Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ф 5. Двумерные установавираеся околозвуковэре теченая газа Изложенный выше метод линеаризации непригоден для исследования околозвуковых движений газа.,Для этого случая мы выведем другие дифференциальные уравнения и путем сравнения докажем непригодность выше исследованных уравнений. т. е., если профиль задан, то значения Ар и Ат определяются формулами (4.27) и (4.28). В случае несжимаемого газа (М = О) подъемная сила также определяется по формуле (4.26), но теперь коэффициенты А, и А, определяются соотношениями Пусть тонкое тело с относительной толщиной д((1 обтекает.
ся потоком, скорость которого вдали от тела равна У и близка к критической скорости звука а . Очевидно, можем полагать и = о„= а, + —, де (5.1) дт. о=о у ду' здесь р — потенциал скорости возмущенного движения. Напишем граничные условия: 1) на бесконечности (5.2) 2) на поверхности тела, которая определяется уравнением у = 3 ь(х), (5.3) при у = ~ О имеем: дт ду 1 дт ду аа Ва'.
(5.4) ах дт а, ду дх дх а +— дх Преобразуем условия (5.2), для чего напишем интеграл Бернулли: а'+ — (и'+ о') = — а'. (5.5) Подставляя сюда и из (5.1) и удерживая малые первого порядка, получим: а — ! г з дт ! а+! а+ — !а +2а — ! — а откуда а+И вЂ” 1)а„д .— а, й дт з дх ° ' или а1 а — ! дт — =1 — — —. аа а дх' а х — 1 де — ск 1 — —— а, 2а, ах Запишем граничные условия (5.2) в более удобной форме, исходя из уравнения Бернулли: 1 — М т =с" Г "(Е;). (5.10» Граничное условие (5.4) в безразмерном виде запишется следующим образом: Мао дР Да (Е) (Гэ)- д, = л„=й (Е) (5.11) при 4= ~ О.
Подставляя в уравнение движения о„= — +а„о =— используя интеграл Бернулли, легко получить уравнение: и (5.12) Имея в виду, что дт Э вЂ” ! дт а=а — — —, 2 дх' используя (5.9), преобразуем (5.12), помня, что — и— дт дт Получим: малы. а (а+11(1 — М ) др дср а (1 — М~) др дср сГ' дЕ дЕс сгс (ЬГ)-'" дч дЕдЧ 2 а'(1 — М ) др1 а.(1 — М ) дср + а — ((с — 1) ' - — ) ' — =0. Г дЕЗ сГ(ЬГ) '" дэс Если иметь в виду малость 1 — М, н дГ, а также то, что Г = = †, в этом уравнении следует отбросить члены, содержаа+1 2 дср др дср щие — и — —, мы окончательно получим: дЕдЧ дЕ дзм При решении этого уравнения необходимо удовлетворять гранич- ным условиям (5.11) н (5.7).
где с — хорда тела, Г = — и л — положительный показатель, а+1 который будет определен позднее. Лля того чтобы граничное условие (5.7) не содержало параметров потока, полагаем: Преобразуем (5.7), вводя функцию Р, тогда ! — М дР Сйа сг д( йв й+ 1 (М вЂ” 1), или окончательно (5.14) В уравнениях (5.11) и (5.13) соответственно содержатся параметры ! — м ! — и и Таким образом, видим, что наша задача — двухпараметрическая. Заметим, что выбирая пока произвольное число п соответственным образом, можно добиться того, чтобы выписанные параметры были равными. Очевидно, для этого следует положить 1 — п =2а, т.е.
! л= —. 3' (5.15) багз (5.16) (гз)223 Очевидно, теперь основное уравнение движения будет иметь вид: —., = 2К дз ° др (5.17) Граничное условие (5.11) запишется так: д !г х ( )' (5.18) Параметр К называется околозвуковым параметром подобия, так как М = 1. Формулу (5.16) для К можно преобразовать. В са- мом деле, (1 — М )(1+М ) = 1 — М~~, следовательно, ! — м' ! — м' 1 — МЙ = !+и Таким 'образом, параметр подобия может быть записан в виде: ! — м 2 ' <Гз!з/з (5.19) 263 Таким образом, наша функция Р($, ч) зависит только от одного параметра р = р — Р„и (о„— (7).
По определению, коэффициент давления равен Р Рсо о,— У с рис ц — — 2— 2 Так как в нашем случае д + дэ то получим: до д +а — У ср — — — 2 0 Поскольку, согласно (5.7), д,р ! Моо 1 д ~~ * Г получим дт 1 — Мсо дк + Г ао П™со 1 дт1 с= — 2 „ж — 2[ р 1 1 — М ] Ь Г а дк) + — — ] а*~~- Г со (5.20) Подставляя сюда — из (5.10), получим: де дх На поверхности тела — является функцией К и $. СледовадР дс тельно, выражение для ср можем преобразовать: Для различных однородных течений, имеющих М =1 и обтекающих ряд тел, удовлетворяющих условиям афинного подобия или, что то же самое, имеющих одинаковую функцию Ь = 'а(х), но различные относительные толщины ь„ процесс обтекания будет описываться одной функцией г ($, о1), если значения околозвуковых параметров одинаковы. Ниже выведем зависимость аэродинамических коэффициентов от параметров 3 и Г при одинаковых К.
Эти зависимости будем называть законами аэродинамического подобия при околозвуковых течениях. Проделывая преобразования, аналогичные преобразованию при выводе формулы (5.6) из интеграла Бернулли, получаем: 32/3 1 — М, / ЗР ~ 32/3 е = — — °, (1+ — ! = — ° Р(К, $). (5.22) гцз ' (гз)2/з (, д1 / г//3 ' Здесь Р(К, 1) = — 2К11+ зз ). (5.23) Формула (5.22) показывает, что тела, афинно подобные, при одинаковых значениях околозвукового параметра К, имеют коэффициенты давления в соответствующих точках на поверхности тел, пропорциональные относительным толщинам в степени 2/3.
Коэффициент подъемной силы, по определению, равен: ! 2/3 с =, ф(р — р. )/(х = фсрА = — — /3Е(К), (5.24) р„и р //3 3 2 где Е(К) =$Р(К, 1)/(1. (5.25) Очевидно, функция Е. (К) зависит только от К. Из (5.24) следует, что и коэффициенты с пропорциональны относительным толщинам в степени 2/3 при одинаковых значениях К. Коэффициент лобового сопротивления, по определению, равен: ° $ (р — р, ) ~~ /зх = $ сра/3, ($) /11; 2 или зз/3 //3 Р (К)' Г (5.26) где Р (К) = $ Р, (К, 1) /2„(Ц оз. (5.27) 32/3 ср (К) = //3 ' М(К)~ У (5.28) где М (К) зависит только от К.
Функция Р(К) зависит только от К. Заметим, что, в отличие от с„ и с,, коэффициенты лобового сопротивления зависят от В в степенй 5/3 при постоянных значениях параметра К.. Аналогично для коэффициента момента относительно фиксированной точки на хорде получим: Глава 7 Одномерное неустановившееся движение газа с ноненными возмущениями В 1. Волна разрежения в трубе Движение газа называется одномерным, если его состояния 1 определяются одной пространственной координатой. Движение газа можно в следующих случаях считать близким к одномерному: 1) движение за поршнем и перед ним в трубе адиабатического сжатия; 2) движение газа в ударной трубе; 3) движение при плоском, цилиндрическом и сферическом детонационном взрывах; 4) движение газа в некотором удалении от центра атомного взрыва и т.
д. В настоящей главе будет изложена теория одномерного движения газа с приложениями к указанным выше случаям. Пусть в некоторой трубе находится газ под давлением р, при температуре Тз и плотности р,. В начальный момент газ примем покоящимся, что соответствует случаям, встречающимся в газодинамических лабораториях. Если в некоторый момент поршень, находящийся в некотором сечении, начнет двигаться, то, очевидно, газ устремится за ним, и в газе за поршнем возникнут волны разрежения. Исследуя уравнения движения газа, можно показать существование системы волн разрежения и рассчитать параметры состояния газа на указанной системе непрерывных волн разрежения.
В дальнейшем мы будем считать, что в поперечном сечении трубы скорость и физические параметры газа постоянны, что, вообще говоря, выполняется не точно вследствие наличия пограничного слоя у стенки трубы. Но из-за малости толщины пограничного. слоя его влиянием можно пренебречь. Итак, выведем уравнения движения газа, считая это движение одномерным, движущийся газ совершенным, невязким, и не 266 е и Ггь' (наоаньньш момнна г = Рис.
35 Если ввести перемещение сечения газа и = и(х, 1) и обозначить через оо(г) скорость поршня, то, очевидно, расстояние этого сечения от поршня в момент времени г 1= ~х~ — и(х, с)+ ~ ооЯЖ. о Покажем теперь, что частицы с начальной длиной дх в момент времени 1 будут иметь другую длину, равную дг = дх+ ди (рис. 36), где ди — приращение перемещения сечения за счет изменения координаты х на величину дх. Из рис. 36 следует: (1.1) дг = дх + и + ди — и = дх + ди. (1.2) Зная начальную длину частицы дх и ее длину дг в момент времени г, легко написать закон сохранения массы частицы.
Если плотность частицы в момент времени 1 равна р, то, принимая во внимание постоянство сечения трубы, можно написать Родх=Рдг = Р(1+ ди ) дх, или .=Р( +й). В дальнейшем введем обозначения: (1.3) ди ди — =и — = и. д» к' дг с обладающим .теплопроводностью. Исследования будем проводить в координатах Лагранжа. В качестве независимых переменных введем начальную координату частицы газа х и время г'. Ось координат направим по движению поршня. Таким образом, движущийся за поршнем газ будет находиться на отрицательной половине оси х (рис.
35). Обращаем внимание на то, что расстояние частицы газа от поршня в некоторый момент времени 1 не будет равняться ~х ~. Покажем теперь, что — есть деформация частицы о. В самом ди деле, по определению: дх — дх ди ив дх дх Заметим, что (1.3) можно получить из уравнения неразрывности в форме Лагранжа (см. главу И): репаиенпь лаплена Г) Рнс. 36 Напишем теперь второй закон Ньютона применительно к движе- нию частицы газа: произведение массы частицы газа на ускоре- ние равно действующим силам дои дхро дь — дро или дои 1 др (1.4) дьо ро дх В силу того, что газ предполагается совершенным, имеет место интеграл энтропии: — а — = сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
