Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 26
Текст из файла (страница 26)
12 через замкнутую поверхность (рис. 12) равен нулю. Позтому для момента времени 1« можно записать .Го„(1,) й~ — ( ~„(1,) й;Є— ) н„(1,) й;Р,= о. в» 3, за Для бесконечно малого промежутка времени Ы = 1,— 1, предыдущее выражение можно переписать в виде: ~н„(1,) й~ — ) н„(1,) й„р+ ~и„(1,)й~ (о„(г,)й~ $ з~ В а — ~Н(1,)(чМХо1) = О. 1вв Разделив это соотношение на Ы и переходя к пределу, полу- чим: при г» -+ Г, — 1 Н„«(~ — — 1Н„б~ — 1Н(чХЛ) = О, или й Н„(Х вЂ” д, 1 Н„бх+ 1(ч ХН) Л = О. Отсюда, в силу формулы (14.2), имеем: — „",~н.а2',=О.
(14.3) го1 т Х Н = (НЧ) ч — (чЧ) Н вЂ” Н б(ч ч. Из уравнения неразрывности имеем: 1 др 1 йчч = — — — — — чЧр. рдг р Если подставить это уравнение в написанное выше тождество и заменить в уравнении (14,1) правую часть полученным таким 160 Эта формула выражает следующий закон: поток магнитного поля через любую поверхность, составленную из частиц газа с бесконечной проводимостью, не меняется во времени. Пусть две пересекакщиеся поверхности, состоящие из газовых частиц, являются поверхностями, в каждой точке которыХ нормальная составляющая вектора Н равна нулю. Но тогда на основании (14.3) на этих поверхностях в любое другое время Н„=О.
Линия пересечения рассматриваемых поверхностей будет магнитной силовой линией, т. е. линией, в каждой точке которой вектор магнитного напряжения направлен по касательной к этой линии. В силу доказанного и в любое другое время линия пересечения поверхностей будет магнитной силовой линией. Но, с другой стороны, линия пересечения поверхностей все время будет состоять из одних и тех же частиц газа. Таким образом, магнитные силовые линии всегда будут состоять из одних и тех же частиц. Это свойство называется магнитной «вмороженностью» магнитных силовых линий, оно аналогично свойству сохраняемости вихревых линий, установленному в й 11. Теперь займемся преобразованием уравнения (14.1). Рассмотрим тождество образом выражением, то после некоторых перестановок членов получим: или, вводя символ полной производной, (14.4) Это уравнение выражает зависимость между изменениями (деформацией) линейных размеров магнитной силовой линии и величины Н/р.
В самом деле, пусть о1 — элемент магнитной силовой линии, состоящей из частиц газа. Если и — скорость газа на одном конце элемента, то для другого конца, в силу непрерывности движения, получим скорссть и+(Ыр) н. За время й элемент Ы получит приращение (растяжение или сжатие) (Ы р)чг(Р, скорость изменения длины элемента выразится формулой — (Ы) = (Ыр) (14.5) Из уравнений (14.4) и (14.5) следует, что оба вектора Н/р и Ы определяются одним и тем же уравнением.
Отсюда следует, что н изменение вектора — пропорционально изменению элемента Р длины силовой линии Ы. При растяжении или сжатии магнитных силовых линий происходит одновременное увеличение или уменьшение вектора —. Для течений газа, удовлетворяющих Н Р условию (Нр)ч = О, из уравнения (14.4) получим: — = сопз1. н (14.6) Р Формула (14.6) показывает, что при движении газа увеличение плотности приводит к увеличению напряжения магнитного поля. Постоянная в формуле (14.6) будет различной для различных частиц газа, но остается без изменения для данной частицы при его движении. Формула (14.6) имеет место, например, для одномерных течений проводящего газа.
Уравнение (14.4) можно проинтегрировать н получить закон изменения магнитного поля в. зависимости от движения проводящей средые. Рассмотрим одномерное установившееся движение идеального нетеплопроводного электропроводящего газа в трубке постоянного сечения. Так как все параметры газа от времени не зависят, то из (13.23) получим: Е ° ) — — — с(1 ч (Е х Н). (14.7) е Сб. еПроблемы современной фнзнкне, вып. 2. М., !954. 161 Уравнение (13.23) и выражение для ! без учета плотности конвективного тока и тока проводимости показывают, что это будет иметь место, если вектор ЕхН параллелен скорости газа ч. Пусть 5 — площадь поперечного сечения трубки. Из общего уравнения энергии (13.20) следует, что в рассматриваемом случае это уравнение с учетом (14.7) запишется в виде: ~„~рч5( 2 + е)1+ ~„(рч5)+ ф — „(ЕХН)5 = О. После интегрирования вдоль трубки получим: 5 (р)е + — ) ч+,оч + 4 (Е х Н)) = сопз1.
Используя закон сохранения массы ро5 = сопз1„получим: .+,'+ + —, —, 1. о» р»» (ЕХН)ч р 4» го» Если Е = 0 или Е параллельно Н, то поток электромагнитной энергии отсутствует. Пусть Е и Н перпендикулярны ч, тогда, исключив в уравнении (14.8) величину Е с помощью (13.5) и (13.14), получим: (14.8) е+ + ~ + + 4, (го1 Н х Н)ч=сопз1. (14.9) ф 1а. Основные уравнения для реагирующих смесей 1. Закон сохранения масса. Изменение массы А-й компоненты в неподвижном произвольном объеме т» происходит за счет притока массы А-й компоненты извне и за счет возникновения й-й компоненты в результате химических реакций: (15.1) д à à — ~ р»й т = — ) р»ч»й Е + ) ~ » .1, йт, 3, ; |-~ где Е» — поверхность, ограничивающая объем т„ ч» †скорос компоненты, р» — плотность Й-й компоненты, !†число хими- 162 В этом интеграле внутренняя энергия е в общем случае идеального совершенного газа определяется нз дифференциального соотношения йе = с,йТ.
с — = — Йчр ч»+ х.!»/1,/. др, (15.2) Суммируя по всем компонентам и учитывая стехиометрическое уравнение Е !» — — О, получим др — = — !1!чр» д/ (15.3) л где р = Х р» — суммарная плотность смеси, а ч — скорость цент»-! ра масс: ! Ч = — Р.Р»Ч,. Р »-! Уравнение закона сохранения массы может быть представлено в другом виде: — + рб1»ч = О. !/р д/ (15.4) Введем поток й-й компоненты относительно движущегося центра масс: 1»= р (ч„— ч).
(15.5) В силу определения скорости ч имеем: Е1„= О. » ! (15.б) Уравнение сохранения массы й-й компоненты можно записать теперь так: с — = — р» б1» ч — Йч!» + Р, т»/1 . дР» /=! или, вводя массовую концентрацию с„= Р', будем иметь Р (15.7) с !/с» р — „, — 51»1»+~~~„/1„. / ! (15.8) 1бз ческих реакций, ч 1,/ — возникновение Й-й компоненты за счет 1 химической реакции (см. главу 1, $ 13).
В области непрерывных движений, описываемых гладкими функциями, интегральное уравнение можно заменитьэквивалентным ему дифференциальным уравнением где индексы а и р обозначают декартовы компоненты, ь„р — сим- вол Кронекера (З„в = О при аэь р и й,е= 1 при и = р) и 3.
Уравнение энергии (первое начало термодинамики) арфа+.)( = — ~1,бХ+~р„чбтр+ + ~Хр»1» ч» ат. (15.14) «» ! Здесь е — внутренняя энергия единицы массы; ) р„чдХ— работа внешних поверхностных сил внутри объема ч в единицу времени: ) Х р»1»ч»дч — работа внешних массовых сил вну- ~ » ! три объема т в единицу времени; — ) 1»бХ вЂ” остальной поток энергии внутри объема т в единицу времени. Поток энергии 1, протекаю!цнй через единицу поверхности в единицу времени, слагается из потока тепла (путем теплопроводности и радиации) и нз потока энергии, который переносится диффундирующим в объем ч веществом. В области непрерывных движений, описываемых гладкими функциями, интегральное уравнение можно заменить эквивалентным ему дифференциальным уравнением: р — ~ — ч» + е) = — б)ч! + йч(рч)+ +,~~ 1» ч„р».
(15.15) 4. Одним из основных уравнений является уравнение Гиббса относительно центра масс частицы (см. глазу 1) т — = — + р — ~~ — ) — ~~ ч» —, (15ЗВ) И» Ее в' !11 %~ Ис» е! = е! е! (, р ! »=! 165 где з и <р» — удельные энтропия и термодинамический потенци- ал й-й компоненты. 5. Закон возрастания энтропии. Умножая обе части уравнения движения (15.12) скалярно на ч, получим: « и I г л р — ( — ч») = ч ~р»1„+ чЕйч Р = нг(,2 »-1 л л = ч Х~~~ ~р»1»+ б(ч(Р.ч) — Р: вагаб ч.
(15.17) Так как (о«Р«в) ,р [а « — Л~Р«в а» «в или, в тензорных обозначениях л л л чЕйч Р = б1ч(Рч) — Р:бгаб ч. Последний член в правой части есть скалярное произведение л двух тензоров Р и вагаб ч. Вычитая из уравнения (15.15) уравнение (15.17), получим: р — „, = — б(ч 1, + ~1» 1„+ Р: бган ч »=1 или, используя выражение (13.25), р — „= — б(ч1, + ~ 1»1„— рб(чч+ ч: бгайч. (15.18) »-1 Для заряженной смеси в электромагнитном поле, пренебрегая поляризацией среды, получим: « л 0 ~~~»1 1„= ~~'.~ я' (Е+ — ~ч хН)) р„(ч» — ч) =- = () — р,ч)(Е + — ~ч хН~) =)'.Е', где )' 1 — р,ч = ~й«»!» н Е' = Е+ — ~ч хН~. Штрихами отмечены величины в подвижной системе координат, движущейся со скоростью ч; через 0 обозначено джоулево тепло. Если 1й не зависит от 1г, то Х 1й1й = 11 1, = 9. й ! Подставляя уравнение (15.18) и (15.8) в формулу Гиббса (13.28) и используя закон сохранения массы (15.4), получим: РТ вЂ” = — 'йч1, + ~1 1й+ й: ййгад ч+ й-! +,~~ тй йч1й+ ~А/„., г=1 так как Разделив последнее уравнение на Т, напишем его в таком виде: л — — 1 агам Т вЂ” г~1йагаг(~ — )+ — ~ гййгад ч+ 1 (т,! тй (,т! т й=! + т ~~~А 1й + т ~~~ А,1,~ —— — д!ч 1, + ц (!5.
!9) где !д+ Е тйгй (15.20) есть поток энтропии. Изменение энтропии за счет притока ее извне (15.21) гат 1гй к~В а 5 Р г =Р г+Р кг ~ы Й !д — Х тйгй й-1 Т Возникновение энтропии (согласно одному из основных положен ий термодинамики оно всегда больше или равно нулю) л р — „' = » = — —, 1, ига»1 Т вЂ”,~~ 1„угад ( т») + »!» 1 и! . т »=! » ! Л + т »~габ.+ т~.1,1,+ т~М„. (15.22) ь=! 1 ! Разделение правой части уравнения (15.19) на»(1ч 1, и а не произвольно, оно однозначно определяется условием, что возникновение энтропии» должно обращаться в нуль при термодинамическом равновесии и требованием инвариантности относительно преобразований Галилея. Можно получить другие эквивалентные выражения для возникновения энтропии. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
