Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(13.13) Глава П Уравнения движении газа ф 1. Деформация частицы газа Для составления уравнений движения газа необходимо установить законы деформирования газа в процессе движения. Для этого мысленно выделим малую частицу газа, ограниченную некоторой поверхностью. РасЮ смотрим положение этой час- тицы в два бесконечно близких о момента времени Г и 7+ см'. В момент 7 возьмем две произ- Р вольные точки О и М в выде'л г ' Р ленной частице.
Обозначим абсолютные радиусы-векторы этих точек соответственно чер У рез г, и г, через р относительный радиус-вектор ОМ. Пусть г„', г', р' — значения этих век- Ф торов в момент 7+И (рис. 7). Рис. 7 Элементарные перемещения то- чек О и М будут: Й;= г,' — г,, а'г=г' — г, и очевидны следующие геометрические соотношения: р'= г' — г,', р =г — г,. Разность р' — р можно назвать относительным перемещением точки М по отношению к точке О за время й. Обозначим этУ. разность через ор: Ф= р' — р. 98 Поэтому можно написать: й р = г(г — Нг, =~ч — иг) й > (1.1) где ч и и,— скорости точек М и О в момент г. Пусть х, у, г и 1, УЬ с — проекции вектора г, и вектора р соответственно на оси декартовых координат.
Через ц„,п, вх обозначим проекции вектора скорости и на оси координат и предположим, что эти компоненты вектора скорости есть непрерывные функции точки. Тогда соотношение (1.1) в проекции на оси координат запишется так: г(1= (П (Х+ $, У+ УЬ г+ С, Г) — их(Х, д, г, г)) г(г, г(т) = (пу (х + 1, у + д, г+ с, Г) пу (х> д, г, 1)) Й > И с = (п (х+ 1, у+ У1, г+ с, 1) — ьг (х, у, г, 1)) г(1 .
(1.2) Разлагая первые члены в фигурных скобках в ряд Тейлора около точки О(х, у, г) и оставляя только малые первого порядка, получим." дг>х дгх дг>х~ Д1 = ($ — + у) — + с — / Й, ду ду дг / дг>у дг>у дг>у~ Нй=(1 — +4 — + с — ~Й, дг ду дг 1 дг>х й с = (1 — + У1 — + с — ) Й. дх ду дг у (1.3) дгх . диу дг — > а — =е — =г хх> ду УУ> дг гг> (1.4) Непосредственной проверкой можно убедиться, что в обозначе- ниях (1А) соотношения (1.3) принимают вид: Очевидно, что г(1, Н ть й с — проекции вектора относительного перемещения точки М относительно точки О за время пг. Следуя Гельмгольцу, введем обозначения: ) 1 (1.5) »(Е= (е Е+е„т»)+е„с+ (в»с —,»»,»1)(Й, е(»1 = (е „Е+ е „»1+ е с+ (в, Š— в с)! пг с(с= (е Е+е, а+е с+(в»1 — в»Е)(й ° Введем функцию 2 Ф = е,„Е» -(- е„„»1' -(- е с'+ 2е Е»1+ 2е„ч с+ 2е с Е (1.6) и перепишем (1.5) в более компактном виде: (дФ »( Е = [ — + (в Хр)„)»11, "») = ( д + (в Х Р)~~ пг »Мс = ( — +(в Х р),~ пг, (1.7) где 1 в = — го1ч 2 (1.8) Так как Нг = от,+ йр, то, согласно (1.7), скорость точки выра- жается формулой: ч = ч, + в х р+ агаб Ф.
(1.9) Если бы выделенная частица была абсолютно твердым телом и в соответствовала мгновенной угловой скорости вращения частицы вокруг оси, проходящей через точку О (полюс), то скорость про- извольно выбранной точки М выражалась бы формулой: ч=ч,+вхр ч, = агабФ. (1.10) Из (1.10.) и (1.6) видно, что скорость чистой деформации является потенциальным вектором с компонентами: о,„= е „Е+е„» я+ е„,с, о,„= е„Е+ е»1+ е,с, о„=е,„Е+е, »)+е с. (1.
11) 1ОО Сравнивая это выражение с (1.9), приходим к заключению, что скорость любой точки деформируемой частицы газа складывается из скорости ч, поступательного движения точки О (полюса), вращательной скорости 'ч, = в Х р относительно мгновенной оси, проходящей через точку О и скорости чистой деформации ч„ которая определяется так: Девять коэффициентов в правых частях этих соотношений составляют тензор скоростей деформации, который обозначают следующим образом: е„ е„ е„, е,„ е„, е„, е,„е„е, На основании (1.5) этот тензор содержит только (1.12) шесть различсвоей главной представить в ных составляющих и симметричен относительно диагонали.
Таким образом, формулу (1.10) можно символической записи: е„„ е„ е , ч,= е,„е е„р. е,„е,„е„ Из этого выражения следует, что величина де„де де .Ф + У 1 2 дк ду дг (1.13) есть скорость относительного объемного расширения жидкости в области рассматриваемой точки и является инвариантом относительно преобразования координат. Исследование движения газа можно производить двумя способами. Можно поставить целью определить параметры газа в каждой точке х, у, г пространства, занятого газом, в любой момент времени. В этом случае все величины, характеризующие течение, будут функциями аргументов х, у, г, 1, называемых переменными Эйлера. Но возможен другой подход, развитый Лагранжем: для получения полной картины течения достаточно для каждой частицы газа знать ее положение в пространстве и ее параметры в любой момент времени.
С этой точки зрения, прежде всего необходимо обозначить частицы газа таким образом, чтобы можно было их отличить друг от друга. Это можно сделать, например, так. Отнесем рассматриваемое течение газа к прямоугольной неподвижной декартовой системе координат х, у, г. 101 ! Согласно (1.11), тензор скоростей деформации устанавливает аффинную связь между векторами ч, и р. Пусть Е поверхность бесконечно малого объема х, окружающая данную точку. Дивергенция (расхождение) скорости ч определяется формулой б1чч =!ип~ Гч дЕ ди ди, де~ ~-е,) с дх ду де Пусть а, Ь, с — координаты частиц газа в момент 1 = О. Коорди.
наты г, у, г любой частицы в произвольный момент времени г очевидно, будут функциями начальных координат а, Ь, с и време ни Г: г = ~,(а, Ь, с, Г); у = ~, (а, Ь, с, г); г = ~з (х, у, г, г). Аргументы и, Ь, с, Г называются переменными Лагранжа. В об щем случае пространственных течений удобнее вести исследова ние в переменных Эйлера, и в дальнейшем мы будем следовать этому методу. Но для одномерных неустановнвшихся течений газа метод Лагранжа также является эффективным и даже предпочтительным, особенно при рассмотрении границ и гранич. ных условий (см.
гл. Ч). Заметим, что полученные вэтом параграфе результаты верны для любой сплошной среды с непрерывным полем скоростей. ф 2. Уравнения динамики газа Выделим в движущемся газе некоторой объем с, ограниченный замкнутой поверхностью Е (рис. 8). На массу газа в этом объеме будут действовать внутренг и ние и внешние силы. Внутренние Р„силы — это силы взаимодействия между отдельными частицами, составляющими массу выделенного объема т г газа. Они всегда проявляются попарно, одинаковы по величине и прямо противоположны по направлению. Внешние силы действуют 0 между массой частиц газа в выделенном объеме и внешней материальной средой. В свою очередь, внешние силы делятся на массовые и поверхностные силы, массоРис.
з вые силы действуют на массу каждой отдельной частицы газа объема т и не зависят от других частиц газа этого объема. Примерами массовой силы являются: силы тяжести, сила инерции, а если газ является электрическим проводником (ионизирован) и находится в электромагнитном поле, то на газ будет действовать массовая сила электромагнитного происхождения, так называемая пондермоторная сила.
Поверхностными называются силы, приложенные к поверхности Е рассматриваемого объема газа. Например, действие окружающего газа на массу в выделенном объеме приводится к совокупности поверхностных сил, непрерывно распределенных по поверхно- 102 сти объема. Если рассматриваемую массу газа рассечь на две части, то внутренние силы, с которыми одна из этих частей действовала на другую, станут внешними поверхностными силами, распределенными по площади сечения.
Проведем в некоторой точке поверхности Е выделенного объема газа внешнюю нормаль п к этой поверхности и выделим элемент поверхности д Е в окрестности этой точки. Если обозначить через р„ (см. рис. 8) вектор поверхностной силы, отнесенной к единице площади, то на элемент Ы Е будет действовать сила р„ д Е . Индекс и указывает на то, что вектор р„ зависит от направления внешней нормали. Если индекс и соответствует направлению нормали внутрь поверхности Е, то сила, действующая со стороны внутренних частиц газа на элемент И Е, согласно принятому обозначению, будет равна р „и'Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
