Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Введем, например, в выражение возникновения энтропии » из уравнения (!5.20) 1„ тогда получим: и ягадТ 1 %~ 1 1' т т ~.! 1»штадт„+ —: Ога»1 ч+ ь=! » ! + т г.1,1,+ т ~~А~~,1Ъ0. 1Т' 1Т' (15.23) ь=! / ! 2. Введем приведенный поток тепла: 1» = 1 Х 'ь 1 (15.24) »=! где !» — парциальная удельная энтальпия А-й компоненты. Тогда возникновение энтропии и 1 1 %~ а = — —, 1» дга»(Т вЂ” — ~Ч~(йга»1 !р»)г + т~' А=! л ( + т '!~габт+ т ~ 1»1 + т Л~АА/) О, з ь=! 1=1 где индекс Т указывает, что игад берется при постоянной температуре. Чтобы сохранить в формулах только независимые потоки, исключим один из диффузионных потоков, а именно 1„с помощью соотношения~~'.~1» = О, и преобразуем скалярное умножение тензоь=! ров»: бган ч.
168 ! л Так как тензор вязких напряжений т симметричный, то ска парное произведение зависит только от симметричнои части тензора гага!1 ч, которая представляет собой тензор скоростей де- 1 (до„ до„ ! формаций, имеющий компоненты в ( †" + †" ), * и обозначает- 2 (,дхр дхр )' л ся через (1»га!! т)г. Разобьем тензоры т и (тхгаб ч)» на сфернл ! л л ческую и девиаторные частит = — т, а + т»: л (ч1гаг(т)» = — Й(ут а+ (гхгаг( т)»», з л л где т, и г)1ч ч — линейные инварианты тензоров т и (гага!( и)», а т» и (гхгаб)»» — девиаторы этих тензоров.
Тогда л л т: сагаб ч = т": (гага!) т)»» + т, йч т, и выражение возникновения энтропии запишется в виде: 1 . 1 чч о = — — ! йга!1 Т вЂ” — ~ !а (йгаЦта — т„))г + а=! л л + 1 ~ ! ! + т1,», Дгаб'~»+ т тгб!чч+ а ! + у ХАу~гу~~(1 (15.25) /=! Необратимые явления возникают по ряду причин (температурный градиент, градиент концентраций, градиент термодинамичес- л до» 1 /до„ т»Пгадт=. — ' = — "З1 — + — + Р дхр 2 1 дхр дх„ Вторая сумма тождественно равна нулю, так как каждой паре равных между собой величин т„з и тр» будут соответствовать отличающиеся друг от г» до, доз»! друга только знаками множители — — — ) .
Поэтому 1 дхз дх„ ) ' л л т!Пгад ч = т» (Пггад ч)'. 169 л 17 = Х(-~зХз з-1 (!5.26) называются феноменологическими уравнениями. Существование феноменологических уравнений не может быть выведено путем термодинамических построений, а является опытным фактом. Следует заметить, что в то время как линейные соотношения являются хорошим приближением к явлениям переноса, в химии они справедливы лишь для достаточно узкой области реакций. Важные ограничения на феноменологические коэффициенты дает принцип Кюри. Принцип Кюри касается влияния свойств пространственной симметрии системы на феноменологическнекоэффнциенты линейных законов. Наличие свойств симметрии приводит к тому, что компоненты потоков будут зависеть не отвсех компонент термодинамических сил.
В частности, этот принцип означает, что в нзотропной системе потоки и силы разной тензорной размерности не могут быть связаны между собой. Мы имеем дело с потоками и термодинамическими силами, описываемыми тензорами нулевого, первого и второго рангов (скалярами, векторами и тензорами). 170 кого потенциала, химическое сродство и др.).
В термодинамике все они носят название термодинамических сил и обозначаются 'через Х7 (эти силы ничего общего не имеют с силами в ньютоновском понимании). Термодинамические силы вызывают необратимые явления, такие, как, например, поток тепла, диффузионный поток, электрический ток, химические реакции и др.
Все они называются потоками и обозначаются 1 . Если ввести новый набор сил Х7, который представляет собой линейные комбинации старого набора сил и выбрать новый набор потоков 1 таким образом, чтобы возникновение энтропии а не изменилось (л17 Хг = В 17Х7), то описание системы через набор (1, Х7 ) макроскопически эквивалентно описанию ее через набор ( 1 Х ). При термодинамическом равновесии одновременно все потоки и силы равны нулю. Поэтому естественно предположить, что между потоками и силами существует линейная зависимость с коэффициентами, зависящими лишь от состояния среды в рассматриваемой точке, по крайней мере в непосредственной близости от равновесного состояния.
Эмпирические законы (закон Фурье для теплопроводности, закон Фика для диффузии, закон Ома для электрического тока, обобщенный закон Ньютона для вязкости, закон о пропорциональности скорости 'химической реакции градиенту химического потенциала и др.) удовлетворяют этому предположению. Линейные закономерности: Рассмотрим для простоты только одно скалярное и одно векторное явление. Возникновение энтропии в этом случае выражается формулой (15.27) а=7аХ +1Хе. В общем случае, т.
е. при отсутствии указанных выше свойств симметрии,все компоненты потоков зависят от всех компонентов сил: 7, = Е„Х, + 1.„Х, л 1,=Ь„Х,+ Е Х,. (15.28) феноменологические коэффициенты представляют собой скаляр л (Е„), два вектора (1.„1. ) и тензор (Е ), так что имеется шестнадцать коэффициентов. Рассмотрим йзотропную систему. Тенл зорная величина Е ранга а преобразуется при ортогонзльном преобразовании А (с определителем А = ~А~ = + 1) для полярных тензоров * следующим образом: Ь1„ 7„ ...,с = ~~'.1 А" ,А~* " А " Ел .(.у, . Е1 (15 29) ~л ! 1 1 а Индексы 1„и 1а обозначают декартовы компоненты. В сокращенном виде формула (15.29) записывается в виде: Ал(.) г где А" обозначает упорядоченное произведение, а через ( ) обозначено п-мерное свертывание. В общем случае (симметрия отсутствует) Е' + 1.. Свойство пространственной симметрии выражается в том, что существует такое преобразование А, что величина Е остается при этом преобразовании инвариантной (15.30) Одним из свойств симметрии изотропной системы является инвариантность относительно инверсии 7 (с определителемЯ = — 1): г= — г Г х= — х,у= — у, I / или — 1 0 0 г'=,7 г, где 7= 0 — 1 0 0 0 — 1 е Лли аксиальимк теиворов в формулу 11о.29) войдет еще множитель 1А1.
171 Если А =,), то соотношение (13.42) принимает вид: ( ))л г (15.31) л х, Е: аЬ = Е„: а'Ь', или ~ У,„,за„бр = ~,1..з а„бз, .з (15.32) где аЬ вЂ” диадное произведение двух произвольных векторов а и Ь: аЬ = ~„а. бз . Соотношение (15.32) показывает, что билинейное выражение из компонент а и Ь после преобразования переходит в билинейное выражение из компонент а' и Ь' с теми же коэффициентами, а х именно, элементами тензора С .
Следовательно, это соотношение линейно по билинейным инвариантам а н Ь. Существует только один такой билинейный инвариант а и Ь, а именно, их скалярное произведение а.Ь. Таким образом, приходим к выводу, что из соотношения (15.32) следует Е (а Ь), х х где С, — скаляр. Тогда тензор ).„должен иметь форму Е„= 172 Отсюда следует, что все коэффициенты Ь с нечетным п исчеза- 1. = ют, поскольку для таких коэффициентов мы должны иметь = — 1., т. е. 7. = О.
Это означает, что в нашем случае, когда и = 1, векторные коэффициенты 1., и 1.„обращаются в нуль. войство инвариантностн изотропной системы относительно инверсии достаточно для того, чтобы излучить принцип Кюри в нашем частном случае: силы и потоки различной тензорной размерности не могут быть связаны между собой. Кроме того, изотропная система обладает еще одним свойством симметрии, а именно, инвариантностью относительно вращения )г (определитель Я = 1). Для скалярного коэффициента Ь„соотношение (15.30), когда А есть Р, выполняетсятривиально, так что коэффициент ).„может быть не равным нулю.
Для тензора 1, используем то обстоятельство, что скаляр является инвариантом относительно вращения системы координат: л з . Итак, конечный результат может быть выражен при помощи двух скалярных коэффициентов 1.„и 1. /,= Е„Х„) 1 = 1.„Х,.1' (15.33) т, = — б(тч, т х л т (бгабт)мщ (15,34) г Ь где — = с — вторая вязкость а — = 4 — обычная вязкость. т хг Принцип Кюри можно применять также в случае систем, обладающих симметрией более низкого порядка, чем изотропность (например, для анизотропных кристаллов). Термодинамика также дает важные сведения о феноменологических коэффициентах. Для иллюстрации рассмотрим случай двух одновременно протекающих необратимых явлений, феноменологические уравнения которых имеют вид (15.35) Здесь Т.н — коэффициенты теплопроводности, электропроводности и др., в то время как коэффициенты Ьм при 1ть й характеризуют взаимодействие двух необратимых процессов.
Если двумя необратимыми процессами являются теплопроводность и диффузия, то коэффициенты Ем связаны с термодиффузией, т. е. с возникновением градиента концентрации под действием градиента температуры и с противоположным эффектом возникновения градиента температуры под действием градиента концентрации. Из положительности квадратичной формы а = 1., Х, + (Т.м+ Т.м) Х~Хз + ЕззХ, > О следует~ С.м>О, С„>О, Т.„С вЂ” Т.„~м>О. 1 (15.36) В случае более одного скалярного и более одного векторного явлений, эффекты наложения могут наблюдаться только между скалярными и только между векторными явлениями. Тот же самый метод можно применить к системе с тензорными потоками (вязкий поток).
При этом мы получнмописанне скалярного явления второй вязкости и тензорного явления обычной вязкости, причем в каждом случае только один коэффициент отличен от нуля: Поэтому собственные феноменологические коэффициенты ЕВ положительны, а взаимные феноменологические коэффициенты Е,„ (1+ В) могут быть как положительными, так и отрицательнымй. Однако необратимая термодинамика давала бы нам очень мало сведений, если бы не могла сказать о феноменологических коэффициентах ничего больше, кроме приведенных выше соотношений. Очень важно, что между этими коэффициентами существуют общие соотношения, которые называются соотношениями взаимности Онзагера. Соотношения Онзагера являются важнейшими в необратимой термодинамике, они вытекают из принципа микроскопической обратимости и основаны на инвариантности микроскопических законов механики относительно преобразования 1-» — 7, т.
е. при изменении знака скорости отдельные частицы должны двигаться в обратном направлении по прежним своим траекториям. С макроскопической точки зрения, соотношения Онзагера можно принять за аксиому. Рассмотрим случай отсутствия внешнего магнитного поля. Обозначим независимые переменные, являющиеся четными функциями скоростей частиц (например, удельную энергию, концентрации), через А, и независимые переменные, являющиеся нечетными функциями скоростей частиц (например, плотность импульса), через Вг Тогда теорема Онзагера утверждает, что матрица Е симметрична по отношению к перемене индексов, если оба они четны или нечетны, и антисимметрична по отношению к такой перемене, если четность индексов различна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
