Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Введение критериев подобия позволило решение всех динамически подобных задач свести к одной системе уравнений с одними и теми же коэффициентами. Это позволяет поставить вопрос о методах упрощения этих уравнений с целью получить их приближенные решения. Пусть коэффициент какого-нибудь члена уравнений. составленный из критериев подобия, оказывается малой величиной а по сравнению с коэффициентами других членов уравнений. Тогда можно поставить вопрос о разложении решений уравнений по степеням величины а, рассматривая ее как параметр. Если Ф вЂ” какой-нибудь из параметров движения газа, то это разложение имеет вид: Ф = Фо+ аФ,+ азФз+ Очевидно, первым приближением искомой функции будет величина, которая является решением уравнений при а = О.
Полученные таким образом уравнения называются упрощенными уравнениями. Для составления таких уравнений необходимо прежде всего оценить величину того или иного критерия подобия в данной задаче Например, для таких маловязкнх газов, как воздух, число Рей- 140 (11.1) 141 иольдса во многих задачах движения газа оказывается очень большим. В самом деле, значение кинематической вязкости воздуха в нормальных условиях имеет порядок: ~, = 0,0000133 м'!сек. Если взять скорость воздуха и, = 30 м(сек и характерный размер тела (з = 1 м, то для числа Рейнольдса получим: Ке = "— ''=2,25 10'.
ЧО Поэтому члены уравнения движения газа, которые имеют коэф- 1 фициент —, можно рассматривать как члены, содержащие малый параметр. Из кинетической теории и экспериментов известно, что число Рг для газов имеет порядок единицы. Следовательно, соответствующие упрощенные уравнения, ие зависящие от малого параметра, будут уравнениями невязкого нетеплопроводного газа (7.25) . Таким образом, если не учитывается вязкость, то не учитывается и теплопроводность.
Поэтому идеальный газ есть невязкий нетеплопроводный газ. Однако, существенно заметить, что, вычеркнув в основной системе уравнений движения члены, зависящие от вязкости, мы тем самым получили дифференциальные уравнения более низкого порядка. Очевидно, эти приближенные уравнения не могут удовлетворить всем граничным условиям первоначальных полных дифференциальных уравнений. Для вязкого газа существенным граничным условием является условие прилипания. Газ, лишенный трения, не может удовлетворить этому условию. В то же время решения уравнений идеального газа хорошо согласуются с наблюдениями уже на небольших расстояниях по нормали от обтекаемых границ.
Таким образом, можно полагать, что для маловязких газов влияние вязкости сказывается в основном в тонком слое газа„ примыкающем к границе обтекаемого тела. Такой слой называется пограничным слоем и, как было упомянуто, впервые введен в рассмотрение Л. Прандтлем. Итак, течения с большим числом Рейнольдса, т. е. практически течения всех газов, можно разбить на две области: на внешнюю область, где газ можно рассматривать как идеальный, и на пограничный слой, где сказывается влияние трения. Решения соответствующих уравнений в этих областях должны сомкнуться на границе раздела. ф 11.
Вихревые движения газа При рассмотрении движения частицы газа в $ 1 было выяснено, что это движение можно разложить на три части: поступательное движение частицы, ее деформацию и вращение с угловой скоростью м. Согласно (1.8) 1 ы = — го1 и. 2 Движение газа называется вихревым, если вектор м — напряженность вихря — отличен от нуля.
Из этого определения следует, что в каждой точке области вихревого движения газа, ротация вектора скорости отлична от нуля: 1 1 1г д д д го1 у = чь О. (11.2) дх ду дх пх оу ох Напомним о некоторых основных свойствах вихревого движения газа. Вихревая линия определяется из условия, что в каждой точке ее вектор м направлен по касательной к этой линии. Поэтому вихревая линия определяется из уравнений дх Йу дг Х ~7 (11.3) Возьмем в поле вихревого движения замкнутый малый контур. Если через каждую точку контура провести вихревую линию, то получится трубчатая поверхность, которая называется вихревой трубкой.
Введем понятие о циркуляции скорости. Циркуляция Г скорости ч по некоторому замкнутому контуру Е определяется вы- ражением Г = ) ч . Ж = ) о„х(х + о с~у + о, пг. На основании теоремы Стокса имеем Г = )" ч с(г = П го1 у дЕ = 2 ~~ м НЕ = 2 О м„ЫЕ, (11.4) где Š— произвольная поверхность, ограниченная данным контуром, вектор ЙЕ направлен по внешней нормали и к этой поверхности. Пусть линия Е лежит в плоскости и охватывает малую площадку. В этом случае приближенно будем иметь: Г =~ охрах+ оду+ о,да из2а НЕ соз(п,ю) = 2ою, (11.5) Ого1ч Ж = 2))м ЛЕ =О)йч(го1 ч)г(х.
(1! .6) 142 где о — проекция площадки с Е на плоскость, перпендикулярную м. Обратимся теперь к теореме Остроградского — Гаусса. Обозначим через Е замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем т. На основании этой теоремы имеем: Но легко проверить, что (11.7) б)ч (го1 ч) = О поэтому ~~ы(Е = О, (11.8) т. е. поток вихря сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю. Пусть теперь замкнутая поверхность Е образована частью поверхности вихревой трубки, заключенной между двумя нормальными сечениями трубки, и площадками этих сечений ч, и ч,. Но для боковой поверхности выделенной части вихревой трубки м„ = О. На площадках а, и аз вектор ш совпадает с линией их нормалей.
Если на а, проекция в„ =-в, положительна, то для о, получим м„ = — м„ т. е. эта проекция будет отрицательной. На основании приведенных рассуждений из (11.8) получаем: Оэ,фЕ = О,(О~ — ОэО)э = О; О,и, = бз(О,. И (11.9) аг л —, = — )" ч пг. Ф йг (11.10) При дифференцировании интеграла в правой части этого выражения надо иметь в виду, что меняется не только скорость, но из Величина 2в„о — удвоенное произведение м„на площадь нормального сечения — называется интенсивностью вихревой трубки или интенсивностью вихря. Формула (11.9) показывает, что интенсивность вихря сохраняется вдоль вихревой трубки. Всегда можно разбить все поле вихрей на вихревые трубки определенной интенсивности.
Вдоль каждой из трубок на основании предыдущего интенсивность вихря будет сохраняться. Но тогда из (11.8) следует, что число входящих в замкнутую поверхность трубок равно числу выходящих из поверхности трубок, Следовательно, внутри газа вихревые трубки не могут начинаться или прерываться. Вихревые трубки могут начинаться и кончаться на границе области движения, образовывать замкнутые кольцевые поверхности или простираться до бесконечности. Докажем несколько важных теорем, касающихся основных свойств вихревого движения газа. Рассмотрим циркуляцию вдоль некоторого замкнутого контура, состоящего из частиц газа.
В некоторый другой момент времени, в силу непрерывности движения. эти частицы будут опять составлять замкнутый контур, но уже деформированный Выясним, как изменяется во времени циркуляция вдоль этого контура, состоящего все время из одних и тех же частиц газа. Для этого определим производную от циркуляции по времени: и форма контура. Поэтому под знаком интеграла дифференцировать нужно не только скорость, но и йг: — = )' — „" с(г+ ) т — (дг). Но так как — „, (пг) =- с(( — „) = дт, дг и — =т; — — Ыг+ ) т г(ч, илн второй интеграл в правой части обращается в нуль, и мы получаем: (11.11) Это выражение можно назвать циркуляцией ускорения. Формула (11.11) так же, как все сделанные до сих пор выводы о вихревом движении, верна для любой сплошной среды.
Заменим в подынтегральном выражении (11.11) величину — с помощью дч Й уравнения Эйлера (3.14), тогда будем иметь ~ — — — ) (Хпх+ ЫУ+ 2Ыз) — ) — ~з — ~(х+ д — пУ+ з — пз) . Допустим, что внешние силы имеют потенциал У. В этом случае подынтегральное выражение первого интеграла в части будет полным дифференциалом этого потенциала и рал исчезнет. Мы получим: иг ар й Если давление есть только функция плотности, т. е. газ однороден (изэнтропическое течение), то значение интеграла в (11.12) также будет равно нулю, Следовательно, дг= ' 1„.ыг О.
(11.13) Последнее выражение и составляет содержание теоремы Томсона. Если массовые силы допускают потенциал, а идеальный газ однороден, то циркуляция скорости вдоль замкнутого контура, составленного из фиксированных частиц газа, остается постоян- 144 то предыдущее выражение перепишется в виде: правой интег(11.12) ! ной во времени. Энтальпия 1 н энтропия з определяются, как известно, из выражений: 1 е+ — '; Тйз =4(е+ рИ ~ — ). л /1~ Р ) (11. 14) С помощью этих соотношений получим: Р = Ж вЂ” Тбз.
Р (11.15) Тогда для совершенного невязкого газа формула (11.12) запишется так: — ЯТг!и — й) = $ Тг(з. Таким образом, в общем случае совершенного невязкого газа закон сохранения циркуляции во времени вдоль замкнутого контура не выполняется. При условиях, когда справедлива теорема Томсона, можно утверждать, что если в некоторой части газа в некоторый момент времени нет вихрей, то их не было раньше и не будет позже в частицах, составляющих эту часть газа.
В самом деле, так как в некоторый момент времени м =го1т = О, то согласно формуле (11.5), циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, расположенному в этой части газа, равна нулю ут и'г =О. По теореме Томсона, это условие выполняется ив любой другой момент времени. Но тогда, согласно (11.4), для любой поверхнос- ти, опирающейся на этот контур, имеет место условие: 1)а„сй =О, ~ т Нг = 2 П а„дЕ = О. 11 Заказ м ив 145 которое для произвольной поверхности может выполняться только прн а =О в любой точке газа в произвольный момент времени. Перейдем к доказательству двух теорем Гельмгольца. Первая теорема. При условиях теорем Томсона (формула (11.13)) частицы газа, образующие в некоторый момент времени вихревую линию, во все время движения образуют вихревую линию.
Рассмотрим вихревую поверхность Е, т. е. поверхность, в каждой точке которой вектор в касается этой поверхности. Возьмем на этой поверхности некоторый контур Е. Согласно формуле (1!.4), на этой поверхности имеем: В некоторый другой момент времени контур 1. примет другое положение 1.', но в силу непрерывности движения 1.' будет лежать на поверхности Е', в которую перешла поверхность Е к этому моменту. По теореме Томсона и для 1.' ~т'Нг = 2 Дв' ЙЕ = О. ь 3 При этом контур Е можно взять в любом месте поверхности Е и как угодно малым. Но тогда последнее равенство может быть выполнено только при в„' = О, а это и значит, что поверхность вихревая и, следовательно, вихревая поверхность Е всегда остается вихревой.
Возьмем теперь вихревую линию 1; через нее всегда можно провести две вихревые поверхности Е, и Е,. В некоторый другой момент времени эти поверхности займут положение Е,' и Е' с линией пересечения 1', при этом частицы, составившие линию 1, теперь образуют линию 1'. Вектор м на линии пересечения 1' должен лежать в касательных плоскостях Е,' и Е', т. е. м' должен быть направлен по линии пересечения этих плоскостей, а эта линия представляет касательную к линии 1'. Значит, 1' есть вихревая линия.
Таким образом, вихревая линия в дальнейшем движении остается вихревой линией. Вихревая трубка во все время движения также останется вихревой трубкой, так как она образована вихревыми линиями, свойство сохраняемости которых мы доказали. Вторая теорема. При тех же предположениях интенсивность вихревой трубки во все время движения остается постоянной. Согласно формуле (П.4), интенсивность вихревой трубки в момент 1 определяется циркуляцией скорости по контуру 1., охватывающему вихревую трубку: Г ~т й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
