Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Очевидное неравенство (4.1) позволяет доказать считавшееся гипотезой соотношение на волне детонации: с+о=0, (4.2) где с — скорость звука в газе, движущемся за волной детонации, и о — скорость частиц газа. Для установления закономерностей за фронтом волны детонации напишем условия совместности на волне денотации и уравнение движения образовавшихся при этом газов.
Будем считать, что образовавшиеся после детонации газы расширяются по политропе: откуда Рв Рв Рв (л — !))9 в) рв илн Отсюда имеем о= — ~Р— л Р', 1+ Рв (л+!)' л+! ( в (л — В р1 В (4.8) необходимо перед корнем брать знак плюс, в противном случае, когда (гг ) рв мы получим о = О. Так как в — 1 лрг Рв Рг ()+л.г) Подставляя сюда значение (1+и,), соответствующее волне детонации, получим: в г'Рг Рг а вгвв в Далее, подставляя сюда рг и рг из (4.6) и (4.7), получим: в л(рв(в вгРвв) в) а рв (Р— в) Наименьшее значение а,„, которое обозначим а цв получится, если в (4.11) подставим наименьшее значение о;„из (4.8). (4.11) 294 р, = р(1+ и„), (4.9) то на основании (4.3) уравнение движения газов, образовавшихся после детонации, будет иметь вид: в-! (4.10) Отсюда видно, что квадрат тангенса угла наклона волн Римана будет равен: Очевидно (4.12) Подставляя это в (4.11), получим: .[..+ —,— —, .
~ Вврв и в "+ "+ — Вв. (4.13) Полученное равенство имеет очень большое теоретическое значение, а именно: из него следует, что подкоренное выражение в (4.8) должно быть равно нулю, в противном случае движение невозможно, ибо а „)О, что противоречит(4.1).
Таким образом, мы доказали сразу два факта: 1) при возникновении волны детонации между ее параметрами существует связь  — п~ ~' 1 = 2(п℠†",1)'1() + Š— ~' ~, (4.14) [ д1'= .; [ .,(„'„, Р,1 'Ь Рв(п ) 2) максимальная скорость волн Римана равняется скорости детонации. Докажем теперь равенство (4.2), которое обычно называют гипотезой Куге и ограничиваются в качестве доказательства его физической интерпретацией.
Непосредственно нз определения скорости звука получим; ПРв 1/ П(св+ ГРРвп) (~-Р В) 1РР' ° У' Рв в Орв Подставляя сюда значение о из (4.12), получим: ГРРв = — „,", —,', [..+ ° .~. Следовательно, на основании (4.12) получим: Рв с+о, = — ~0+ — ~+ — —— 'в" и Ь1 ~ ГРР ) п4вР и+1 ГРР или с+о м=Р (4.15) Заметим, что скорость о в данном случае равна о;„, ибо во все эти формулы входит значение скорости частицы на фронте волны детонации. Как мы установили, реализуется только то значение скорости, которое имеет наименьшее значение при заданных внешних параметрах р„р, и скорости детонации Р. Физический смысл равенства (4.15) состоит в следующем; когда идет процесс формирования детонационной волны Р ( с + о, и поэтому интенсивность волны детонации усиливается и ее скорость растет, так как возмущения от источника детонации (например, от капсулы детонатора) все время достигают фронта детонации, ибо с+ о составляет скорость возмущения по отношению к неподвижному пространству.
Процесс нарастания скорости детонации устанавливается, когда Р = с + о, и далее он продолжается автоматически за счет возбуждения «химической степени» свободы ВВ. Выше мы заметили, что Р ) и „, а теперь доказали, что ааааа ф б. Теория установок адиабатинеского сжатия Установкой адиабатического сжатия мы называем установку, в которой совершается достаточно быстрое сжатие газа за счет кинетической энергии поршня, разгоняемого газом высокого давления.
На рис. 51 приведена схема такой установки, действующей в одном случае как газодинамическая труба, в другом в как пушка для сообщения телам космических скоростей. Баллистический вариант показан пунктиром, причем надо иметь в виду, что указанные на чертеже варианты, конечно, действуют не одновременно. Установка адиабатического сжатия может работать принципиально на двух режимах. Первый режим осуществляется, когда в рабочем газе при сжатии не возникает ударная волна и сжатие будет непрерывным. Второй режим соответствует случаю, когда перед поршнем в рабочем газе возникают ударные волны. Следовательно, в этом случае режим сжатия будет подобен режиму в ударных трубах.
Необходимо отметить, что при тяжелых поршнях интенсивность ударных волн будет небольшой и количественно сжатие все же будет близко к адиабатически обратимому процессу. Для того чтобы обеспечить непрерывное безударное сжатие, параметры установки и режим работы должны быть выбраны соответствующим образом, а именно: место возникновения ударной волны перед поршнем хх (см. формулу (2.6)) должно лежать вне форкамеры трубы. Если обозначить через 1 расстояние от среза поршня до критического сечения сопла, то должно соблюдаться неравенство: 2 аз 3 1(х = ~+1 а (о) где о, — начальное ускорение поршня.
296 (5.1) Если обозначить поперечное сечение ствола через Р, массу поршня через ль, начальное давление в баллоне через р н в стволе через Р„ то получим о (О) ль и, следовательно 4 ~~аь а+1 2 1Р(Р— Р ) Это неравенство показывает, что кинетическая энергия поршня при скорости, равной скорости звука, умноженной пав 4. Ь-)1' (5.2) раскачал часть ь тааарльча ааа)рлчауаааалыа атаал Рис. Гь1 'должна быть больше величины. ь" Р(рь — р,), которая пропорциональна потенциальной энергии рабочего газа при давлении рь — р,.
Итак, мы нашли условие безударного сжатия. Если требуется получить большие температуры в форкамере, то выгодно сжимать рабочий газ ударно. Для обеспечения ударного сжатия необходимо употреблять легкие поршни и вместо неравенства (5.2) должно выполняться обратное неравенство. Для расчета адиабатических установок необходимо вывести формулы, связывающие начальные параметры газов (Ро Ро рь Рь) с конечными параметрами газа в форкамере р„р,. Прйнимая процессы расширения в баллоне и сжатия в стволе за квазистатические (что хорошо выполняется при тяжелых поршнях) и пользуясь законом сохранения энергии, получим следующее уравнение: Рм(ав +ссч) Рч "л Рь()чс +)чф) — а — 1 Рь аз (5.3) 297 здесь о — объем баллона, ьч„— объем ствола, )л„— объем сжатого газа, Рь„Рп — соответственно давление сзади и спеРеди поРш- (5.6) ня.
Заметим, что у„— конечный объем сжатого газа — равен сумме объемов форкамеры Уф и объема У„, = гс; здесь й — расстояние от переднего среза поршня до клапана в конце сжатия, называемое «недоходом». Очевидно, у„= у„— йг'; чем меньше недоход, тем выгоднее используется установка. Малый недоход можно получить только в результате большой работы по отладке установки. В выражение (5.3) входят три неизвестные величины: р„, р„ У,. Таким образом, нам нехватает двух уравнений. Эти уравнения, могут быть получены, если принять, что процесс сжатия рабочего газа и расширения толкающего газа — аднабатический: РсуБ Ртт (~ В+ ) ст) (5.4) рт (у .
+ уф)' = ртт у," . (5.5) Исключив из (5.3) рм и р„, получим: (уст+ уй) т (у ( З Л)»,— 1 — ( ст+ ф) р, ус ув— Ф вЂ” ! (уз+ уст — Р З) По этой фсрмуле можно определить отношение начальных давлений при заданных недоходах Ь. Зная недоход, с помощью (5.4) и (5.5) определим отношение конечных давлений к начальным давлениям впереди и сзади поршня. При этом не надо забывать, что теперь (т.
е. при заданном 4) только одно из р, и рс будет произвольным, так как их отношение определяется по (5.6). По приведенным формулам можно рассчитать начальное давление в форкамере. Дальнейшие расчеты существенно зависят от того, какой из вариантов установки аднабатического сжатия осуществляется; когда установка работает как газодинамическая труба, дальнейшие расчеты не отличаются от расчета сопел. В данном случае надо иметь в виду, что режим работы такой трубы будет переменным, но, несмотря на это, в каждый данный момент поток может считаться установившимся. В силу переменности режима при одном эксперименте будет иметь место ряд состояний, соответствующих различным числам Рейнольдса, Нуссельта, различным скоростным напорам.
Только число М останется постоянным, соответствующим тому значению, на которое рассчитано сопло Лаваля. В случае работы установки на баллистическом варианте расчет несколько осложнится. Глава Ч1 Установившееся сверхзвуковое течение газа с конечными возмущениями З 1. Вывод основных уравнений движения ди ди ! др и — +о — = — — — —, д» ду р дх ' ди ди 1 др и (1.1) — +о —— д» ду р ду — + — =О.
д(ри) д(ри) ди ду (1.2) 299 В разделе газодинамики, в котором изучается установившееся плоское сверхзвуковое движение газа, нашла удачное приложение теория характеристик для нелинейных гиперболических уравнений. Обычно теорию характеристик излагают для линейных уравнений, причем главное внимание уделяется преобразованию уравнений к нормальному виду; при этом часто подробно не рассматриваются условия на характеристиках. Газодннамические приложения теории характеристик показали, что главным в этой теории является изучение случаев существования интегрируемых комбинаций условий на характеристиках.
Мы обращаем внимание, что как дифференциальные «уравнения» характеристик, так и условия на них пишутся одинаково для нелинейного и линейного уравнений. Этот раздел курса находит применение в современной сверхзвуковой авиации и аэродинамике ракет. Излагаемая здесь теория позволяет правильно рассчитать контуры сопел для сверхзвуковых аэродинамических труб, сопел ракетных двигателей, крыловые профили и т. д. В данной главе мы рассматриваем плоское движение газа. Если плоскость движения принять за плоскость х, у, то уравнения движения примут внд (см. главу 11): Интеграл энтропии дает и д ( — '„)+,д ( — '. )=().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
