Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 18
Текст из файла (страница 18)
лу при М-г-О, получим: Ы дР дР дР дР (3.1О) Первый член в правой части формулы (3.10) учитывает ие установившийся характер течения газа, три последних учитывают перемещение частицы. 108 Согласно формуле (3.10), для составляющих вектора ускорения будем иметь: до«1 +О г дг +О— до« Уду до„ У ду до« +О— У ду до« до« ~ до« вЂ” = — +О— ИЕ дс + «дх до„ +О «дг' до„ вЂ” = — +О— сЕЕ дс " дх (3.11) до«до«дог — = — +О— сЕЕ дс «дх +Π—. до« *дг ' Их можно представить с помощью следующих векторных форм: —, = —, + (ч втаб)ч дч дч (3.12) Ыо до 1 — = — + — аррас( Π— ч х го1 ч . ЕЕЕ дс 2 Подставим выражения для ускорений из (3.11) в левые части приведенных выше уравнений движения идеального газа.
В результате получим: до„ до, до« до« 1 др О,«+ «+ «)( дс «дх Уду гдг р дх доу доу, доу доу 1 др — +Π— +Π— +Π— =У вЂ” — —, дс «дх Уду гду р ду ' (3.13) до« до« до« до« 1 др — '+ Π— '+Π— '+ Π— *= г — — —. дс «дх Уду «дг р дг ' Эти уравнения эквивалентны одному векторному уравнению: дч дч — = — + (ч атас))ч = à — — ягас(р. И дс - р (3.!4) е1ля установившегося движения газа из (3.14) получим: (ч ягас()ч = à — прас( р.
1 Р (3.15) 109 В установившемся движении параметры газа являются функциями координат точки и не зависят от времени. Поэтому выражение (3.10) принимает вид: сср дР др дР Ж «дх Уду «дг ' — =Π— +Π— +Π—. Согласно второму векторному соотношению в формуле (3.12) уравнение (3.14) можно представить в виде дч ! ! — + ~ кгад о' — и х го(ч = à — — ягаб р. д! 2 Р (3.16) Уравнения (3.13) впервые получены Леонардом Эйлером и на зываются уравнениями Эйлера. Теория движения идеального газа математически хорошо разработана и, как указывалось, во мно. гих задачах дает удовлетворительную картину действительных движений. В то же время теория идеального газа не пригодна для объяснения явления поверхностного трения на поверхности обтекаемого тела, сопротивления формы, прилнпания частиц газа к граничной твердой поверхности н т.
д. В частности, эта теория приводит к парадоксальному результату: тело, равномерно движущееся в безграничном газе со скоростью, меньшей скорости звука, не испытывает никакого сопротивления (парадокс Даламбера). При равномерном движении тела в газе со скоростью, большей скорости звука, образование ударных волн приводит к появлению сопротивления тела, называемого волновым сопротивлением. Хотя это явление изучается в рамках модели идеальной жидкости, само образование ударной волны связано с влиянием вязкости и, таким образом, в определении волнового сопротивления вязкость учитывается косвенным образом, Отсутствие касательных напряжений в идеальном газе приводит в тому, что газ скользит по поверхности твердого тела, то есть имеется разность касательных скоростей газа и тела на этой поверхности. Напротив, наличие касательных напряжений в действительном газе приводит к прилипанию частицы газа к поверхности обтекаемого тела.
Это является существенным отличием действительного газа от идеального. Условие прилипания приводит к совершенно другим результатам в задаче об определении сопротивления тела, Таким образом,мы приходим к выводу, что для ряда задач модель идеального газа не годится и необходимо учитывать вязкость действительной жидкости, даже если она мала, как это имеет место для воздуха и воды. Линии тока в движущемся газе определяются как линии, касательные к которым в каждый момент времени совпадают по направлению со скоростью ч в любой ее точке. Из этого определения следуют дифференциальные уравнения линий тока ых .
лу лг (3.17) и (х,у,г,!) оу(х,у,г,1) мах,у,г,!) В случае неустановившегося движения траектории жидких час. тиц отличаются от линий тока. Для установившегося движения линии тока образуют семейство кривых, не зависящих от вре $!О мени и являющихся одновременно траекториями частиц. Если в области движения взять малый замкнутый контур, то линии тока, проходящие через точки этого контура, образуют трубку тока. В установившемся течении трубка тока пе изменяется во времени н может быть заменена твердыми стенками. В газовой динамике так же, как в гидроаэродинамике, большую роль играет класс безвихревых движений. Безвихревое движение характеризуется тем, что в каждой точке газа (3.18) Г01 ч = О.
Равенство (3.18) выражает необходимое и достаточное условие того, что компоненты скорости являются частными производными по координатам от некоторой функции ч(х, у, г, 1), называемой потенциалом скорости. В векторной форме это условие запишется так: ч = дгаб Ч. (3.19) В случае установившегося движения потенциал скорости ч от времени не зависит.
Безвихревые движения называются также потенциальными движениями. Выше было показано, что касательные силы или, другими словами, силы трения в действительном газе появляются при его деформации. Поэтому естественна попытка установить связь между компонентами тензора напряжений (3.7), характеризующими напряженное состояние, и компонентами тензора скоростей деформации (1.13), характеризующими деформацию. Силы трения в газе обусловлены его вязкостью. Следовательно, в первую очередь необходимо уяснить себе сущность этого свойства. В 4.
ВЯзкость Сущность вязкости газа проще всего уяснить путем следующего типичного примера. Рассмотрим течение между двумя плоскими пластинками, из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется в собственной плоскости с постоянной скоростью (7 (рис. 10). Обозначим расстояние между пластинками через Ь и предположим, что давление во всем пространстве, занятом газом, постоянно. Опыт показывает, что газ прилипает к обеим пластинкам, следовательно, непосредственно около нижней пластинки скорость газа равна нулю, а непосредственно около веРхией пластинки она совпадает со скоростью у верхней пластин- Далее опыт показывает, что в пространстве между пластинками имеет место линейное распределение скоростей, т.
е. ско- 111 рость течения пропорциональна расстоянию от ки н выражается формулой Для того чтобы существовало такое состояние движения, к газу со стороны верхней пластинки должна быть приложена ка. сательная сила в направлении движения, уравновешивающая силы трения газа.
На основании результатов опытов эта сила, отнесен на я к единице площади пластинки, пропорциональна скорости У и обратно пропорциональна расстоянию й между пластинками. Следовательно, сила трении с, отнесенная к единице площади (т. е. касательное напряжение) пропорциональна отношению: — (4.2) и а' Рис, 1О. Коэффициент пропорциональности Р в этой формуле называется коэффициентом вязкости.
Он зависит от природы газа, от температуры и почти не зависит от давления. Он мал для так называемых маловязких газов, к которым относится, например, воздух. На основании (4.1) формулу (4.2) можно написать и так: дс — !й —, й!у ' (4.3) Мы примем как опытный факт справедливость этой формулы в общем случае, когда два соседних слоя на расстоянии й(у друг от друга и перпендикулярных оси у движутся в направлении осн х со скоростями и и о+!(о. При этом с обозначает касательное напряжение. Закон, выражаемый равенством (4. 3), называ ся законом трения Ньютона. Размерность коэффициента вязк ти сразу определяется из формулы (4. 3). В технической сист единиц будем иметь в системе СИ— (1кГ = 9, !12 При движении газа характерным является также отношение вязкости к плотности газа, называемое кинематической вязкостью и обозначаемое буквой чч Р ч =— Р Коэффициент р иногда еще называется динамической вязкостью.
-Некоторые численные значения величин р, р, ч для воды и воз- духа даны в табл. 1. Таблица 1 звачепнп плотности, ввзкостн и кннеыатической впзкости воды н воздуха прн разных температурах Вязкость Р.[зе [сГ пк м-*1 Кянематнческая вязкость .!Ое [м* сек-'1 Плотность р [кГ сея* и-з! ТемпеРатуРа [ с1 Веще- ство 183 133 103 66,8 48,3 36,4 28,9 101,9 101,9 101,7 101,1 100,.2 99, 1' 97,8 1,80 1,30 1,01 0,661 0,482 0,368 0,296 Как видно из этой таблицы, коэффициент вязкости воды сильно уменьшается с ростом температуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
