Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Пусть при перемещениях точки Р (х; у, г) по поверхности (8.1) некоторая функция ф(х, у, г, г) сохраняет постоянное значение: Условия (3.12) называются условиями кинематической совместности. Из этих условий следует, что на заданной поверхности слабого разрыва достаточно знать одну функцию 1г(х, у, г, 1), чтобы определить все разрывы производной данного параметра; далее, если по одной производной разрыва нет, то и другие производные этого параметра не терпят скачка. Очевидно множитель пропорциональности для каждого параметра свой.
Помножим и разделим оба равенства в (8.12) на О, значение которого дано в (8.2), и введем обозначение: Тогда равенства (8.12) принимают внд: (НгабФ) =Лп; 1 — 1= — ЛР, (8.13) 'л дг где и =11+длг+ Кп — единичная нормаль к поверхности разрыва, 1, лг, л — направляющие косинусы этой нормали. При получении последней формулы в (8.13) было использовано выражение (8.3) для скорости поверхности разрыва. Первая формула в (8.13) в проекциях запишется так: ~д ~=Л1; ~д )=Ляг; ~д ~=Ли. (8.14) Применим теперь полученные результаты к основным уравнениям движения газа.
Будем считать газ калорически совершенным и изменение состояния его изоэнтропическим. Как известно из первой главы, в случае совершенного калорического газа энтропия з выражается формулой: зг и 1п — +з,; А= —; у ср сс Р (8.15) Условие постоянства энтропии частицы газа, согласно (8.15), можно записать в виде: д Р д, —, + чягап — с = О. Р (8.16) Уравнения Эйлера (3.13) в случае отсутствия массовых сил н уравнение неразрывности в векторной форме принимают вид: 129 1 — + ) — + К вЂ” ~ = н ~ 1 — + 3 — + К вЂ” ~; (8 12) дФ дФ дФ 1 Г дР дР дР 1 . дх ду дг 1 ! дх ду дг ! ' ! %- — '" дч дч дч дч 1 дг «дк У да гдг р — + о — + о — + о — =- — — йтабр (8.17) — р+.чагас1р+ рб(чч = 0 др дг На волне слабого разрыва параметры газа по определению непрерывны.
Поэтому, если написать уравнения (8.16) и (8.17) с одной и другой стороны поверхности разрыва и вычесть получаемые уравнения друг из друга, то получим: дг ) + ч (Ягао Р) + Р И! ч ч) = 0 др [ — ( — )~+ ч угай( «)~ = 0 (8.18) Последнее уравнение легко приводится к виду: Р[ д, ) — ИР[ —,~+ Рч Ытабр) — йрч Мгап Р) = О. (8.19) [д",~= Р(1л.+~л.+кл.)= Рл„. Л =1Л +)Л +КЛ .„[ф+.„[ф+ о.[ф =о„(л.
д+ . (1+ .(к)+ + оу ( Л~ т1 + Л, т1 + Л тК ) + о, ( Л, а1 + Л и) + )„, пК ) = ч пЛ»= о„лр (ягабр) = Лрп. В силу этих соотношений первое уравнение из (8.18) принимает вид: (8.20) Л, п = — Р ( — Р Л о + ок ЛУ) . Обозначим величину Л в формулах (8.13) для компонент скорости че- рез Л,, Л,, Л, а для давления р и плотности р соответственно через Лр и Лр, тогда будем иметь и распространяются также со скоростью а. Поэтому величину а называют скоростью звука или акустической скоростью. Вспоминая формулу (8.3) и замечая, что ду ду дР 1. ° =(.
— + ° — + ° — ):о, и ( х дх У ду г дг /' можно переписать уравнение (8.26) в виде: — +о — +о — +о — = +а дР ду ду ду дг "дх г ду г дг ~о р= рие ' (8.28) Отсюда и вследствие уравнения состояния совершенного газа (+У) = оз = Я7", (8.29) т. е. скорость звука пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры. В формуле (8.28) мы предполагали энтропию з для каждой частицы различной, но постоянной..В общем случае, когда энтропия частицы изменяется (например, за счет теплопроводности или других причин), распространение возмущений в газе более сложно.
Но предыдущие рассуждения показывают, что и в этом случае скорость звука определяется формулой: и =(а) ' Итак, если процесс неизоэнтропический и давление в частице зависит не только от плотности, но и от энтропии р = р(р, з), то 132 (8.27) Можно показать, что поверхность разрыва производных любого порядка от параметров газа распространяется со скоростью звука. Мы рассмотрели движение совершенного газа при условии, что энтропия частицы газа постоянна.
Но в общем случае энтропия различных частиц не одинакова. Поэтому величина а, определенная формулой (8.25), дает значение скорости распространения малых возмущений в окрестности данной точки и называется «местной» скоростью звука. Она имеет различные значения в различных точках. Из (8.15) имеем: г(р= аас(р+ ~ —,~ г(в.
( др1 1 да (р (8.30) для совершенного газа, согласно (8.28), имеем: р" Е ар = аЧр+ р г(в. с„ ф У. Начальные и граничньае условии При неустановившемся движении газа для некоторого момента г = 0 должны быть заданы значения всех искомых параметров движения о, о, о„р, р, Г. Если движение газа установившееся, то начальнйе условия отпадают. Граничные условия в случае вязкого газа будут иными, чем в случае идеального газа.
а) Граничные условия идеального газа. Если течение ограничено неподвижной границей, сквозь которую газ не проникает, то условием безотрывного обтекания границы газом будет равенство нулю нормальной составляющей скорости газа к поверхности границы. Если Р(х, у, г) = 0 — уравнение поверхности границы, то это условие запишется так: дР дР дР— о+ — о+ — о=О. дк ' ду г да (9.1) Если же граница является подвижной поверхностью Р (х, у, г, г) = 0 и течение газа безотрывное, то нормальная составляющая скорости частицы в любой точке поверхности должна равняться нормальной скорости Р точки самой поверхности. Последняя, согласно (8.3), выражается формулой: дР 0 = — — ° гт дГ нормальная составляющая скорости к стенке ° =~ — + — + — ) ( дР дР дР 1 дх л ду г да * Более подробно см.
а книге: Н. Е. Кочин, И. А. Кибела н Н. В. Розе. Теоретическая гидромеханика, ч. Н. М., ОГИЗ, 1948. 3амечательным свойством поверхностей слабого разрыва являет- ся то, что зги поверхности тождественны с характеристическими поверхностями уравнений газовой динамики (8.16) и (8.17).е Из равенства этих величин (поскольку 6 Ф 0) получаем: — +о — +о — +о — = О. дР дР дР дР дг л дх У ду * дг (9.2) вля- ! ог- жет Из условий (9.1) и (9.2) следует, что на касательную соста ющую скорости частицы газа, прилегающей к поверхности, раничений не налагается.
Частица по этой поверхности мо скользить. Существуют и другие граничные условия. Например, газ может быть отделен от другого газа некоторой поверхностью. Эти и другие граничные условия будут рассмотрены в дальнейших главах при решении конкретных задач газовой динамики; б) Граничные условия вязкого газа. На основании опытов будем считать, что в точках, где вязкий газ примыкает к твердой неподвижной границе, скорость газа обращается в нуль (прилип ание). Если же граница есть подвижная поверхность, то скорость частицы газа равна по величине и направлению скорости точки поверхности, к которой она примыкает.
Существуют и другие граничные условия вязкого газа, с которыми мы встретимся при рассмотрении конкретных задач. Необходимо отметить, что отличие в граничных условиях вязкого газа от граничных условий идеального газа имеет существенное значение. Принципиальное отличие движения вязкого газа от движения идеального газа заключается не в математической сложности задачи, а в совершенно иных.
граничных условиях. Газы, в том числе и воздух, являются маловязкими средами. Одноко даже для маловязких газов свойство прилипания к границе приводит к существенному изменению характера течения вблизи границы по сравнению с соответствующим течением идеального газа. Прилипание значительно изменяет картину линий тока вблизи границы, так как оно вызывает торможение прилегающего к границе тонкого слоя газа. В этом тонком слое скорость обтекания неподвижной границы возрастает от нуля на границе (вследствие прилипания) до своего полного значения во внешнем потоке, в котором газ можно рассматривать лишенным вязкости (идеальным).
Таким образом, внутреннее трение маловязких газов в основном проявляется в тонком слое газа, примыкающем к граничной поверхности. Этот слой называется пограничным слоем Прандтля. Л. Прандтль в 1904 году впервые предложил математический метод исследования движения газов в пограничном слое.
Идеи Прандтля о пограничном слое оказались очень плодотворными и нашли широкое применение в решении различных задач газовой динамики, требующих учета вязкости. В настоящее время существует хорошо разработанная теория погранич- ного слоя. В этой книге теории пограничного слоя отводится отдельная глава. Для большинства задач газовой динамики, где требуется учесть влияние вязкости газа, можно пользоваться теорией пограничного слоя и тем самым освободиться от труднейшей задачи непосредственного интегрирования общих уравнений движения вязкого газа. Теория пограничного слоя позволяет определить силы поверхностного трения и теплопередачу и установить связь между течениями идеального и вязкого газа около одной и той же границы. Теория пограничного слоя позволила установить, что вязкость газа при больших скоростях течения не оказывает заметного влияния на поле давлений.
Таким образом, в пределах применения теории пограничного слоя давление можно определить по теории течения идеального газа. Но необходимо иметь в виду, что существуют течения, в которых не образуется тонкий пограничный слой вязкого газа. Граничные условия разреженных газов отличаются от граничных условий идеального и вязкого газа. Касательная, составляющая скорости таких газов, несколько ограничивается стенкой, но здесь имеет место скольжение частиц газа относительно стенки. Теории течения разреженного газа посвящена глава ХБ При обтекании тела теплопроводным газом на граничной поверхности должны быть выполнены следующие условия: температура газа должна равняться температуре поверхности и нормальный температурный градиент в газе должен равняться нормальному температурному градиенту в обтекаемом теле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
