Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 22
Текст из файла (страница 22)
ф 10. Динамическое подобие Уравнения Навье — Стокса (6.2) совместно с уравнением неразрывности (6.3), уравнением состояния (6.9) и уравнением энергии (7.20) составляют систему уравнений движения газа, интегрирование которой встречает непреодолимые математические трудности. Более того, даже уравнения движения идеального газа для большинства практически важных задач не удается проинтегрировать.
В связи с этим, естественно возникают две проблемы: а) упрощение уравнений движения газа (вязкого и идеального) для данной группы задач, путем отбрасывания в этих уравнениях членов, относительно мало влияющих на значения искомых параметров; б) экспериментальное исследование течения газа. Вторая проблема всегда возникает при проверке результатов теоретических исследований. Экспериментальные исследования течения около или внутри тел производятся, как правило. не с 1=1о1', х= 1ох*ю у= 1оу*' е= 1ое*, г" = Ро г" о; Л = ~'о Л', ...
о.о оооо 1 ' 7 7о7 р = ро р; е = е, е*; р = ро р* (10.1) и т. д. Введем безразмерные величины в уравнения движения газа и в полученных выражениях у букв опустим звездочку (это не при- 1зз телами в натуральную величину, а с моделями, геометрически подобными телами меньших размеров. Поэтому возникает вопрос о возможности переноса результатов испытания на натурный объ ект.
Эта задача, а также задача о приближенном интегрирова. нии уравнений газовой динамики, и приводят к введению поня тия динамического или механического подобия течений. Течения двух газов с геометрически подобными и подобно расположенными границами называются динамически подобными течениями, если параметры одного течения могут быть получены из соответствующих параметров другого течения в соответственных точках в соответственные моменты времени путем умножения на одинаковые для всех точек множители, которые называются коэффициентами подобия. Из этого определения следует, что линии тока в обоих течениях будут подобными.
В установившихся течениях вопрос о времени отпадает. Для установления достаточных условий существования динамического подобия обратимся к уравнениям движения вязкого, теплопроводного совершенного газа. Эти уравнения представлены формулами (6.2), (6.3), (6.9), (7.20). В векторной форме они сведены в систему (7.24). Заменим в этих уравнениях полную производную от параметров движения через сумму локальной и конвективной производных по формуле (3.10) и затем преобразуем их так, чтобы входящие в них величины стали безразмерными.
Этого можно достигнуть, если указанные величины (скорость, давление, температура, внешние силы и т.д.) выразить через их отношение к некоторым типичным для данной задачи параметрам. Пусть, например, некоторое твердое тело находится в потоке газа. Тогда за характерную скорость можно принять скорость невозмущенного потока о„для линейных размеров можно взять характерную длину обтекаемого тела 1„для времени — время 1о, характеризующее нестацнонарность задачи и т. д. Таким образом, эталон обозначается той же буквой, что и сама величина„но с индексом «О», 'этой же буквой, но со звездочкой, обозначается соответствующая безразмерная величина. Будем иметь: ведет к путанице).
Тогда первое уравнение системы (6.2) с учетом (3 10) примет вид: со дох "о ( дсх дсу дс. 1 2 Р— Р— х+Р— ~. —.+. — +. =.1= ог д( о( 1 хд» Уду хдг)= = Рор Рхт — — — + — ~ — ~(х(2 — — б(чт]+ Ро дР Росорд ! Р дс 2 о о (о дх (2 (дх ~ ( дх 3 ду ~~ (ду дх)] дг ~~ (дх + дг)]) ' (10.2) аналогично напишутся дза других уравнения этой системы. Причем коэффициенты при членах этих уравнений, составленных из величин — эталонов, будут такими же, как в (10.2). Уравнение неразрывности в безразмерных переменных записывается так: — — + — ''(1 " + — +=) = 0. (10.3) ро др роро (д(рсх) д(рсу) д(рсх)1 (о д( (о ( дх ду дг Уравнение состояния (6.9) в безразмерной форме записывается следующим образом: (10.4) Р= Рт.
Введем в рассмотрение следующие числа: †' =- 5 число Струсого со "о со(оро халя; — ' = Гг — число Фруда — ' = М вЂ” число Маха; — о'Р' = Ро (о со Р.о "о (о = — = Ке — число Реинольдса. Уо Здесь ао = — — скорость звука в невозмущенном потоке, 2 хоРо Ро ср Й = — — отношение удельных теплоемкостей в невозмущенном с ПОТОКЕ, у, = Ро — КИНЕтИЧЕСКая ВяЗКОСтЬ ГаЗа. Этн ЧИСЛа НаэнаРо ны по именам ученых, которые их ввели в науку. Если эти числа, которые называются критериями подобия, ввести в уравнение (10.2), то получим: дсх дсх дсу дс. 3 — х+о — +о — +о == д( « дх У ду * дг + д ~~ (Д + дх)]+ д ~~ (д + д )]1 137 Аналогично перепишутся два других уравнения системы (6.2).
Уравнение неразрывности (10.3) примет вид: 8 — + — "+ — + — *= О. др дд((Р рс ) д(Р "у) д(р и ) д) дх ду д) Обратимся к уравнению энергии (7.20) и отбросим в нем член, учитывающий излучение. Перейдем в этом уравнении к безразмерным параметрам, тогда получим: (10.6) 1 1о дТ дТ дТ дТ) рс — — + о — + о — + о — = еЬо1о д1 дх т ду ~ дг! йтаб Т) р РВ+ ° Т ' р р (10.7) где теперь 8 и Ф выражаются через безразмерные величины, но формально определяются с помощью (1.13) и (7.10). Введем безразмерное число Прандтля по формуле Рг = —. Расре "о (10.8) Тогда с помощью безразмерных критериев подобия уравнению (10.7) можно придать вид дТ дТ дТ дТ 1 рс 3 — +о — +о — +о — ~ = е [ д) ~ дх Р ду ~ дг ) — б(ч() пгайТ) — ()),— 1)рВ+ ' ' 1 — — тР'+ а уо(а0 — 1) М' ( 2 +2(е„,+е„„+е„+2е„„+2е„+2е )). (10.9) 138 Для определения движения газа необходимо к системе уравнений (10.5), (10.6), (10.9) и (10.4) присоединить безразмерные граничные и начальные условия.
Граничные условия сводятся к тому, что задаются значения безразмерных параметров или их производных на поверхностях, уравнения которых представлены в безразмерных координатах. Задание начальных условий означает, что в некоторый момент времени безразмерные параметры движения известны. Пусть рассматриваются два динамически подобных течения газа.
Тогда границы этого течения будут геометрически подобны и подобно расположены, что входит в понятие динамического подобия, при этом безразмерные координаты в сходственных точках будут иметь одни и те же значения. Далее из требования динамического подобия следует, что безразмерные величины времени, скорости и всех других параметров движения в сходственных точках должны иметь одинаковые значения. С другой стороны, параметры движения являются решениями енстемы безразмерных дифференциальных уравнений для каждого потока и, следовательно, одинаковыми должны быть эти системы уравнений. Обращаясь к системе (10.5), (10.б), (10.9) и (10.4), мы видим, что для подобия должны выполняться следующие условия: а) критерии подобия двух потоков должны быть равны 8, = Бм Ргг = Рг„М, = М„, Ке, = Ке,; (10.10) б) характеристики газов должны быть такими, чтобы выполнялись равенства критерия Прандтля и отношения теплоемкостей Ргг = Рга', АО = й (10.11) в) зависимости от температуры коэффициента вязкости р., коэффициента теплопроводностн ), и удельных теплоемкостей с, и с„ должен быть таким, чтобы безразмерные величины (! 0.12) во "о го были функциями только от безразмерной температуры Т'".
Последнее условие выполняется, если в, Х, с, зависят от температуры Т по степенному закону. При этом для подобия необходимо, чтобы для двух потоков выполнялись равенства Если эти условия удовлетворены, то рассматриваемые два течения будут характеризоваться одной и той же системой безразмерных дифференциальных уравнений. Тогда и решения этих уравнений, выраженные через безразмерные переменные, будут одинаковыми, если безразмерные граничные и начальные условия тоже одинаковы. Обычно начальные и граничные условия для скорости и других механических параметров не вносят новых критериев подобия.
Например, граничное условие на поверхности твердого тела для скорости — условие обращения в нуль относительной скорости газа на твердой стенке — есть однородное условие и не дает нового критерия. Но температурное условие на границе тела с газом дает добавочное условие подобия. Например, задание температуры на поверхности обтекаемого тела Т приводит к критерию подобия Т Т Е То' 139 Пусть в общем случае (д) есть поток тепла на поверхности. Это граничное условие можно привести к следующему безразмерному виду: Если имеет место подобие, то функция Р(х*, у*, г*, (э) должна быть одной н той же для обоих потоков.
При этом дополнитель- т ном условии безразмерная температура Т" = — оказывается оп- = т, ределенной. Тогда вместо безразмерной величины (10.14) можно ввести следующую, эквивалентную ей величину Нп = . = ' = Нц(х", у*, г*, 1*), (10.15) (Ч )ю (9)ю~а т' — Ь Л,(т — 1) где Нц называется числом Нуссельта и является безразмерным коэффициентом теплопередачи (см. главу Х).
Итак, при соблюдении подобия течений с учетом теплопроводности будет иметь место равенство чисел Нуссельта для обоих потоков. Если газ калорически совершенный с постоянными коэффициентами теплопроводности и вязкости, то условия (10.13) выпадают из рассмотрения. При рассмотрении установившегося течения нетеплопроводного калорически совершенного идеального газа без учета внешних сил подобие определяется одним числом Маха, т. е. при рассмотрении частных задач некоторые критерии подобия могут не входить в соответствующие уравнения движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
