Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 24
Текст из файла (страница 24)
По теореме Томсона значение этой циркуляции не зависит от времени: Г = ~ ч. г1г = ~ ч' дг. Как было показано, теоремы Гельмгольца не имеют места в общем случае движения идеального совершенного газа. Тем более они не будут выполняться для вязкого газа. Пусть в несжимаемом газе находится бесконечно тонкая вихревая трубка, называемая вихревым шнуром. Пусть à †циркуляция вокруг шнура, й — элемент длины шнура в некоторой ее точке, г — расстояние от выделенного элемента шнура до некоторой точки М в газе. Пусть м, и г, единичные векторы напряжения вихря ы и вектора г, найравленного от элемента шнура к точке М, Из гидроаэродинамики известно, что скорость Для модуля втой скорости имеем: Г с1па Ы с10 —— 4ч г' ! где в — угол между векторами ес и г,. (11.1б) ф 12.
Первые интегралы уравнений движения идеального газа Если в левую часть первого уравнения системы (7.25) ввести вектор напряжения вихря ьс, то получим: дч чс 1 дг — + ягаб — — 2чх ес = — — вагаб р+ г. 2 Р (12.1) Это есть уравнение Громеко, написанное в векторном виде. Рас- смотрим установившееся движение идеального, нетеплопроводно- го совершенного газа в случае, когда внешние силы имеют по- тенциал У. Из (12.1) для этого случая получим: 2(чХы) = — ягас[ р+ — дгабос — игам(1; (12.2) 1 1 к этому уравнению необходимо добавить еще уравнения нераз- рывности и постоянства энтропии: б(ч(рч) = О, ч.ягабв = О. (12.3) Согласно (11.15), имеет место соотношение: дгаб1 = Тягай в+ — ягаб р.
1 (12.4) Поэтому уравнение (12.2) можно переписать в виде: 2 чхьс = ягаб с' — Т йгабв+ — игаб о' — ягаб У. (12 5) 1 2 Умножив обе части этого уравнения скалярно на ч и восполь- !1э ! с(ч в точке М, индуцируемая элементом с[1 шнура, определяется' формулой Био-Савара: с[ч = — [сэ,Х г,) —,. Г дс зовавшнсь последним уравнением ()2.3), получим: ! т вагаб(!+ — о' — у) =О. 2 Из этого соотношения следует, что вдоль линии тока о~ + — — и=н= з1. 2 (12.6) Из постоянства энтропии вдоль линии тока и из (!!.15) следует, что о! =— ер Р Поэтому, согласно (12.6), вдоль линии тока имеем: сать в виде: — + ) а — — У=Н =сопз1 о г,гр 2 В (12.8) где интегрирование проводится при постоянной энтропии.
Но для газа с постоянными удельными теплоемкостями имеем р = = сопз! р", и формулы (12.6), (12.7) и (12.8) дают: ой оз е р оо аз — + с т — и = — + — — — и = — + —, — и =сопз1. (12.9) 2 Р 2 А ! р 2 е ! Уравнение (12.9) называется уравнением Бернулли. Подставим значение величины Н из (12.6) в уравнение (12.5). В результате получим: 2т)см =йгад Н вЂ” Тягай з. (12.10) Рассмотрим течение, в котором во всех точках з и Н постоянны. Тогда из уравнения (12.10) следует: обем=О, т. е.
в таком течении линии тока и вихревые линии совпадают. Уравнение (12.10) применяется при исследовании течений за' криволинейными ударными волнами, которые будут рассмотрены в дальнейшем. Пусть течение безвихревое. Это значит, в каждой точке газа вектор м, а, значит, и циркуляция Г равны нулю. Из равенства е!=0 следует, что о„, о„о, будут частными !48 — + ~ — — (7 = Н = соп51. о~ гор 2 (12.7) Пользуясь тем„ что скорость звука а = ~ — ) и что вдоль лн/др! ~ (. нии тока энтропия постоянна, уравнение (12.7) можно перепи- производными функции р(х, у, г, 1), называемой потенциалом скорости.
Согласно (12.1)„безвихревое движение описывается уравнением дч 1 1 дг 2 — + — ягаб о' = г — — пгаб Р. (12.11) — Р=МР, или Р=~ Р, Р Р можно записать: — йтаб р = нгаб Р. 1 Р Представляя скорость по формуле (3.19), уравнение (12.11) мож- но записать в виде: вагаб~ — т+ — о~+ Р ) = г. '(дг 2 Следовательно, в рассматриваемом случае массовая сила Г является потенциальным вектором: Р = нгаб У, и предыдущее уравнение принимает вид: игам(, т+ — "+~ — р — у) = О.
Отсюда дт ч~ (' др д1 2 .~ Р— + — + à — — У=Ф(1), где Ф(1) — произвольная функция времени. Интеграл (12.12) называется интегралом Коши — Лагранжа. Для совершенного газа этот интеграл принимает вид." (12.12) дт ч~ ат д1 2 а — 1 — + — + — — У = Ф(1). (12.13) Запишем векторное уравнение движения газа при отсутствии массовых сил: чй Рар дгаб — — чх(йгайхч) = — вагаб ) —. 2 Взяв операции вихря от обеих частей этого уравнения, получим выражение: — го1 (чх(дгабхч)1 = О, 149 Положим, что процесс баротропный, т. е. давление зависит только от плотности. Тогда, вводя обозначение которое можно записать также в виде: — яга4Х(тХм) = О. (12.!4) Рассмотрим плоское движение несжимаемого газа в координатной плоскости х, у. В этом случае вектор вихря м направлен перпендикулярно плоскости течения, и проекцию векторного выражения (12.14) на нормаль плоскости течения можно представить в виде: т игарка= О.
Но вектор скорости т заведомо не равен нулю, и из полученного соотношения следует, что градиент вектора м вдоль линии тока равен нулю, т. е. вдоль линии тока е сохраняет постоянное значение: и = сопз1. (12.15) Рассмотрим теперь осесимметричное движение несжимаемого газа. Пусть плоскость х, у есть меридианная плоскость в этом течении, а ось х направлена по оси симметрии движения.
В этом случае вектор вихря имеет единственную компоненту, перпендикулярную меридианной плоскости. Проекции выражения (12.14) на нормаль меридианной плоскости можно записать в виде: ч~дгай и — —" птаху) = О; Д отсюда чтигаа ш ч Кгад у ~о У Но движение газа установившееся, поэтому из полученного соотношения вытекает дифференциальное уравнение Да Ду О> Ц Интегрируя его, получим: 1п — = сопз1. Д Итак, в осесимметричном установившемся движении газа вдоль линии тока остается постоянным следующее отношение: (12.16) — = сопз1.
Д 150 ф 18. Уравнении магнитной газодинамики 4л во дЕ го1Н = — 1+ — ' —, се со дг ' (13.1) 1 дН го(Е = — — —, с дГ' (13.2) (13.3) п(чЕ = — р,. 4л зо (13.4) * Обычно плазмой называется полностью ионизированный газ, проводником же злектричества может быть и частично ионнзированный газ. 151 Современное изложение динамики газа не может быть полным без рассмотрения движения проводящего газа. До последнего времени вопросами движения проводящего газа занимались в связи с астрофизическими явлениями и процессами в верхних слоях атмосферы (ионосфере), где газ в значительной степени ионизирован. В настоящее время к рассмотрению движения проводящего газа приводят и другие практически интересные задачи.
Например, проблема создания космических двигателей, задачи, возникающие в связи с проблемой управления термоядерными реакциями, задача ускорения высокотемпературных ионизированных потоков, образующихся в ударной трубе с помощью внешних электромагнитных полей, и др. Раздел газовой динамики, в котором рассматриваются движения проводящего газа в электромагнитном поле, называется магнитной газодинамикой или магнитной гндродинамикой. В этой главе мы ограничимся выводом уравнений движения магнитной газодинамики. Как и прежде, считается, что газ является сплошной сжимаемой средой.
Поэтому магнитная газодинамнка так же, как динамика непроводящего газа, оперирует усредненными величинами, относя их к макрочастице. Эти средние значения параметров, характеризующих течение проводящего газа в поле действия электромагнитных сил, считаются, вообще говоря, непрерывными функциями координат и времени (за исключением поверхностей разрыва). Рассмотрим движение ионизированного газа, который принято называть плазмой*.
Ионизированный газ, в отличие от газа, состоящего из незаряженных молекул и атомов, является проводником электрического тока. Поэтому при движении такого газа в электромагнитном поле в нем возникают электрические токи, которые могут существенно влиять на это движение. Величины, характеризующие токи и электромагнитные поля, прежде всего подчинены уравнениям Максвелла, которые в абсолютной (Гауссовой) системе единиц имеют следующий вид: В этих уравнениях Н обозначает напряженность магнитного поля, Š— напряженность электрического поля, ) — плотность тока, р, — плотность заряда, а, — диэлектрическую проницаемость среды, с, — электродинамическую постоянную, равную скорости света в йустоте.
В приведенных выше уравнениях Максвелла не делается различия между напряженностью магнитного поля Н и магнитной индукцией В = [оН потому, что для всех известных проводников — газов магнитная проницаемость [о мало отличается от единицы. К уравнениям Максвелла необходимо добавить еще уравнение, выражающее закон Ома для движущейся проводящей среды со скоростью ч*: ] = р,ч+ аЕ', (13.5) где Е' = Е + — ч л' ,Н, а через а обозначена проводимость со среды. Величина аЕ называется плотностью тока проводимости, а — чХН вЂ” плотностью тока индукции, р,ч — плотностью конвексо ционного тока. Если ввести в рассмотрение количество заряда о), то размерности приведенных электрических величин будут следующие: з 1 ! [И=МУ1тТ ', [Е)=[О) =М 1. Т 1; з з Ц =М'1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
