Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Напротив, для газов значение коэффициента р растет с повышением температуры. Происхождение сил вязкости так же, как процесса теплопроводности в газе следует искать в молекулярной природе строения материи. Молекулы газа при своих собственных движениях переносят вместе с собой из одного места в другое определенное количество материи, энергии и количества движения. Результатом изменения коли"ества движения за счет этого процесса и являются силы вязкости. Те параметры газа, с которыми мы имеем дело при исследовании газа как сплошной среды, являются средними величи- 9 Заказ м зм 113 йн Ч сз сс Ф ч ха Я пз — 20 — 1О 0 10 20 40 60 80 100 — 20 — 1О 0 10 20 40 60 80 100 0,142 О, 137 0,132 0,127 0,123 0,114 0,108 0,101 0,096 1,59 1,65 1,71 1,77 1,83 1,95 2,07 2,19 2,33 11,3 12,1 13,0 13,9 14,9 17,0 19,2 21,7 24,5 нами от суммарного эффекта движений весьма большого коли чества молекул.
При изучении разреженного газа, как будет показано ниже, газ уже нельзя считать сплошной средой н уравнения движения необходимо выводить, исходя из представ лений молекулярной теории материи. Здесь же газ предполагается достаточно плотным, для того чтобы моделировать его сплошной средой. Перейдем теперь к установлению связи между напряжения. ми и деформациями газа. й" б.
Обобщенньуа закон Ньютона да Ркк = Р+Ытт +2Рд Р .у = Рук дсу р = — р + ) б(ч т + 2р. —; уу дд даг Р„= — Р + ! б(ч т + 2р д (5.!) Рхг Ргх Руг = Ргу При одномерном течении, когда аг = п(у); пу = аг = О, нз этих выражений получим: Соотношения (5.1) выражают собой обобщенный закон Ньютона, приводящийся в частном случае одномерного течения к формуле (4.3). Отметим здесь же, что общеприняты еще следующие обоз чения: 114 Связь между напряженным и деформированным состояниями для движущегося газа устанавливается обобщенным законом Ньютона. В основе этого закона лежат следующие допущения: 1.
Компоненты тензора напряжения в данной точке газа полностью определяются компонентами тензора скоростей деформаций и обратно. Составляющие тензора напряжений при отсутствии вязкости должны приводиться к соответствующим составляющим для тензора напряжений в идеальной жидкости. 2.
Компоненты тензора напряжений в каждой точке являются линейными функциями от компонента тензора скоростей деформации, причем коэффициенты этих функций не зависят от выбора осей координат, т. е. газ изотропен. Сформулированные выше допущения позволяют установить связь между компонентами тензора напряжений и компонентами тензора скоростей деформаций. В результате имеем атомных газов, мы ограничимся тем, что будем считать его справедливым для всех газов — одноатомных и многоатомных.
Та кое предположение во всяком случае согласуется с результатами опыта. Приняв условие (5.4), из (5.1) получим: (5.5) Представим соотношения (5.1) и (5.5) в тензорной записи. Соот- ветственно будем иметь: 1 0 0 е Ек, Екк Ркк Рку Рхх Р, Р„Р,„=( — р+ЛВ) О 1 О +2р еу е,у е, (55) Ргк Ргу Ргх 0 0 1 е, е, ехк Рхх Рку Ркх (5.7) Рук Руу Рух Ргк Ргу Ргг Вернемся к уравнениям движения (3.9) в напряжениях. Воспользуемся теперь формулами (5.5), выражающими обобщенный закон Ньютона, и выразим правые части уравнений (3.9) через производные от составляющих скорости. Для правой части, например, первого из этих уравнений, получим следующее выражение: дркх духу дркх др д Г док рХ+ — + — + — = р Х вЂ” — + — [2р —— дх ду дг дх дх 1 дх — — р 51«« ~ + — [р ( —" + — )) + — [р.
( — ' + д )') (6.1) Аналогичные выражения мы получим и для правых частей двух других уравнений (3.9). Коэффициент вязкости р в общем слУ- чае движения сжимаемого газа следует считать функцией точкИ. 113 Ркх= Р+Р( Руу= Р+Р( Рхх — Р+ р ( док 2 2 — — — й«ч); дх 3 доу 2 2 — — — йч «); ду 3 до, 2 2 — — Й1«ч); дг 3 — р О 0 е„,ек,ек, 6 0 0 0 — Р 0 +2р еу„еууе„~'и 060 3 00 — рееекх 006 ф 6. Уравнения Оавае — Стокса Уравнения Навье — Стокса (6.2) и уравнение неразрывности (6.3) в векторной форме принимают вид: /дч 1 р11 — + — игам аз — чХго1ч) = р à — вагаб р + ~д1 2 + — игам (р, Йч ч) + ягаб (ч дгаб р) — ч Ь р, + дгаб р Х 4 Х го1ч — йч чйтаб р — го1го1рч; др д1 ~ + б)ч (рч) = О. (6.5) р = р(Т). (6.6) Уравнения Навье — Стокса (6.2) и уравнение неразрывности (6.3) составляют систему из четырех дифференциальных уравнений, содержащих шесть неизвестных функций: и, о„, о„р, р, Т.
Изменение плотности и температуры приводит к необходимости ввести в рассмотрение некоторые термодинамические соотношения. Такими соотношениями являются: 1) уравнение состояния рассматриваемого газа, связывающее между собой давление, плотность и температуру газа; 2) уравнение энергии, которое выражает баланс между тепловой и механической энергиями.
Эмпирическую связь (6.6) между коэффициентом вязкости газа и абсолютной температурой чаще всего представляют в виде: — (п~(1 1 2 (6.7) 1 Случай и = — соответствует очень высоким температурам. Если 2 добавить к уравнениям (6.2), (6.3), (6.7) еще указанные выше два термодинамических уравнения, то получим систему из семи уравнений для определения семи величин: о, о, а, р, р, Т, р. Для идеальной жидкости система (6.5) содержйт четыре уравнения с пятью неизвестными величинами: о„, о, о„р, р.
В частном случае адиабатическнх обратимых теченйй совершенного газа существует уравнение, устанавливающее связь между, давлением и плотностью. Как известно из первой главы, для калорически совершенного газа в этом случае имеет место обратимая адиабата (адиабата Пуассона): 118 Однако для исследования сжимаемых газов уравнений Навье— Стокса и уравнения неразрывности недостаточно. В самом деле, пусть коэффициент р есть известная функция температуры Т: н уравнения (6.5) совместно с (6.8) дают систему из цяти уравнений для определения указанных выше пяти параметров газа.
В общем случае, как отмечалось, уравнение состояния газа устанавливает связь между давлением, плотностью и температурой. Присоединение этого уравнения к. системе (6.5) приводит к появлению новой неизвестной величины — температуры. Таким образом, для идеального газа, в общем случае движения, необходимо привлечение уравнения энергии. Вначале обратимся к уравнению состояния газа при происходящих в нем равновесных процессах.
Подробное исследование этого вопроса проведено в первой главе. Для совершенного газа, как указывалось выше, уравнение состояния записывается в виде: Р = 1С р Т, (6.9) и для адиабатических обратимых процессов наряду с этим уравнением имеет место уравнение Пуассона (6.8). ф 7. Уравнение энергии Выделим в общем потоке часть газа в объеме т с замкнутой поверхностью Е.
Этот объем газа обладает двумя видами энергии: кинетической К и внутренней Е, которые выражаются соответственно формулами." К = (р — й~,' Е = ~реет, 2 (7.1) — (К+ Е) . (7.2) Это изменение энергии происходит за счет работы поверхностных и массовых сил за единицу времени: р„ч й Е + ) р Е ч г(т, с (7.3) а также за счет теплопроводности и излучения. Приток тепла к выделенной частице за счет этих процессов в единицу времени Равен: Л вЂ” (В+~рд, (т, дТ дл (7.4) 119 где е — энергия, приходящаяся на единицу массы.
Изменение полной энергии газа в выделенном объеме, в единицу времени, представится в виде: где Л вЂ” коэффициент теплопроводности, и — внешняя нормаль, с)а — скорость притока тепла за счет излучения. Вопрос о роли излучения в задачах газовой динамики под робно рассмотрен в главе Х11. Теперь закон сохранения энергии можем записать в виде: — )р — с(т+ — )рее( с =~Л вЂ” ИЕ+ ~ рдл с(с+ НГ чч дГ Г дТ дс,~ 2 дс,),~ да + ) )др„ч с7 Е + ~ р Е ч с( ..
(7.5) Преобразуем поверхностные интегралы в объемные. Согласно (2.4), получим: ~р„чс)Е =~(р„а+ р р+ р 7)чс(Е =~~ — (р ч)+ + — (р ч ) + — ( р,.ч ))с( с. Далее = — соз (и, х) + — соз (и, у) + — соз (и, 3), дТ дТ дТ дТ ди д» ' ду ' де поэтому — с(Е =Я вЂ” '(Л вЂ” ')+ — '(Л вЂ” ')+ (Л ' )) (а. Производя в правой части уравнения (7.5) замену интегралов, по известной формуле: — )рР с(т= )р — с(т, д,) где функция Р есть некоторая векторная или скалярная вели- чина, получим дГ чч чч с". де — ) р — с( с+ — ) р ее(а = ) р — — с(а+с р — с1 с. дС,) 2 дС,),) дС 2,) дС 120 Подставим значения преобразованных интегралов в уравнение энергии (7.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
