Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 33
Текст из файла (страница 33)
непрерывный переход через скорость звука под действием одного только воздействия трения невозможен. Трение, как видно из условий воздействий, ускоряет дозвуковой поток, при этом давление, плотность и температура падают ((формула (8.2)), и замедляет сверхзвуковой поток, при этом давление, плотность и температура возрастают. Из уравнения энергии Т, = Т„ имеем: Примем для простоты и наглядности Г = сонз1. Тогда уравнение (8.9) легко интегрируется х — — — — 1п — = — Г,— = )(, (8.10) л' л~ л' а - 1 Р 2й х где у = Г,— называют приведенной длиной. Задавая х и и+1 Р зная из опыта Г„можно определить Л(М) и затем все остальные параметры вдоль трубы. Функция у(Л) имеет максимум при Л=1; у,„= —, — 1+ 1пЛ,.
1 2 л', Рассмотрим сначала дозвуковое течение Л, ( 1. Здесь возмож- (Е ны три случая (рис. 17): 1) )(,р~ чае в конце трубы скорость будет дозвуковая (кривая аЬ); тр 2) Ух =',1~,„; скорость в конце трубй звуковая (кривая са); 3) у,р > у,„; течение невозможно, принятое начальное со- хе стояние не может быть реализовано. Так как течение дозвуковое, то возмущения про- е никнут вверх по потоку и изменят Л, так, чтобы новое значение приведенной скорости Рис.
17 в начальном сечении было бы такое, что у,„= т,р. Если 1,, ~ 1, возможны опять три случая: 1) Х,р ( Х ,„; на конце трубы скорость течения будет сверхзвуковая (крйвая е7); 2) )(,р — — т ,„; на конце трубы скорость течения звуковая (кривая Ы); 3) у,р ) т ,„; непрерывное течение невозможно. Возникает скачок, переводящий сверхзвуковой поток в дозвуковой. После скачка течение будет ускоренное. Положение скачка определяется из дополнительного опытного условия: скорость в конце трубы должна быть звуковой (рис. 17, кривая Ьппд). В этом случае условие на скачке Л'Л" = 1, (8. 11) где Л' — приведенная скорость перед скачком, Л" — приведенная скорость за скачком. 211 15" Связь между Л, и Л' дается формулой л* — — —,— 1п— = х~.
к Гт к кк 1 ! Связь между Л" и Л, = 1 на выходе определяется соотношением: 1 1 — — 1 — 1п —,=Х, — Х,„. л"* „т тр к (8.13) ф У. Политропичесаие процессы При наличии одновременно нескольких воздействий на поток газа для получения простейшего решения, зависящего от одного параметра, необходимо иметь дополнительные соотношения, которые устанавливали бы зависимость между воздействиями. Вообще говоря, воздействия независимы, и таких соотношений нет.
Если же воздействия влияют друг на друга, обычно не удается найти такие соотношения. Поэтому в некоторых технических задачах прибегают к предположению о политропическом характере процесса Предполагают, что отношение правых частей уравнения обращения воздействий для давления и уравнения обращения воздействий для плотности есть постоянная величина и =, = сопз1. (9.1) а!и р Величину п (среднюю) находят из эксперимента.
Интегрируя, получим: 1п — = п1п (9.2) Рт Рт Это линейная аппроксимация в логарифмических координатах. Такое предположение по существу своему является совершенно произвольным и поэтому может оказаться в ряде случаев, например в изолированном тепловом сопле, где и = АМк; прн течении в трубе постоянного поперечного сечения с учетом только трения, где и = 1+ (А — 1) М', невозможным для исследования.' С другой стороны, частными случаями политропнческого процесса являются: изотермический процесс (и = 1), изоэнтропический процесс (и = й), изохорический процесс (и = ~ ), изобарический процесс (и = О). 1. Рассмотрим для примера течение в канале с учетом геометрического и теплового воздействий калорически совершенного газа.
212 Формулы (8.11), (8.12) и (8.13) дают возможность определить интенсивность скачка и место скачка (т,к). 11 где Мз = — "и Р=п — "' =пДТ. акг ар з Т63 = с(с) + Ж, = срс(Т вЂ” оор. Введем теплоемкости с'3 с'С с=Т вЂ” „и с„= —. лт ° кт ' Потребовав, чтобы с=сбпз1 (первое дополнительное соотношение) с — ср и обозначая — = п„получим: с — сс (9.8) Если потребовать еще, чтобы с„=сопз1 (второе дополнительное соотношение), то уравнение энергии имеет интеграл: Т.. =Т(1+ — "-,' М'.). (9.7) Формулы (9.8) и (9.7) дают возможность просто выразить все параметры через М„. д 10.
Поведхноста разрыва в магнитном газоданамане В магнитной газодинамике так же, как в обычной газодинамике, возможны разрывные течения. Поверхности, на которых происходят разрывы параметров течения, называются магнитогазодинамическими ударными волнами. Получим условия, 214 При выводе формулы (9.7) мы использовали формулу (9.5). Формулы (9.7) и (9.6) позволяют определить все параметры через М~. Эти формулы совпадают с формулами, выведенными для изолированного геометрического воздействия, где вместо М стоит М„и вместо й стоит и.
Простота полученных соотношений и объясняет довольно широкое применение политропы. Заметим, что в горле сопла М„ = 1, в то время как М ~ 1 может быть или больше, нли меньше единицы, в зависимости от отвода или подвода тепла. 2. Рассмотрим теперь течение калорически совершенного газа в канале при политропическом и тепловом воздействии с учетом трения. Уравнение Гиббса которые должны выполняться на поверхностях разрыва, с целью выявить основные свойства магнитогазодинамических ударных волн. Для простоты ограничимся рассмотрением плоских волн в одномерном течении проводящего невязкого и нетеплопроводного газа в электромагнитном поле. Пусть скорость газа т направлена по оси х и зависит только от х, 1 — ч(о, О, 0). Напряженность магнитного поля Н направлена по оси у — Н(0, Н, 0), напряженность электрического поля Е и плотность электрического поля 1 параллельны оси г — Е(0, О,Е), 1(0, О, 1).
Все величины, характеризующие электромагнитное поле, также зависят только от х, Е Напишем для этого случая уравнения движения магнитной газодинамики, выведенные для общего случая в 2 13 главы П. Уравнение неразрывности при одномерном течении имеет вид: д', + —,(р) =О. (10.1) Пренебрегая массовыми силами, третье уравнение системы (13.26) главы П, выражающее второй закон Ньютона, можно записать в виде: до до 1 д I -Н' 1 — + о — = — — — 1П+ — ). д1 дх р дх (, зо /' (10.2) Уравнение энергии возьмем в виде (13.20) главы П. Тогда в нашем случае будем иметь: Л /оо 1 д р — 1 — +е) = — — (ро)+1Е.
Ю 1, 2 ) дх Но, согласно формуле (13.21) этой главы, зЕ= — д ~ 8 ) — б(о( — 'Е ХН). Поэтому уравнению энергии можно придать вид: д ~2 +Р'+ 8 )+ д 1Ро'12 +е))= Выразим в правой части этого выражения вектор Е через Н с помощью уравнения, выражающего закон Ома. Согласно формулам (13.5) и (13.14) главы 11, пренебрегая конвекционными токами, этот закон можно записать в виде: = — го1Н =о1Е+ — чКН ). 4о оо 215 причем для калорически совершенного газа 1 Р . Ф Р е= (= —— а — 1р*а — 1р (10.6) Для установившегося движения система (10.5) принимает вид: — (ро) = О, Ы сЬ 0 1 0' ро — + — (Р+ — 1=0, Ых Лх (, Ьс 7' Интегрирование этой системы дает: (10.7) ро = т = сопз1, И~ то+ Р+ — =те,=сопз1, в е зН ИН 1 1бем ~~ 4я Н вЂ” + — оН~ = те =сопз1 (10.8) иН вЂ” т — = В = сопз1.
ео т л» 14 заказ м 688 217 Магнитная вязкость э определяется формулой (13.9) главы П. Из этой формулы в сочетании с третьим и четвертым уравнениями системы (10.8) получим: ~ —,+ )+— (10.9) Это соотношение с помощью второго уравнения (10.8) можно переписать в виде: ЦЗ Нйе — — + с,Т+ его+ — — — — = се.
(10.10) Перейдем к рассмотрению ударных волн. Допустим, что два однородных потока проводящего газа в электромагнитном поле указанного выше вида с параллельными векторами скоростей граничат между собой некоторой плоской поверхностью разрыва, перпендикулярной к скорости потока. Получим условия на фронте этого разрыва. Параметры перед волной снабдим индексом «1», а за волной оставим без индекса. Очевидно, соотношения (10.8) в случае однородного потока, когда все параметры постоянны, выражают основные законы сохранения и должны выполняться на фронте разрыва.
Поэтому условия на фронте разрыва запишутся в виде. Ро = Р!о! 2 Н! з Н! РО + Р + — = Р!о!с! Рто! + Р! + 8о цН = В = о Н„ (10.11) — + — — !+ — РН = !пс, = 2 а — 1 р / 4о ™м =ро 1 ' + — — ')+ — а,Н!. !!(24!р!'4о Последнее соотношение, согласно (10.10), можно заменить выра- жением: о! ! ВН Ноо 2 + с Т + съи + 8 о! 1 ВН, Н!о! = — — '+с Т +со+ — — — —. 2 о ! ! ! 4о о! 8оо! (10.12) Нетрудно проверить, что третье уравнение системы (10.11) выражает закон «вмороженности» магнитного поля и Н, (10.1З) Р Р! Исключив скорость из системы (10.11), получим выражение, являющееся аналогом адиабаты Гюгонио! (10.14) !а+! 1 ! ) Р( ')=Р! — р р!1 Н2 ао рз Из соотношений (10.13) и (10.14) следует, что скачки плотности и магнитного напряжения подчинены условию: 1( — = — ( —.
р а-р.1 и, р, Для дальнейшего исследования условий на фронте разрыва пе рейдем к безразмерным величинам Р роз! о ! р 1 2 о Р!о! «М! 218 Н! й,= Р 8ор о! 3/ 2 Ь= 1 (10,16) Из последних трех уравнений системы (10.11) для постоянных получим следующне соотношения, выраженные через этн безраз- мерные параметры: — = 1+ Р+ Ь ! , .— = Ь, )/ 8л р, О~ ! с2 1 ар 2 — = — + — + 2Ь! цз 2 А — 1 1 (10.17) Перейдем теперь во втором и третьем уравнениях системы (10.11) и в уравнении (10.12) к безразмерным переменным (10.16), а значения постоянных со В, с4 в этих уравнениях возьмем нз (10.17) В результате получим следующую систему уравнений для безразмерных величин: + — (1+ Р+ Ь',— Ь')2=0, гЬ вЂ” Ь, =О, ;+(Ь г~ г в 1 «Р (!018) — !)~ — — + (1+ Р+ Ь, — Ь)г — — — —— 2 2 а — 1 | — 2 ( Ь! — ЬЬ,)| = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
