Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В соответствии с принципом равенства действия и противодействия будет иметь место соотношение Рп = Р-~ (2.1) Силу р„принято называть напряжением в данной точке поверхности с нормалью и. Пусть Е обозначает массовую силу, отнесенную к единице массы газа. Тогда к элементу массы газа с плотностью р в объеме !(т будет приложена массовая сила р!(~Г. Главный вектор массовых сил, действующих на массу всего выделенного объема т, представится векторным интегралом: ) р Р !( т =-! ) Х р д т + ) ) 'г' р д т + К ) Е р и' т, где Х, У, Š— компоненты силы Р по осям координат, а ! ° !, К— орты декартовой системы координат. Главный момент массовых сил относительно начала координат будет равен ) р (г' х'. Е) !(т = 1 ) р (уЛ вЂ” гУ) и' т + 3 ) р (гХ вЂ” хЛ) Н т + + К) р(хУ вЂ” уХ)дт, где г =!х+)у+ Кг — радиус-вектор частицы с массой рит.
В общем случае 'напряжение р„составляет некоторый угол с нормалью и. Проекция р„на нормаль называется нормальным напряжением, а проекция на площадку д Е называется касатель- ным напряжением. Главный вектор и главный момент поверхностных сил, прило- женных к массе газа в объеме т, выразятся интегралами, рас- пРостраненными по поверхности Е: По принципу Даламбера при движении любой материальной системы в каждый момент времени внешние силы, приложенные к ней, включая силы инерции, взаимно уравновешиваются.
Для выделенного объема газа этот принцип запишется в виде: ) (Р— в) р й т + ) р„д Е =- О, (2.2) Нт ГДЕ 1И вЂ” УСКОРЕНИЕ ЧаетИЦЫ РП'т Гаэа: 1И = — „ Пусть объем газа взят в виде элементарного тетраэдра КАВС, три грани которого параллельны координатным осям так, что их внешние нормали направлены против положительного направления координатных осей (рис. 9). Пусть а, р, т — косинусы углов с осями координат внешней нормали к грани АВС, имеющей площадь Ы Е. Тогда площади граней КВС, КАС н КАВ, являясь проекциями йЕ, будут соответственно равны адЕ; ~дЕ; тИЕ.
Применив уравнение (2.2) к массе газа в объеме этого тетраэдра, получим: Рис. 9 (à — 1и)рот+ р здЕ+р ~НЕ+Р,ТИЕ+Р„НЕ=О. (23) 1 Нт = — МЕ. з Поэтому уравнение (2.3) перепишется в виде: Р З й~(Е(Р и1) РкпЕ рру~~ Тря~( +РвпЕ = О 1 Сокращая полученное выражение на дЕ и переходя к пределу при Ь-+О, получим: Р.= Р.+1Р,+тр,. (2.4) Таким образом, напряжение в любой точке для любой площадки 1О4 Обозначая через Ь высоту тетраэдра (расстояние от точки К до грани АВС), получим величину его объема: найдется, если заданы напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через эту точку. В зависимости от ориентации площадки, проходящей через данную точку, напряжение р„будет различно. Напряженным состоянием в данной точке среды называется совокупность напряжений в сечениях, проходящих через эту точку.
ф 3. Уравнения движения газа в напряжениях В уравнении (2.2) напряжение р„ представим по формуле (2.4). Тогда это уравнение запишется в виде: ) р(à — тт) йх+ ) (р а+ руР+ р,у)ЙЕ = О. (3.1) Применяя к последнему интегралу этого уравнения преобразова- ние Остроградского — Гаусса, получим: = ~ ( " .. ., )' / дрх дру дрг~ (Р "+Руу+Р.ТИВ = ) ~ дх + др + д, (а . С учетом этого соотношения уравнение (3.1) перепишется так: др дру др~1 (р(Р— ш) + — + — + — 1 и'х = О. (3.2) дх ду дх дрх дру дрх )+ дх+ д + д (3.3) Из принципа Даламбера следует, что для главного момента относительно начала координат снл, действующих на выделенный объем газа, имеем: ~ р.
г х (Р— и) Й х + )' (г Х р„) Й Е = О . (3.4) Замечая, что г = (х+ 1у+ йг, иа основании формулы Остроградского — Гаусса и формулы (2.4) после преобразования поверхностного интеграла в объемный уравнение (3.4) запишем в виде: 105 Все величины, входящие в уравнение (3.2), предполагаются непрерывными функциями. Поэтому, в силу произвольности выделенного объема х, подынтегральное выражение должно быть равно нулю в каждой точке газа для любого момента времени. Это приводит к следующему виду уравнения движения: дРх дРу дэг 1 г х [(à — в)Р+ — + — + — 1Ж + дк ду дг ) г + ~ (1 Х рх+ 1 Х ру+ К Х р,) Й'с = О.
С учетом уравнения (3.3) и произвольности объема к нз этого выражения следует, что 1Х рх+1 Х ру+ К Х р,= О. (3.5) Введем теперь следующие обозначения для проекций на оси координат векторов рх, ру н р,: Р Р у Р Длн Р Рук Руу Руг дЛЯ Ру~ Р, Р„, Р, длЯ Р,. Здесь первый индекс при составляющих указывает, к какой оси перпендикулярна площадка, на которую действует напряжение, а второй указывает ту ось, на которую проектируется это напряжение. Р„х является нормальным напряжением, действующим на площадкУ, пеРпендикУлЯРнУю к оси х, а Р,у, Р„, — касательными напряжениями, действующими на эту площадку.
Аналогичные названия имеют компоненты напряжений, действующих на две другие площадки, перпендикулярные осям у и з. Совокупность девяти величин (3.6) составляет тензор напряжений и обозначается следующим образом: Ркк Рку Ркг Ру. Руу Руг Ргу Рг (3.7) Векторное уравнение (3.5) через введенные компоненты напряжений запишется в виде: ! ) К + О 1 О Рух Руу Руг 1 1 К 1 О О Ркк Рху Ркг + О О 1 Ргх Ргу Ргг Проектируя этот вектор на оси координат, получим: (3.3) Рух Ргу1 Рхг Ргк1 Рку Рук ' 106 Таким образом, тензор напряжений (3.7) содержит только шесть различных составляющих и симметричен относительно своей главной диагонали.
Векторное уравнение движения (3.3), в силу гЬ» дрхх Р щ — Р + дрху дрх» + — +— ду дг др„ др„ дР„ др, Р— = РУ.+— д7 . дх (3.9) + — + —, ду дх др др + дх» др»х щ Р дх ду + дх Эти уравнения называются уравнениями движения в напряжениях.
Они верны не только для газа, но и для любой сплошной среды. Рассмотрим некоторый объем газа. При медленной деформации этого объема или, что то же, при медленном перемещении частиц газа в этом объеме относительно друг друга силы сопротивления (их называют еще силами внутреннего трении) этим перемещениям ничтожно малы и стремятся к нулю при стремлении к нулю скорости указанных перемещений.
При быстром перемещении частиц газа относительно друг друга, т. е. прн больших скоростях деформаций, гаэ, вообще говоря, оказывает сопротивление деформированию. Это основное свойство газов, а также капельных жидкостей. Свойство газов оказывать сопротивление деформации называется вязкостью. Подробнееэто свойство рассматривается в следующем параграфе.
Для очень многих важных задач по исследованию движения газа с большими скоростями сила сопротивления деформированию оказывается пренебрежимо малой величиной. Сила сопротивления перемещению частиц газа по поверхности их соприкасания относительно друг друга, очевидно, есть касательная составляющая напряжения на этой поверхности. В обычных условиях газы практически не воспринимают растягивающих усилий, и любое малое растягивающее напряжение влечет разрыв непреРывности газа. Поэтому в газе при отсутствии касательных составляющих напряжение направлено против внешней нормали к поверхности, внутрь рассматриваемого объема газа.
Газ, обладающий такими свойствами, называется идеальным газом. Итак, в идеальном газе напряжение на любой площадке, проходящей через данную точку, перпендикулярно к этой площадке и направлено внутрь рассматриваемого объема, т. е. против внешней нормали к площадке. Из этого определения и фор"улы (2.4) следует, что в идеальном газе — р„п = — 1и р — Цр„— Чг(р„ "де п — единичная нормаль к площадке АВС (см. Рис.
9).. 107 введенных обозначений (3.6) и свойства симметричности (3.8) тензора напряжений, в проекциях на оси координат запишется тремя уравнениями: Из последнего выражения получим: Ри = Рк = Ру = Рк' Таким образом, величина нормального напряжения для идеаль. ного газа не зависит от ориентировки площадки. Отрицательное значение этого напряжения называется давлением и обозначается через р: Р= Рп= Рк= Ру= Р*' В результате, на основании этих соотношений, уравнения (3. 9) приводят к следующей системе уравнений движения газаз док др Р— =Ръ Ш дх' дг„ , др Р' — = Рг Ж ду' Нг ди Р =Рг Ш дг' лгу ди Производные —, —, — в этих уравнениях, а также производ- Ж' дг' Й ные от всех остальных параметров (плотности, давления, температуры, энтропии и др.) движущейся частицы называются полными или субстанциальными производными.
Для дальнейшего удобнее представить эти производные в виде суммы локальной составляющей, учитывающей нестационарный характер течения, и конвективной составляющей, учитывающей перемещение частицы. Пусть Р(х, у, з, 1) обозначает какой-нибудь из параметров движущейся частицы, которая в момент г находилась в точке с координатами х, у, з. В момент 1+г(г эта частица переместится в точку я+о„аг, у+о,йг, а+о,аг. Поэтому с точностью до малых второго и высших порядков относительно М будем иметь.' г(х+ окаг, у+ О„М, г+ о аг) — г(х, у, е, г) = =ой( — +пМ вЂ” +ой — +амт†дР ду дР ЗР дх У ду к дг дг Разделив обе части этого выражения на М и переходя к преде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
