную сумму вычесть от обеих частей уравнения (13.20), то получим: р ~, =й(ч(Лйга<$Т)+ ~~+ р д + рт д + де дч дч ! + р — ч + Е ° ) — ~ (Нхго1Н)ч.
(13.24) Е) — — (НХго1Н)ч = Е ) — — ()ХН)ч — 1(Е+ 1 1 ч а + — ХН)= — '= — ( 1Н)*. со ! 4 Тогда, согласно (7.18), уравнению энергии (13.24) можно придать вид: рТ вЂ” — рд, + п)ч(Лагад Т)+ рФ + 4 (го1Н) . (13.25) Диссипативная функция Ф определена формулой (7.10). Кроме приведенных уравнений, движение проводящего газа должно быть подчинено уравнению неразрывности — Р + рйчч = 0 и др ш уравнению состояния совершенного газа р =ЙрТ. Итак, для совершенного проводящего газа, движущегося в электромагнитном поле, получена следующая система уравнений: 166 Это уравнение отличается от уравнения (7.7) наличием последних двух членов, выражающих эффект электромагнитного поля при движении проводящего газа. Сумма этих членов дает значение джоулева тепла — энергии, передаваемой газу полем, за вычетом механической работы, производимой пондеромоторной силой.
Преобразуем выражение для джоулева тепла (токами смещения и конвекцией пренебрегаем): йчН =О, дН вЂ” = го!(чХН)+» ЬН, дГ чч Р = РР+ — + — + = — — Н Хго! Н, 0ч др др др. 1 Ж дк дд дг 4к — + рб!чч = О, др д! (13.26) РТ вЂ” ' = р,)л + б!ч (Л ягаб Т) + (кФ + — ' (го! Н)', р=крт, з = с, !п —, Р рк ' йчН = О, — — го! (ч Х Н) + ч ЬН, дН дч 1 р — = — ягабр — — НХго!Н, дг 4к — „+рйчч=О, др дг (13.27) РТ вЂ” = — (го1 Н), р=арт, а =с !п —. Р к р Пусть существуют поверхности, на которых напряженности Е н Н электромагнитного поля терпят разрыв. Считая эти векторы и их частные производные по времени ограниченными величинами, 157 причем векторы р„, р„, р, связаны с компонентами о, о„, о, вектора скорости в соответствии с обобщенной гипотезой Йьютона, выраженной 'формулами (5.5).
Поэтому система (13.26) содержит одиннадцать уравнений с десятью неизвестными функциями: о, о, о„р, р, з, Т, Н„, Н, Н,. Однако первое уравнение этой системы удовлетворяется в силу второго уравнения и граничных условий. Из второго уравнения следует, что — б!ч Н =О, д дГ и поэтому решение будет удовлетворять уравнению йч Н = О, если ему удовлетворяют начальные условия. В случае совершенного идеального неизлучающего и нетепло- проводного газа, при отсутствии внешних массовых сил, система (13.26) приводится к виду: 5 — = го! чхн+ — ЬН дн 1 дг Юе б!чН =0 5 — +(чу)ч= — — — игаб р — — Е Нхго(Н дч ! дг ам р р /И д', +4!ч(уч) =О др .
(13.30) дТ ( дТ дТ дТ1 Яу — +р!о — +о — +о — ) = дГ (~дх гду ~дг) = — (й — !) рВ+ А(й — 1) — (го! Н)' Йт В этих авнениях к оме же известных б ур Р У езразмерных параметров 3 и М, введены новые безразмерные параметры: (13.31) Величина Е называется магнитно-газодинамическим числом Эйлера, К вЂ” магнитное число Рейнольдса. Таким образом, для выполнения условий подобия при движении проводящего газа в электромагнитном поле, кроме равенств (10.11), необходимо допольнительно требовать равенство чисел Е и К в двух гео- 158 с помощью уравнений Максвелла (13.1) и (13.2) легко получить следующие условия на поверхности разрыва: 4и ̈́— Н„= — — !хп; Н вЂ” Н,„= — 0; СО Ен — Ем=О; Е,„— Е,„=Я, где 1 — плотность поверхностного тока, Я в поверхностная плот- ность заряда, п и т — нормаль и касательная к поверхности.
Рассмотрим калорически совершенный газ. Тогда пятое урав- нение системы (13.27), выражающее закон сохранения энергии, можно записать в виде (см. формулу (7.25)): рс, — — — р6 + — (го! Н) . (13.28) Учитывая это замечание, перейдем в системе (13.27) к безраз- мерным величинам по формулам (10.1). Обозначим соответствую- щую масштабную величину для магнитной напряженности через Н„так что Н = НОНО (13.29) Условимся (как и для других величин) в уравнениях индекс «1» безразмерного напряжения Н, не писать; для простоты положим, что проводимость о есть постоянная величина. Подставив безраз- мерные параметры в приведенные выше уравнения способом, из- ложенным в 8 10, придем к следующей системе безразмерных дифференциальных уравнений: метрически подобных движениях: (Е„), = (Е ),; (К ), = (ц„)«. (13.32) Хотя к такому выводу мы пришли при рассмотрении идеального газа, он остается в силе и для общего случая движения совершенного газа, что непосредственно следует из самого способа получения безразмерных уравнений.
ф 14. Первые интегралы уравнений магнатной газовой динамики. ,Вмороженноеть" магнитных полей Рассмотрим движение бесконечно проводящего газа (» = 0). Тогда второе уравнение (уравнение индукции) системы (13.27) примет вид: — =го1У ХН. ан 1(14.1) ' Проинтегрируем это уравнение по поверхности Е, составленной из фиксированных частиц газа («жидкая поверхность») н применим к правой части полученного выражения формулу Стокса. В результате получим: Яй~ — ~( хн)й1=0, (14.2) где 1. — контур, на который опирается поверхность Е.
Пусть положение поверхности Е в момент есть Е„а в момент 1,— Е,. Через Е, обозначим поверхность, образо- Ег ванную частицами газа контура Ь игг за период 㫠— 1,. Очевидно, в мо- мент г поверхность Е, = Е,+Е,+ + Е,будет замкнутой йоверхностью. Р На основании уравнения (13.3) и формулы Остроградского (11.б) поток вектора магнитного напряжения Н Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
