Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 41
Текст из файла (страница 41)
39, т. е. когда по = сопз1 при 1)~ 1,. В силу того, что и„растет с эо ростом 1, величина а будет убывать. Так как оо = сопз1 при 1 ) го то величина и„ также будет постоянной, следовательно, l а(и„) = сопз1. На этом основании получим картину характеристик, показанную на рис. 40. Как следует из рис. 40, до а оо точки 1 = 1, все характеристики Рис. 39 расходятся веером, а после 1, ос- таются параллельными. Если момент времени 1,, начиная с которого скорость поршня остается постоянной, стремится к нулю, то часть оси 01, из которой исходят характеристики переменного наклона, также стягивается к нулю. В то же время угол наклона характеристики, начиная с которого все они остаются параллельными, не будет меняться, так как он зависит не от закона изменения о, = о,(1), а только от величины о, = сопз1, достигая которую скорость остается постоянной.
Итак, если скорость поршня меняется скачком от нуля до оо, то картина характеристик будет такой, как указано на рис. 41. Как видно из чертежа, характеристикам переменного наклона будут соответствовать различные точки кривой и, = ф(и„). Первая параллельная характеристика тоже проходит через точку х = 1= О. Таким образом, начало координат в данном случае является особой точкой, а именно, точкой пересечения характеристик и точкой разрыва величины иэ и„. Значения последних величин будут равны нулю, если приближаться к началу вдоль оси Ох, и равны, соответственно, оо (о 1) о о х [ 2оо если приближаться к началу по оси 01. Система характеристик, исходящих из одной точки, называется центрированными волнами Римана.
Для более конкретного и глубокого представления характера движения рассмотрим общий случай движения, когда скорость поршня, вначале возрастая от нуля до о„затем остается постоянной. Рассмотрим изменение параметров частицы газа с координатой х (см. рис. 40). Для этого проведем прямую М)У, параллельную а! Рис. 40 Рис.
41 оси О!. До точки М' точки прямой будут соответствовать области х покоя, т. е. до наступления времени ! = — — рассматриваемая 'со частица не будет претерпевать возмущений. От точки М' до точки. К наша прямая будет встречать характеристики со все более уменьшающимся наклоном, следовательно, деформации и скорости будут увеличиватвся. Начиная с точки К, прямая Мй! будет встречать параллельные характеристики, следовательно, начиная с точки К, деформации и скорости будут постоянными. На рис.
42 приведен график изменения скорости и деформа; ции для частицы с координатой х = а,т,, когда скорость поршня !з. б/и п~ = ОрГ1 (х, ~, О„, Р„Рм й); ик=Р4(х ~ оо, ро, ро, Уг). Так как ~, и ~, — величины безразмерные, то они будут зависеть только от безразмерных комбинаций величин х, Г, о„р,, р„й. Последним утверждением мы будем пользоваться и в дальнейшем. Справедливость его очевидна, ибо величины разных размерностей могут дать безразмерную комбинацию только путем умножения и деления друг на друга. 276 растет по линейному закону, к моменту 1=(, ) (, достигает скорости звука а, и далее остается постоянной; Рассмотрим теперь картину движения за поршнем в некоторый момент. Эту картину мы получим, если рассмотрим точки, лежащие на линии ЕТ.
(рис. 40). Так как от точки Ь до точки К наша прямая встречает параллельные характеристики, то на этом отрезке скорости и деформации будут постоянд а, ными. Начиная с точки К, а ' прямая встречает характеристики с увеличивающимися углами наклона, следовательно, на этом отрезке скорости и деформации будут уменьшаться и в точке Е достиг/ нут нуля, далее мы попадаем ' в невозмущенную область. Ри'.
42 Таким образом, эпюра скоростей и деформаций за поршнем будет иметь вид, указанный на рис. 43. Характерным в этой картине является наличие области постоянных параметров. Механически эта область равносильна наличию твердого тела, присоединенного к поршню. В заключение этого параграфа заметим, что решение для случая скачкообразного движения поршня может быть получено, исходя из соображений теории размерности. В самом деле, скорости и деформации, вообще говоря, будут зависеть от х, г, о,, р, рр, А, так как ни в уравнения, ни в начальные и граничные условия другие величины не входят.
Итак, имеем: Заметим, что наше рассуждение несправедливо для случая переменной скорости, нбо тогда мы должны были бы ввести величину, имеющую размерность. ускорения и производные других порядков от скорости. Найдем теперь те безразмерные комбинации, которые можно составить из размерных величин: к, г, о„р, р,. Очевидно, что самая общая комбинация из этих величин будет иметь вид: Кл, ~о, ~/' ро4 роо о о о Размерность комбинации должна равняться нулю, следовательно, вводя основные размерности: А — длина, о — время, б — вес, будем иметь: с у оа ол4 нов,~2л1 ь'о' ' ' ~ =О. Е ' Ь ° Это возможно только тогда, когда суммарные показатели при А, о, 6 есть нули в отдельности, т, е.
и,+и,— 2л,— 4л, =О, и,— л,+2п,=О, ло+ и, =О. Так как в эти три уравнениявходят пятьвеличин и„..., ло, то из них остаются произвольными две и, следовательно, из указанных величин мы можем образовать две безразмерные комбинации. Найдем эти комбинации. Первое нз написанных трех уравнений с учетом последнего из них дает: и, + по — 2п, = О, н так как л,— п,+2п,=О, то и,+и, =О. Таким образом, и,= — и,: и,= — и,; и,= — 2ло — ио. Мы получили Легко убедиться, что комбинации в каждой из скобок безразмерные.
тт~ Таким образом, смещение а(х, 1) будет иметь вид: Ро 1 Рооо д'и ди х~,+ х,+ х и х дм гв Р ио1в оо1в ди , дви 1 дх = ' дхв = Подставляя этот результат в (1.9), получим: хв ив — — 7и = О, оо1в ивг а'(и ) = ( — ) (1.20) Это есть соотношение, полученное выше геометрически, ибо, ес- ли вычислить угол наклона относительно оси Ох центрированных волн Римана, то получим (1.20). ф 2. Движение газа перед поршнем Движение газа перед поршнем существенно отличается от его движения за поршнем. Дело в том, что перед поршнем образуются волны сжатия, а не волны разрежения. Это обстоятельство способствует возникновению ударных волн.
В данном случае область движения лежит в первом квадранте плоскости х, 1 (рис. 44). Решение задачи находится с помощью системы уравнений, аналогичной данной в $ 1: х = (1 — 1,)а(и ) цо оо ((о) (2.1) 1 (1+их) ' 278 Существенным в этом выражении является то, что функция 7 х зависит только от одной переменной — . 1оо Следовательно, задача сведется к интегрированию обыкновенх ного уравнения. Если обозначить — = г, то можно преобразовать 1ио (1.9) к обыкновенному уравнению.
ди х — = оо~ — — 1 дг исключая отсюда Г„получим: иг оо (( а(ч )) с— (2.2) Легко убедиться непосредственной подстановкой, что (2.2)является решением уравнения (1.9) настоящей главы. Система (2.!) означает, что на характеристиках положительного наклона скорости и деформации постоянны.
Так как и, = =ов ) О, из последнего уравнения системы (2.1) получаем, что величина г и ( О и по абсолютному С значению для каждой частицы растет с ростом вре- л мени. В силу этого углы Ю наклона характеристик с осью О! растут с удалением от начала координат. Следовательно, характеристики положитель- '"о ного наклона обязательно л Аю .т будут пересекаться.
Очевидно, что существует в плоскости х, г кривая АОВ (рис. 44), являющаяся огибающей системы характеристик х =(! — г0)а(и ). Любая характеристика будет касаться указанной кривой. Следовательно, до указанной кривой характеристики не пересекаются, и через каждую точку плоскости х, ( будет проходить только одна характеристика положительного наклона. Это значит, что решение (2.2) является однозначным.
Необходимо отметить, что в области, лежащей между положительной частью оси Ох и кривой ОАВ, имеет место покой, в чем можно убедиться так же, как и в предыдущем случае, применяя метод характеристик. Таким образом, на кривой ОАВ происходит Разрыв и,, и„, так как прн подходе к ней со стороны оси Ох, имеем и, = и = О, а когда подходим со стороны оси О! вдоль характеристик величины и, + О, и + О и определяются решением (2.2).
Полученное решение имеет один существенный недостаток, а именно: оно не удовлетворяет условиям на поверхности разрыва. Физически разрыв происходит не на ОАВ, а на ударной волне — линия АВ'. Дальше мы подробнее остановимся на этом вопросе. Покажем теперь, что для каждого закона нарастания скорости 279 х = (( — г,) а(и,), х = (( — г,) а(и„).
Решая их, получим: (,а, — ба~ + а~ — а1 а~ — а1 (,— (, Если взятые характеристики являются бесконечно близкими, то (а "+ 11 а1 (=(1+ — ) ам (2.3) Это уравнение показывает, что две бесконечно близкие характеристики пересекаются на конечном расстоянии.
Если в качестве первой характеристики принять характеристику ОА, то (, = О, и мы получим из (2.3) момент возникновения ударной волны. Обозначим этот момент времени через г,; следовательно, имеем: аа а,',(0) (2.4) Зная время возникновения, можно найти расстояние места воз- никновения ударной волны от начального положения поршня: х =аз(, = —, а' (О) аа~(0) (2.5) Выразим теперь а',(О) через производную от оа-— — оа((). Очевидно, да да ди, д( Ни,. д~ 280 са =па(() существует некоторая область ОАС (рис. 44), где решение (2.2) применимо и удовлетворяет всем условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
