Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Уравнения обращения воздействий (3.10) (М' — 1) — = —, (М' — 1) — = — — —, йи ДА, йр ри' 4А и А' р р А' (М вЂ” 1) — — М вЂ”, (М вЂ” 1) — = — М (й — 1)— Нр ~ йА йТ йА Р дают при непрерывном ускоренном движении при М< 1, йА<0, при М = 1 с(А = 0 и при М > 1 НА >О, т. е. площадь попереч- ного сечения трубы при М= 1 имеет минимум. Этот результат можно также получить, отыскивая экстремум функции А (М) уравнения (5.8). Безразмерные параметры д!пи р й1пи 1 1= — = — — <О, г= — = — — <О, й1пр ри' ' А1пр М~ 1= — = — Ми(й — 1) < О,п= — = й, й 1пи 41пр й1пт й1 пР 197 г. учетом (5.4) условия изоэнтропичностн (4.7) могут быть пред- ставлены в виде и прн а(и ~0 давление, плотность и температура уменьшаются.
Этот же результат можно получить, рассматривая уравнения (5.4), (5.5), (5.6). Итак, для получения сверхзвуковой скорости канал в своей дозвуковой части должен сужаться (конфузор), а в сверхзвуковой части — расширяться (диффузор). В том месте, где М =1, площадь поперечного сечения должна быть минимальной (горловина). Та же последовательность рассуждений применима и к случаю, когда скорость непрерывно уменьшается от сверхзвуковой до дозвуковой. Мы приходим к выводу, что значение М = 1 может быть достигнуто только в минимальном поперечном сечении канала (обратное утверждение несправедливо, так как в минимальном поперечном сечении канала число М не обязательно равно единице). Однако в минимальном поперечном сечении о(и = 0 при Моь!, т.е.
скорость достигает здесь максимума или минимума в зависимости от того, является ли течение дозвуковым нли сверхзвуковым. Рассмотрим теперь течение в канале с постоянной площадью сечения при пренебрежении силами трения о стенки и при отсутствии подвода массы и тепла.
Допустим, чтовпотоке имеется область неравновесного режима. Проведем вне этой области по ее обе стороны сечения 1 и 2. Три условия сохранения (2.9), (2.10) и (2.11) дают: (5,9) р, и,=-р, и„ а 2 р, + о, и, = р,+ р,и„ (5.10 (5.11) (оа = (оа Никаких ограничений на размеры области неравновесности (области, где происходит диссипация энергии) не налагается. Она может быть идеализирована в виде области исчезающе малой толщины, при переходе через которую параметры течения испытывают скачок.
Такая поверхность разрыва называется ударной волной или скачком уплотнения. Конечно, в реальном газе поверхность разрыва есть идеализация, на самом деле — это узкая зона очень больших градиентов изменения параметров течения. Этн большие градиенты приводят к возникновению внутри ударной волны вязкостных напряжений и явлений теплопередачи„т.е. неравновесных условий. Так как сечения ! и 2 могут быть проведены сколь угодно близко к ударной волне, то нет необходимости рассматривать канал с постоянной площадью сечения. Иначе говоря, всегда можно применить уравнения (5.9), (5.10) и (5.11) к местным условиям по обе стороны ударной волны, если только последняя направлена по нормали к линии тока (прямой скачок).
Для калорически совершенного газа уравнение (5.11) примет вид (см. формулу (4.10)): в а и а — — — = — — — = — — а* 2 А' — 1 2 и — 1 2Д вЂ” 1 (5.12) Из уравнений (5.9), (5.10) и (5.12) после некоторых преобразований можно получить полезные простые соотношения'. соотношение Прандтля и,и,=а, (5.13) или в безразмерных переменных Лт) = 1; (5.14) уравнение Гюгонио Ра а — 1 + Рт и+1 ра Рт (5.15) 1(д — 1 Ра' 1+! Р, уравнения для температуры т . '12дМ вЂ” (и — 1)1 '((в — 1) М'+ 2) т, 1а+!)* М* Из уравнения (5.14) следует, что если скорость потока до прямого скачка и, больше соответствующей скорости звука а, (М,) 1), т. е. течение сверхзвуковое, то скорость потока за прямым скачком и, всегда меньше соответствующей скорости звука а„т.
е. течение дозвуковое. Так как уравнение (5.15) отличается от изоэнтропы, то переход от состояния 1 к остоянию 2 происходит с изменением энтропии (за исключением тривиального решения, когда ра = ры р,= р„и, =и,). Используя уравнение (4.14), получим * Подробные выкладки будут даны в других главах. 199 ' =1пр — ". (5.17) тГ Раа Легко проверить, что если течение дозвуковое (М, < 1), то переход к условиям 2 всегда сопровождается уменьшением энтропии (аа — л, < 0) и, следовательно, физически невозможен.
Если течение сверхзвуковое (М, ) 1)„ то за — а, ) 0 и состояние 2 допускается вторым законом термодинамики. Итак, при адиабатическом процессе ударные волны могут иметь место только в сверхзвуковом потоке. При сильных ударных волнах среду нельзя считать калорически совершенным газом. Например, для М, )5 прн комнатной температуре удельные теплоемкости при переходе через ударную волну не постоянны вследствие возбуждения колебательной энергии молекул (е„„).
Так как колебательная энергия достигает своего равновесного значения сравнительно с энергиями поступательной (е„„,) и вращательной (е,р„„) медленно, то время релаксации в сильной степени влияет на структуру скачка. Кроме того, при высокой температуре происходят диссоциация и ионизация, которые также влияют на скачок (время релаксации у них еще больше). Рассмотрим кратко влияние времени релаксации процессов диссоциации и ионизации на соотношения для ударной волны.
Качественно структура скачка с учетом влияния времени релаксации будет иметь следующий вид. Вначале имеется очень отчетливый фронт скачка, толщина которого составляет несколько длин свободного пробега молекул (фронт заключен между сечениями ! и 2). Состояние 2 непосредственно за фронтом скачка соответствует условию, при котором колебательная энергия еще не изменилась (возбуждения колебательной энергии «заморожены»), а поступательная и вращательная энергии имеют равновесные значения. Другими словами, параметры для состояния 2 находятся в предположении, что в уравнении (5.11) внутренняя энергия е = е„„,+е,р, .
За состоянием 2 имеется переходная область (2 — 3), в которой йостепенно возбуждается колебательная энергия до тех пор, пока она не достигнет равновесного состояния (сечение 3), которое соответствует параметрам, полученным из уравнений наскачке, если в уравнении (5.11) принять е е„, +е,р, +е„„. Исследование переходной области представляет одну из наиболее интересных современных задач газовой динамики. В случае когда происходят диссоциация и ионизация (при высоких температурах), уравнения (5.9), (5.10) и (5.11) продолжают оставаться верными, но эффективный молекулярный вес в в уравнении состояния (5.18) (йа — универсальная газовая постоянная) и энтальпия ! будут функциями давления и температуры (см. главу !). Поскольку нет простой формулы, суммирующей термодинамические свойства газа и учитывающей влияния процессов диссоциации и ионизации, то при вычислении параметров конечного равновесного состояния (сечение 3) необходимо использовать метод итераций, Из уравнений (5.1!), (5.10), (5.9) и (5.18) имеем: 2 (! ° ) Ръ( Рз 1) ( 1~з ( ~'1 ~в ) ~о~! (5 19) Решая уравнение (5.19) относительно р', получим: ш н 6 — Ч.н!à — э +м (5.20) где и ' за (18 11) та «ь = — 1= н ' к0т, ' т, В уравнении (5.20) перед корнем берется положительный знак, так как давление должно быть положительным.
Поскольку величины 1 и в являются функциями давления и температуры, то при определении Р' следует использовать меш год итераций. Для заданного отношения ! вначале можно принять некоторое отношение давлений, из отношения ! и отношения давлений из термодинамических таблиц можно найти 1 и р.
Подставляя величины 1, р и ! в уравнение (5.20), получим новое отношение давлений. Это отношение используется затем вместо предполагаемого отношения, и процесс повторяется до тех' пор, пока не будет достигнута желаемая точность. Обычно сходимость процесса достаточно удовлетворительна. Для калорически совершенного газа нз (5.15) следует, что максимальное значение отношения плотностей прн й = 1,4 будет й+! + = б. Для совершенного газа было найдено, что отношение ь — 1 плотностей при скачке в двухатомных газах, например в воздухе, может достигать значений, намного больших б.
ф 6. Истечение газа через соила Рассмотрим в качестве примера задачу об изоэнтропическом истечении газа нз резервуара очень большой вместительности. Предположим сначала, что сопло, из которого происходит истечение, имеет вид конфузора, причем в конце конфузора оА =- О. Обозначим через р, р„ Т, постоянные термодинамические параметры газа в резервуаре, где газ в силу большой площади поперечного сечения можно рассматривать как покоящийся (и = О, М =- 0). Через р„р„Т„и, и М, обозначим соответствующие параметры в выходном сечении, площадь которого А„и через р, — давление среды, куда происходит истечение; это давление р называют также противодавлением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
