Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Тогда все члены в этом уравнении будут интегралами по одному и тому же объему а. Так как этот объем про- нзволен, а подынтегральные функции предполагаются непрерыв- ными, то из указанного уравнения получим: Р,1 ( 2 )+ Р = п1« (" йгао Т)) + Р Ча + — ( Р ' «) + + — ( р ч)+ — (р,.ч) . (7.6) д /ч ° ч', дч р — ( — ) = Рч — = р«1«. И~2)е1 Используя уравнение (3.3), можем написать: Производя такую замену в левой части (7.6) и сделав сокраще- ния, будем иметь: р — = йч () афтаб Т) + р д + р„— + р — + р, — . (7.7) де дч дч дч Ж " дх з ду дг Заменой составляющих тензора напряжений составляющими тензора скоростей деформаций по формулам (5.5), (!.4) и приведением членов из (7.7) получим: р — = рд + Йч()ягайТ) — р — — р Вв+ д1 Л 3 + 2 Р.
( ев„+ ев + е„+ 2 е „+ 2 е, + 2 е~,), (7.8) где В выражается формулой (1.25). Умножая все члены уравнения неразрывности (6.3) на р, будем иметь: Объединяя первый и последний члены правой части, придем к равенству: ре= — "— „'+Р— „" ( — '). 8 Заказ ив ввв 121 Это соотношение и является дополнительным уравнением, которое наряду с уравнением состояния необходимо присоединить к уравнениям Навье †Сток. Вид функции ел уточняется при решении той или иной задачи. Преобразуем уравнение (7.6). Первый член в левой части зтого уравнения запишем следующим образом: и называется диссипативной функцией. В главе 1 было введено понятие теплосодержания или энтзльпии Е: е+ —.
Р Р Пользуясь этим обозначением, представим уравнение (7.9) в виде р — „„= ре7„+ е(1ч(Лягай Т)+ —,„+ р Ф . Ж ер (7.11) Другой вид уравнения энергии, согласно (7.8) и введенным обо- значениям, запишется так: р — „, = р е) + 41ч (Л йтаб Т) — р й + р Ф (7.12) Последнее уравнение отчетливо показывает, за счет чего происходит изменение внутренней энергии.
Оно показывает, что, кроме теплопроводности и излучения, внутренняя энергия изменяется за счет работы сжатия р й и диссипативиой силы. Уравнения (7.11) и (7.12) эквивалентны уравнению для первого закона термодинамики и выражают этот закон. Причем они получены для общего случая движущегося газа. Для невязкого нетеплопроводного газа эти уравнения соответственно принимают вид: Л Ир р — =р) + —. ж и ж де р — = Ре) ее (7.14) Последнее соотношение является дополнительным уравнением, которое необходимо наряду с уравнением состояния присоединить к уравнениям Эйлера (6.10). Очевидно, уравнение (7.13) эквивалентно уравнению (7.14) и может заменить последнее.
Если пренебречь излучением, то уравнение (7.14) с учетом уравнения неразрывности, дает: Ие р др р — = — рй —— =ш = р ее 122 Заменив в (7.8) значение рй этим выражением, мы прндадим уравнению энергии следующий вид: р — ~е.+ Р 1 =рд -1- е)1ч(ЛагабТ)+ — Р+ р.Ф, (7.9) ! ае где Ф вЂ” — й'+ 2 (е,', + е„'„+ е' + 2е„„+ 2е'„, + 2ее, ) (7.10) отсюда имеем; (7.15) т. е. получим выражение первого закона термодинамики для адиабатического обратимого процесса. Согласно главе 1, энтропия з газа определяется из основного соотношения: (7.16) Формула (7.16) и уравнение неразрывности дают~ Из Не рэ Т вЂ” = — +— р <й рт —; рпл (7,17) р Т вЂ” „, = р дл + б(ч (Х агад Т) + в Ф .
(7.18) Последние формулы показывают, за счет чего изменяется энтропия частицы. Например,' из этих выражений следует, что энтропия частицы невязкого нетеплопроводного газа остается постоянной, если отсутствует излучение. Согласно главе 1, дифференциал внутренней энергии е совершенного газа представляется в виде: де=с,ЙТ> (7.
19) где теплоемкость прн постоянном объеме с в общем случае яв- ляется функцией температуры. Таким образом, уравнение энер- гии для совершенного газа записывается согласно (7.12) так: р с, — „= р й, б(ч р ягаА Т) — р д + р Ф ат (7.20) Для дифференциала энтальпии имеем: и(г а дт, где теплоемкость при постоянном давлении ея также является функцией температуры. Поэтому уравнение эйергии для совер- зь Определим из этого выражения производную по времени от внут- ренней энергии и подставим ее в уравнения (7 14) и (7.12), в ре- зультате будем иметь: щенного газа, согласно (7.13), можно записать еще так; р с — „= р д„+ б)т (Х йгай Т) + — „, + р Ф .
лг Ир (7.21) Если совершенный газ невязкнй и отсутствуют теплопроводность и излучение, то из соотношения (7.15) следует: с,г)Т+ рЫ( — ) =О. (7.22) Если подставить это выражение в (7.22) и учесть, что ср И=с — с А=в Р ч ° о то для калорически совершенного идеального газа получим: отсюда придем к известному уравнению Пуассона: (7.23) Все наши выводы относятся к фиксированной частице.
Поэтому в общем случае постоянная интегрирования С различна для различных частиц движущегося газа. Если в некоторый момент времени 1 давление и плотность для всех частиц газа одинаковы, то, как показывает формула (7.23), постоянная будет одинакова в любой другой момент времени. В случае установившегося движения газа частицы, проходя через данную точку траектории, приобретают давление рз и плотность р, в этой точке, и, согласно(7.23), должно иметь место соотношение: С =— о— Р~ Но так как справа стоит постоянная величина, то мы приходим к выводу, что и установившемся движении вдоль траектории Калорический совершенный газ характеризуется тем, что в приведенных формулах с, и ср полагаются постоянными величинами.
Продиффереяцируем уравнение состояния совершенного газа р йрТ и определим из полученного выражения дифференциал температуры ! постоянная уравнения (7.23) одинакова для всех частиц и равна С,. Таким образом, вдоль траектории где р, и р,— давление и плотность в какой-нибудь точке этой траектории. Конечно, на каждой траектории будет' своя постоянная С. Отметим еще раз, что эти выводы верны для обратимых адиабатических течений.
Обратимость следует из отсутствия диссипативных сил [формула (7.10)). Присоединяя соотношения (7.20) и (6.9) к уравнениям (6.5),получим полную систему уравнений движения совершенного газа: р~ — — ч х го1ч+ — дгаг(о )« = р à — Ягас[р+ / дч 1 3 [, а« 2 + — ягаб(р б!чч)+ вагаб(чягабр) — чдр+ агабр. х 4 Х го1 ч — йч ч вагаб в — го1 го1 и ч д" +йч(рч) = О, аг р с — „= р су4 + йч (Л Игаб Т) — ' р 8 -+ о Ф, дТ р =)г рТ. (7.24) Отсюда для невязкого нетеплопроводного совершенного газа получим: р ~ — — и Х го1 ч+ — агаб о ~ = р Р— ага«[р, l дч 1 й ~ д« 2 + + йч(р ч) = О, аг дТ рс„— „= рдз — рй, р = 7г р Т (7.25) 8 8. Распространение слабэгх возмущений в газе Рассмотрим течения газа, при которых существуют поверхности разрыва.
На таких поверхностях могут терпеть разрыв как сами параметры газа, так и производные от этих параметров по независимым переменным. Если на. поверхности тер- 125 пят разрыв только:производные параметров, то такая поверхность называется поверхностью слабого разрыва. В настоящем параграфе мы определим скорость распространения поверхности слабого разрыва. Но прежде получим выражение для скорости Р, с которой перемещается любая поверхность вдоль нормали в некоторой своей точке. Для этого рассмотрим два положения этой поверхности в моменты 1 и 1+ Ы. Пусть в момент 1 уравнением поверхности будет л Р (х, у, г, 1) = О . (8.1) Проведем из точки М поверхности нормаль до пересечения с этой же т+ ~Г поверхностью в момент 1+ д1 в точке М, (рис.
11). Обозначим расстояние ММ, через б 1. Скоростью перемещения поверхности Р(х, у, г, 1) = О по определению называется величина Рис. 11 Р = 1пп —. Ы м-о Ы Если Ьх, Ьу, Ьг представляют собой проекции отрезка Ь1 на оси координат, то будем иметь: (8.2) Очевидно, что координаты точки М, будут х+ Ьх, у+ Ьу, г+ + Ь г, и так как эта;точка лежит на рассматриваемой поверхно- сти, то Р(х+ Ьх, у+ Ьу, г+ Ьг, 1+ Ь1) =О Если разложить это выражение в ряд Тейлора и ограничиться малыми первого порядка, то получим: Из этого выражения следует, что Р=11ш — = — —: О.
Ы дг м-г аг дг (8.3) Скорость Р направлена по нормали, она имеет чисто геометрический характер и не связана с движением газа. Если из этой скорости вычтем проекцию о„ скорости газа на нормапь к поверхности в точке М, то получим скорость распространения гг поверхности от одной частицы газа к другой: (8А) ф(х, у, г, 1) =.С.
(8.5) Тогда из уравнений (8.1) и (8.5) имеем: — г(х+ — Н у+ — г(г+ — г(1 = О, дР дг" дг дР дх ду дг дг (8.6) — Ых+ — г(у+ — дг+ — г(г = О. дф дф дф дф дх ду дг дг (8.7) Так как дифференциалы г(х, Ыу, г(г, Ыт связаны только одним соотношением (8.6), то полагая, например, Нг =г(г = О, имеем: — Ых+ — йу = О, — г(х+ — г(у'= О, дР .. дг" дф дф дх ду дх ду откуда дф . дл дф дР дх ' дх ду ' ду Аналогично получим соотношения: дф .
дя дф . дя дф . дя дф дР дх дх дг ' дг ' дх ' дх дг ' дг Из этих соотношений окончательно получим: дф ду дф дф дф ду дф ду —: — = —: — = —: — = —: —, = р(х, у, г. г). дх ' дх ду ' дг дг ' дг дг д' (8,8) 127 Отметим, что если на рассматриваемой поверхности скорость газа терпит разрыв, то скорость 6 распространения поверхности также терпит разрыв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
