Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 36
Текст из файла (страница 36)
26 видно, что компонента скорости по оси г, индуцируемая каждым элементом вихря и, следовательно, всей вихревой поверхностью, является четной функцией координаты г. На рис. 27 показано, что потенциал скорости терпит нечетный разрыв. Очевидно, что из условия четности — нечетность разрыдт дг ва Ч не следует; нечетность разрыва следует из условия на головной волне. В самом деле, р, = ) (д 6 Нг'+ С,(х, у) . о (3.4) т,,=о „=О,из Так как на головной волне при г = + го; написанных уравнений получаем: гув (~р) Рис. 27 ~(ййо(г+ С,(х, у) = ~(йййг+С,(х, у) =О, С, = — ~(ай о(г; С, = ~(айаг. о о Ф о Так как ~(айаг = ) (айаг, то о Сг(х,у) = —,Со(х, у), т.
е. мы доказали нечетность разрыва потенциала скорости, тем самым нечетность потенциала скорости. Это обстоятельство позволяет вывести условия на вихревой пелене (см. рис. 24) и условия во всех возмущенных точках плоскости г = О, лежащих вне вихревой пелены и вне поверхности крыла (область Б, рнс. 24). Часть плоскости, лежащая вне поверхности крыла между двумя касательными к контуру крыла, параллельными к скорости полета, предполагается занятой вихревой пеленой, сходящей с поверхности крыла. Вихревая пелена является так же, как и поверхность крыла, вихревой поверхностью, но в отличие от последней давление на ней не должно терпеть разрыва. Таким образом, как явствует и из физических соображений, вихревая пелена является не сопротивляющейся вихревой поверхностью.
Из Р = Рг + Ро (7— дт дх ' Так как на вихревой пелене давление непрерывно, получим: й) . =(й),. (3.6) С другой стороны, дифференцируя равенство р(г, х, у) =— 9 ( — г, х, у), получим: (3.6) Так как детерминант системы (3.5) и (3.6) отличен от нуля, она может иметь только нулевые решения. Итак, на поверхности Е имеем: — т =О. дт дх (3.7) Согласно физическим представлениям, в областях Б (см. рис. 24) потенцкал ~ должен быть непрерывным, в силу нечетности 4г непрерывность возможна только при т(0, х, у) = О.
Это же непосредственно вытекает из формул (З.З) и (3.4). В данном случае из непрерывности т при г = 0 получим: С,(х, у) = — С,(х, у) = О, и, следовательно, р (О, х, у) = О. Таким образом, задача об обтекании крыла конечного размаха со сверхзвуковыми скоростями свелась к следующей математической задаче. Найти решение дифференциального уравнения (м — ц — = — '+ —, д'т д'т д'т дх' ду' дгг ' (3.8) удовлетворяющее следующим граничным условиям: 1) на головной волне т = 0; дт 2) на поверхности крыла — т = — УР; дг 3) на вихревой пелене (область Е рис. 24) Д = 0; дт 4) в возмущенной области плоскости г = О, лежащей вне пелены и поверхности крыла (область Б, рис.
24) т = О. Такая за- 240 4 условия непрерывности давления выведем условие, которому должен удовлетворять потенциал скорости на вихревой пелене. Как известно, для давления мы имели: дача в общей постановке в математической физике не исследована. Мы непосредственно будем находить решение этой задачи для различных случаев, не занимаясь исследованием существования в общем случае.
Прежде всего найдем форму решения. Очевидно, функция 394 (х у г) зС Ь' =М' — 1) (3.Э) Л*: Ч вЂ” ~'~.в — 4' .~ *'| ' при произвольном ЬС будет решением уравнения (3.8). В этом можно уб диться непосредственной подстановкой (3.9) в (3.8). Интеграл й:Г, по параметрам ОС, Е, я, очевидно, также будет решением (3.8). Наше утверждение не строгое, так как подынтегральная функция имеет особенности на гиперболе: (х — 4)' — ~Р [(у — ф' + гз) = О. Не занимаясь строгим обоснованием этого положения, оконча- тельно получим: ~р(х, у, г) = С'Д,ч) д[ых 1к4) '$~ (х — 6)' — рЛ [(у — ч)' [- г~ (3.10) Заметим, что область интегрирования [$, 4)] есть некоторая фиксированная область плоскости 4, ~).
В дальнейшем для удобства геометрических истолкований оси [, ~) направим, соответственно, по осям х и у. В этом случае легко видеть, что плоскость 4, я делится на две области, лежащие вне и внутри гиперболы: Ь вЂ” (х — [~ — р. [(у — ~)> + г ) — О. (3.11) Во внутренней области Ь) О, во внешней Ь (О. Следовательно интеграл (3.10) в общем случае, когда область интегрирования охватывает обе области Ь О, является комплексным числом. Очевидно, мнимое и действительное значения указанного интеграла в отдельности удовлетворяют уравнению (3.8). Желая получить решение, удовлетворяющее условию на головной волне, что будет видно из дальнейшего, мы ограничим область интегрирования еще н границей возмущенной области.
Итак, вместо фиксированной области интегрирования [$, "я) мы введем область а, ограниченную с одной стороны гиперболой (3.11), с другой стороны — границей возмущенной области в плоскости г = 0 (рис. 28), где упомянутая область ограничивается гиперболой С 0 Е, отрезком головной волны ЕВ и передней кромкой ВОС. На рис. 28 область интегрирования лежит между границей возмущенной области СОВЕ н гиперболой СОЕ.
Прямая, парал- 17 Заказ М 4ЗВ 241 лельная оси 01, проходящая через точку х, у, является осью упомянутой гиперболы. Итак, решение уравнения (3.8), удовлетворяющее условию на головной волне, имеет вид: (3.12) Рис. 28 Для доказательства того, что (3.12) удовлетворяет условию на головной волне, заметим, что выбранная область интегрирования является, областью пересечения конуса Маха в пространстве 1, а, г, с вершиной в фиксированной точке х, у, г с плоскостью Г = О.
Так как головная волна является огибающей конусов Маха с вершинами на передней кромке, когда точка с координатами х, у, з попадает на головную волну, то область интегрирования стягивается нли в точку или в прямую. Это происходит благодаря тому, что область интегрирования лежит в плоскости ~ = О; эта область получена пересечением конуса с вершиной в какой-либо точке передней кромки и конуса с вершиной на поверхности этого конуса.
Так, например, если точка Е (рис. 28) является проекцией точки, лежащей на головной волне, область интегрирования стягивается в точку 0', являющуюся точкой пересечения оси гиперболы с передней кромкой. Если же вершина конуса лежит в плоскости 1, я в точке М(х, у), то при стремлении этой точки к головной волне в точку М', область интегрирования з стягивается к прямой М'ЕВ. Так как в обоих случаях площадь области интегрирования равна нулю, интеграл, т. е. т, будет равен нулю. Итак, формула (3.12) дает функцию, удовлетворяющую уравнению (3.8) и условию на головной волне.
Остальным условиям задачи можно удовлетворять выбором функции С' (1, 4). 242 Для дальнейшего очень важно доказать следующую теорему: ( — ) = — 22С' (х, у). (3.13) Так как в области интегрирования (х — $)Π— )22[(у — 2()в+ 22) ) О, мы получим: (у — ))' ( (Х 1) — е2 (Х вЂ” $)2 — ОО 22 У вЂ” 'ч= сов 6 Е22 (3.14) Равенство (3.14) устанавливает связь между новыми переменныМн6 ИО). Итак, мы вводим вместо О, 2) переменные 1, 6. Укажем пределы интегрирования для нового переменного 6. Так как на ветви гиперболы РЕ'С величина у — 2))О и равна 1I (" Е22 Епод корнем понимаем его арифметическое значение), то сов 8 = 1, т.
е. 6 = О. На второй же ветви гиперболы РЕ величина у — 2) < О, и мы будем иметь: сов е) = — 1, ев = 22. Из (3.14) получим: дч + .1 / (х — Е)2 — е2222 дв У гв — в)п 6. После перехода к новым переменным уравнение (3.12) преобра- зуется так: , = -'ОС ( 1, у — )/ (" "', ""* Е) (ЫЕ, иги же К вЂ” Ег 2 — В)С'(1, у — ~/, ~ совт2)2(6+ Ее О е, +~(1~С(1,у — )/(" "', '"* Е)Ю~, Ь О (3.! 5) Из этого неравенства видно, что возможно следующее преобра- зование: где $о — координата точки Е (см. рис.
28), 1т — координата точ- ки С, Во — значение переменной 6 при движении по С00'ВЕ. Как нетрудно видеть, входящие в пределы интегрирования вели- чины оо, о„йо определяются нз уравнений: (3.16) (х — оо)' — р'((у — о))'+ г') = О, ) — ~в = (1о — 1в) (ай, ( — 1т)о — Ро((У вЂ” )'+ г') = (), ) = )((т) (3.17) '1 (3.18) где о) = т)(от) — уравнение контура крыла; о / (х — $) о — оооо у — о) = ~/ Ео соз Во, где о) = о),(1). При движении по С00'В т) = ~Я) является уравнением контура крыла, а при движении по ВЕ о) = о1(1) определяется так: о) — о)в =($ — $ )1яз. При дифференцировании выражения (3.15) по г получим семь слагаемых. Напишем в явном виде их выражения: е % дт ( )дно(' к дх — = — "С (х — рг,у)И — — 1С (1„у— И дх о о х — Ох х — у'*-О', "*' ° о)~о~-' ) о(~~'ао ~- 1, о в, ~--'" ) с (о, д — Г"* е', "" о) ао— о е, — — ) С'~1,, у — )/1" ~'), е* созй)т( 6+ о оэ вэ те .~ ' ) о Я н о .~ -'~" с (6 д- Ц о (х- $)'- $"х' В ),~1 ио (3.19) При г-оО из этих семи интегралов только первый будет отлич- ным от нуля, все остальные будут стремиться к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
