Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 46
Текст из файла (страница 46)
аа ! —— уй Подставляя с1я а = а~ уй — ! аз в (2.8) а — ! У~ ! —— а+! аз получим: л а, — + сспз1, у нли, если изменить нумерацию характеристик, вдоль у, а= 18(~+а) имеем: "+ ! агс(я А — !, — ! аз — агой / ! в ' — ' «Ђ ! аа (2.9) + сопз1 Из последнего уравнения видно, что этн два семейства кривых (+) лежат в кольце па~(У(У = ь' а ! аа, ибо вне этого кольэ +! ца величина р получается мнимой. Докажем, что семейство кривых, даваемое уравнением (2.9), является семейством эпициклоид, которые получаются при качении без скольжения У вЂ” а, окружности радиуса * по окружности радиусом а .
Для этого заметим: 1) нз (1.17) следует, что характеристики в плоскости годографа скоростей перпендикулярны характеристикам и' ц~ — + — =1 уз а~ Л$ (2. 10) если большая ось этого эллипса направлена по характеристике в плоскости течения. Для доказательства того, что и, о удовлетворяют (2.10), если большая ось эллипса направлена по характеристике, исходим из уравнения Бернулли: 2 й — 1 2 Если направить ось и по характеристике (рис. 54), то из (2.5) получим: Следовательно, и~+ ц~ 2 уз уз Й вЂ” 1 2 нлн цй ц2 цй цВ + з-1 — + 2 2 з ц~,+, Ущ Ущ а„ Таким образом, доказано, что конец вектора скорости лежит на Ф эллипсе (2.10), который называется эллипсом Буземана.
Для че доказательства того, что характеристики в плоскости годогра- /ч фа скоростей являются эпнцнклондами, обратимся к рнс. 55, ьэ где внутренняя окружность имеет радиус, равный критической скорости звука, а радиус внешней окружности равен максимальной скорости потока. Между этими окружностями, касаясь их, расположен эллипс Буземана. По выше доказанным свойствам характеристик имеем, что если большая ось эллипса Буземана совпадает с характеристикой первого семейства в плоскости потока, то малая его ось будет параллельна характеристике 2-го семейства в плоскости годографа скоростей.
Возьмем произвольную точку М на эллипсе Буземана. Вектор ОМ по только что доказанным положениям есть вектор скорости. другого семейства в плоскости течения х, уч 2) конец вектора скорости У лежит на эллипсе В силу свойства эллипса отрезок ВМ перпендикулярен большой его оси, отрезок АМ параллелен той же оси. Следовательно, отрезок МВ направлен по характеристике в плоскости и, а. Через три точки А, М, В проходит окружность диаметром АВ, для которой точка А будет мгновенным центром вращения, когда эта окружность катится по окружности с центром в точке 0 и радиусом а . Таким образом, наше утверждение доказано, ибо при качении окружности АВМ ее точка М, с одной стороны, описывает эпициклоиду, с другой стороны, скорость точки М направлена по характеристике в плоскости и, о.
Пользуясь вышеприведенными свойствами характеристик, можно раз- напрабпете хаипхваги Р-га геюейс юлэгзэжи Оапуа5леног анмрцсввш гемгйюЯг . гюле .т, у эх Хугем зю работать различные графоаналитические методы 'решения задач газодинамики. До появления электронно-счетных машин единственным эффективным методом решения задач газодинамики был графоаналитический метод, разработанный школой Прандтля.
В настоящее время любые задачи сверхзвуковой газодинамики легко могут быть решены численными методами на электронно- счетных машинах. Отметим, что разработаны стандартные программы для решения задач газодинамики на выпускаемых в Советском Союзе электронно-счетных машинах Урал-1, Урал-2, Стрела, БЭСМ и т. д. й1ы изложим здесь графические методы решения задач газодинамики, имея в виду, что эти методы позволяют во многих случаях дать качественный анализ решения задач газодинамики, иногда помогают написанию аналитического решения. Графические методы характеристик играют важную роль в сверхзвуковой газодинамике, почти такую же, какую играют качественные методы для исследования решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Графические и численные решения задач потенциального течения сводятся к выполнению элементарных операций. 1, Заданы компоненты скорости в двух близких точках в плоскости течения х, у; требуется найти близкую к ннм (рнс. 56) третью точку и определить компоненты скорости в ней. Зная скорость в точке 1, т. е. вектор О1' в плоскости годографа, проводим через конец этого вектора эллипс Буземана, большая ось которого дает направление характеристики 1 — 3, следовательно, можем провести через точку 1 плоскости течения направление характеристики 1 — 3.
Аналогично через точку 2 проведем характеристику 2 — 3. Точка 3 будет являться искомой ««ла ,У «« « 6 Риа 36 точкой, так как на малых расстояниях характеристики можно приближенно заменить касательными к характеристикам. Из точек 1' и 2' проведем характеристики в плоскости и, о, они будут направлены перпендикулярно к соответствующим характеристикам плоскости х, у.
Точка нх пересечения 3 даст скорость в точке 3. Так, например, характеристика '1' — 3' плоскости и, о будет параллельна малой оси проведенного через точку 1 эллипса Буземана, соответствующего характеристике второго семейства. На рис. 5 соответствующий эллипс Буземана показан пунктиром. К этой элементарной операции сводятся задачи Коши и Гуров.
Ладим теперь численный метод решения задачи. Уравнение хорды отрезка характеристик 1 — 3 и 2 — 3: уз — у„= (я (Р, + а,) (х, — х,), ) (2.11) У, — У, = 1Я (Р, —,) (х — хз). ! Соответствующие характеристики в плоскости и, о: оз — о, = — с1я (К вЂ” а,) (из из) о,— о, = — с1д (Ц+ аз) (из — из) ) (2.11') Так как в этих уравнениях все величины с индексом 1 и 2 известны, то, решая этн уравнения, получим все величины с нндексамн 3. Таким образом, видим, что численный метод решення задачи сводится к решению системы линейных уравнений.
311 2. Задана скорость в одной точке, найти ее в близкой к заданной точке, если в ней заданы или модуль нлн направление скорости и если она лежит на одной из характеристик, проходящих через заданную точку. Так как в точке 1 задана скорость, то пользуясь выше описанным методом, проводим характеристики 1 — 2, 1' — 2' (рис. 57.) Если в точке 2 задано направление скорости (назовем это операцией 2 ), то, проводя из начала координат 0' луч заданного направления, найдем точку пересечения 2 ', которая $ даст нам величину вектора скорости. Если же в точке 2 задан модуль скорости (назовем это операцией 2з), то проводя окружность радиусом, равным заданному модулю скорости, в точке пересечения с характеристикой 2~ найдем направление вектора скорости, и опять задача будет решена.
Численный метод решения позволит проделать эти операции аналитически. В самом деле, для случая операции 2" получаем; и, — и, = — с(д (~, — а,) (и, — иД, о, = и, ф В,, где 6, — угол наклона вектора скорости к оси Ох. Из этих двух уравнений можно определить а„ о„ что пред- Ф лагаем проделать читателю. Для случая операции 2з получаем: в, — и, = — с(й ф, — и) (и, — и,), о, + и' ,= 'г' Очевидно, из этих двух уравнений также легко определить и„ о„что предлагаем читателю. Пользуясь вышеописанными операциями, можно решить ряд задач газодинамики, например, обтекание газом бесконечной линии, выпуклость которой направлена в сторону потока (течение Прандтля-Майера).
Пусть в четверти плоскости течет сверхзвуковой поток со скоростью Г и со скоростью звука а . Пусть далее этот поток встречает криволинейное продолжение своей границы, располо- женное ниже оси Ох (рис. 58). Так как возмущение в потоке газа распространяется от частицы к частице со скоростью звука, то прямая ОС (рис. 58) будет границей возмущенной области, асс если з)паа = —, т.
е. если ОС является характеристикой. Строгимдоказательством того, что параметры набегающего потока начнут изменяться только при достижении частицами характеристики ОС, будет непосредственное нахождение решения, На характеристике ОС скорость равна $' . Следовательно, она (вся прямая) в плоскости и, о отображается в одну точку О'(рис. 59). Характеристике 2 — 1 плоскости х, у будет соот- У ветствовать эпициклоида, проходящая через точку О' плоскости и, о. Операция оп- а ределения скорости в точке 2 1 есть по нашей терминоло- 'Ь 3 гни операция 2'. Так как в точке 1 вектор скорости потока касается границы области течения и направлен под некоторым углом Р' к оси Ох, то скорость потока в ней (точке 1) получим, согласно теореме соответствия, РИС. 58 как точку пересечения указанной эпициклоиды с лучом, исходящим из начала координат плоскости и, в и направленным к оси и под углом р (рис. 59).
Так как в данном случае мы не собираемся решать задачу численным методом, можно расстояние 1 — 2 н 1 — 3 (см. рис. 58) считать конечным. В данном случае метод характеристик используется нами и для качественного описания явлений, и для получения аналитического решения. Определение скорости точки 3 по скоростям точек 1 и 4 является операцией 1. Но в данном случае мы не имеем в виду определить эту скорость численным или графическим методом, поэтому в рассуждениях рассматриваем отрезки характеристик 1 — 3 и 4 — 3 как конечные дуги кривой. Очень важным обстоятельством является то, что скорость точки 3 совпадает со скоРостью точки 1. В самом деле, чтобы получить скорость точки 3, нам необходимо найти точку пересечения характеристики, исходящей из точки О', с характеристикой другого семейства, исходящей из точки 1', очевидно, эта точка есть сама точка 1'.
Так как точки 1, 2, 3, 4 выбраны произвольными, то мы доказали очень важную теорему: вдоль любой характеристики 1-го семейства скорость потока постоянна. Это означает, что харак- 20 Заказ И 688 з~з теристики 1-го семейства, исходящие из любой точки искривленной границы, будут прямыми. Обращаем внимание, что скорость на каждой характеристике будет зависеть только от значения местного угла р и не зависит от и формы границы. Важным фактом является также то, что упомянутые прямолинейные характеристики являются расходящимися, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
