Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 48
Текст из файла (страница 48)
На рис. 65 показаны два положения одной и той же частицы газа, когда она расположена перед ударной волной . и касается ее одной границей, и когда она расположена за ударной волной, касаясь ее другой границей. Кинематика перехода элемента АА,ВВ, через фронт ударной волны следующая: за время й граница частицы АА, дойдет до 11 ггггггггграя прггогггггрргя ггяггггг ггягФгар у3а~гая гггга р1арная ггяна Рис. 64 ударной волны ВВ„в то же время граница частицы ВВ, перейдет в положение СС,. При этом точки А и А, опишут траекторию, совпадающую со стороной угла, меньшего 180'.
Мы описали только кинематику перехода частицы через фронт ударной волны. Движение, кроме кинематнческих условий, должно удовлетворять динамическим условиям. Динамическими условиями являются: удовлетворение законам механики, законам сохранения массы и энергии и уравнению состояния вещества. Получим эти условия для частного случая идеального газа. а) Закон сохранения масси частицы. Масса исследуемой частицы не изменяется при переходе через ударную волну. Так как объем частицы прн высоте элемента, равной единице (в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа) равен 1г,„й г1з, где 1г,„— проекция скорости частицы на нормаль к ударной волне, то масса частицы перед ударной волной будет, очевидно, равна: 1г,„й йзр„ где Р,— массовая плотность газа до ударной волны, з — длина дуги вдоль ударной волны.
Та же масса, когда частица перешла за ударную волну, будет 1г,„дИзро Следовательно, закон сохранения массы выразится уравнением: 18.11 319 б) Закон сохранения внергии. Изменение полной энергии частицы за время о(г равно работе действующих на частицу сил за то же время.
Пусть потенциальная энергия единицы массы до ударной волны Е„после ударной волны Е,. Тогда выше сформулированный закон выразится уравнением: Г У,* адолб(о"зРо ~ 2' 2 + Ео — Ео = Робе Уолс(( Робзролс(( или Г У'- ро+ф рв Ров, (3.2) Рис. 65 Для совершенного газа Е=3с Т=Рс, нр (л — 1) р Таким образом, для совершенного газа имеем: Уо Ро) — — — + — 1 — — — = Р 1' — Р У (33) л ) 2 2 л 1~ р р/ о ол о ие УолРо(~ ол Уол) Ро Ро+ с(( соз6+ Уо + Уо Р дро + — соз6,)1, др, до УолРо [~ 1 1 о 1 с(( ~ — З1П6 + зн16о) Уо + Уо ) дро . дро (3.4) 320 в) Теорема об изменении количества движения частицы.
Приращение вектора количества движения частицы за время с(е равно импульсу действующих на нее снл, за то же время. Проектируя количество движения на нормаль и на касательную к элементу ударной волны и учитывая импульсы сил, действующих на все грани элемента, получим: здесь 9, 9,— углы между скоростью до и после ударной волны и элементом ударной волны, †, — — градиенты давления вдоль дро дро до д5 ударной волны соответственно до и после ударной волны.)Устремляя М к нулю и имея в виду, что —, —, ро — р, — конечдро др1 до ' до ' ные величины, получим: "'ол Ро (У1л "'ол) = Ро Ро (3.5) (3.6) Из уравнения (3.6) вытекает, что составляющие скорости, касательные к ударной волне, ие терпят разрыва.
Этот вывод получен исходя только из теоремы об изменении количества движения, поэтому он справедлив и для тех. случаев, когда в газе при переходе через ударную волну происходят любые физико-химические равновесные и неравновесные процессы. Учитывая (3.6), из (3.3) получим: в й уел ~ ол 1 /» р) )олро~ 2 2 + о 1 ~ з ~/ =Ро)ол — Ро" ол (3) ~ь Уравнения (3.1), (3.5) и (3.7) имеют такую же форму, что и для плоской ударной волны, только соответственно вместо У„ Уо стоят Уо„, У,л.
Комбинируя эти уравнения так же, как и для плоской ударной волны, получим ударную адиабату Гюгонио: а+1 р, р, й — 1 Ро л+! о 1 Ро Заметим, что адиабата (3.8) имеет место для любых ударных волн: стоячих, движущихся, цилиндрических и осесимметричных и, наконец, любой пространственной формы. Это объясняется тем, что для элемента ударной волны указанные выше три теоремы записываются в одинаковой форме. Из (3.2), имея в виду (3.1), получим: 'о' ро — + Ео+ — = — '+ Ео+— 2 Зо 2 Зо ' Так как Е+ — есть энтальпия 1 (для совершенного газа Р 1= 1с Т), то легко получить: (3.9) + (о = + (о 1 2 2 оо 321 т. е. при переходе через ударную волну уравнение Бернулли имеет место, следовательно, сохраняется эитальпия торможения 1„. Установим еще ряд важных факторов. Для этого перейдем от естественных осей к декартовым, причем ось абсцисс направим по скорости набегающего потока, ось ординат перпендикулярно к ней, обозначения компонент скоростей оставим прежними (рнс.
бб): и=1',„, У=У,„; 1~оо = 'о'оз)п 8; $~,„= из)п Š— о соз 6, о'о == )~осозео; Рп = испат+ оз1п 81. Рас 66 2 — 2 'о~ — — — +1 ~ — 1+ —.) = О; 1о ) но )о = 2 2 1о то Рож Рк Зо следовательно, подставляя сюда из (3.8) Р' и из (3.1) Ро = †'", получим: ооо Ро Ро +(— 2 2 ( 2 =О, или 322 Исключим из уравнений все физические величины и оставим только скорости. Из уравнения Бернулли имеем: Отсюда получаем решения: или Уо !'о =а 2 а — 1 ол ол ° д.+ ! м Для случая плоской ударной волны Ум=Ум Уол=Уо»'о =О, откуда вытекает известная теорема Прандтля: 2 У,Уо=а..
Заменяя естественные составляющие скорости через декартовы, из предыдущего уравнения получаем и — 1 ., ° (и 3!п Š— о соз 1Э) Уо 3 (п Э = а. — — 1" соз 6. 2+1 ' Из равенства Ум= Уо, получим Уо — и Исключая 6 из последних двух уравнений, получим откуда л — 1 2 у, ц ~о Уо(1'о — и)+а о ! ! Уо или о'= (У,— и)' (3.(0) 2 2 2 1 Уо+а — Уои Это уравнение так называемой ударной поляры. Ударная поляра представляет собой график, который опишет конец вектора скорости частиц газа, лежащих в данный момент на ударной волне, если эти скорости откладывать из начала координат плоскости и, и. Кривая о= о(и) имеет две точки пересечения с а2 осью зп и = У;, и, = — '.
Первая точка и= У, является точкой а, самопересечения кривой, а точка и = у соответствует прямому скачку уплотнения (рис. 67). 323 Покажем, что при и ) Уа ударная поляра имеет вертикальную асимптоту. Очевидно, асимптоту ударной поляры получим, приравнивая нулю знаменатель правой части (3.10): аз а~ Это равенство доказывает наше утверждение.
Из рис. 67 видно, что при заданном угле скорости после скачка Р мы получаем три значения модуля скорости У„У„У„из которых решение У =У,противоречит теореме у Цемплена, которую мы дска- жем ниже, У = Уа имеет место аР РР л для присоединенного скачка и У = У, соответствует решению, примыкающему к дозвуковым скоростям для случая отошедшей ударной волны. Для доказательства теоремы Цемплена Рис. 67 мы будем пользоваться ударной адиабатой Гюгонио.
Так как в данном случае имеет место ударная адиабата Гюгонио (3.8), то, как покажем ниже, имеет место и теорема Цемплена. Теорема Цемплена утверждает, что Р— '>1; из (3.1) имеем: Ра — = — ) 1. Ра Рал Ра "ал Так как касательная, составляющая скорости на ударной волне, непрерывна, то если задан вектор скорости У, на ударной волне, направление касательной 9а к ней определяется по указанному на рис. 68 построению.
Через концы У векторов У, и У, проводим аР Г прямую и опускаем перпендикуляр на нее из начала а координат. Направление этого перпендикуляра будет па- Рл раллельно касательной к ударной волне в точке„ где скорость равна У,. На рис, 68 видно, что если точка лежит на ветвях за точкой самопересечения, то †'" = Р' ( 1 и решение У= У противоре- 1' ал Ра а чит теореме Цемплена. 324 Р Ро следовательно, или Здесь х =, . Так как я — — ) О, то Ьо ) О, если 1+1 Ро Ро Ь ~ ) ~ ) +1~0 Докажем теперь, что Ьо О, когда Р' 1.
Ро Ро по Р' два раза, получим: Ро Дифференцируя Так как оо(1) = 0 и Ь,(1) = 0 при Р' =1, то, полагая Ръ Ро = у < 1, получаем: 1 — Ь, = ~ Ь, о(у) О, т, е. Ь, (у) < О. Следовательно, 32д Докажем теперь теорему Цемплена: при прохождении через ударную волну газ уплотняется, т. е. Р' ) 1, а 'скачки разреРо жения 1 Р' <1) невозможны. Как было показано в главе 1, при необратимых адиабатических процессах энтропия растет. Так как процесс прохождения газа через ударную волну есть именно необратимый адиабатический процесс, мы имеем Очевидно, если у >1, мы получим Ь,(у) <О. Этим самым теорема Цемплена доказана.
Смысл решений к = г„(7 = 17, будет раскрыт в дальнейшем при решении конкретных задач. Наконец, возвратимся к исследованию решений $',„= + 17,„. Очевидно, 1',„= 17с„соответствует движению газа без образованйя ударных волн. Это, естественно, непрерывное движение газа также удовлетворяет вышеиспользованным законам. Поэтому решение 17, = 'и'и„должно содержаться в полученном выше уравнении. Решение же 17,„= — 17 должно быть отброшено как противоречащее уравнению сохранения массы (3.1). Изложим решение ряда задач о движении газа с образованием ударных волн.
1. Обтекани м бесконечной вогнутой линни. Пусть в четверти плоск имеет место сверхзвуковой поток со ско- К ростью У, и лом Маха М = —. Пусть этот поток встречает криво ное продолжение своей границы, расположенное выше оси Ох (рис. 69). Точно такими же рассу- У ждениями, как в 9 2 этой главы, мы установим, что все ф характеристики первого семейства являются прямыми. Но в данном случае углы наклона характеристик к оси Ох будут увеличиваться, так как точкам на границе области будут соответствовать точки эпициклоиды, лежащие выше оси и (рис. 70), и характеристики 1 — 8 и б †будут перпендикулярными касательной к эпициклоиде в точках 1' и б' плоскости и, и (рис.
70). И и Рис. б9 Рис. 70 326 В силу того, что углы характеристик с осью Ох увеличиваются, характеристики первого семейства будут пересекаться между собой в области течения. Пересечение характеристик одного и того же семейства свидетельствует о некорректности решения задачи. В самом деле, в точке пересечения М (рис. 69) мы будем иметь два значения скорости, соответствующие точке 1 я точке 5 гранины. Физически возникновение пересечения характеристик одного и того же семейства свидетельствует о возникновении ударной волны.
Предполагая существование ударной волны, мы избежим необходимости использования решения, даваемого прямолинейными характеристиками за ударной волной. Найдем точку, где начинается ударная волна. Очевидно, для этого достаточно найти точку пересечения характеристики 02 (рис. 89) с бесконечно близкой к ней характеристикой того же семейства. Указанная точка является на основании (2.7) точкой пересечения следующих прямых: у = (и аа х, у = (й (Ц + сса + Ьа) (х — Ьх), Ь х (Я Щ + аа + Ьа) (я(ар+ ао+ Ьа) — 1яаа Если обозначить через ха абсциссу точки, где начинает образовываться ударная волна, то получим: (а(ар+ а+й«) ~а а ах ~, О 12(ар+ аа+ аа) — (яаа 1 ! ааа + Ир ~ Ьх сохааа( дл дх) Так-.
как +~Га 1(~ 1) получим: созас(а =' — 17 Зl 2 а'а у)7а ра Следовательно, с учетом (2.8) ь — 1 и лр ( ~а 2 )1а совах а1оаасоа «а соа аа+ 2 $~~ ~ Их а!и аа соха аа 327 или 2ып со сов~ ас (а+0 ( — „"„) (3. 11) Зная х, легко найти величину 2Мп а,сов~со (а+ !) ~ — '„"„) (3.12) Покажем теперь, что, допуская наличие ударной волны, начинающейся в точке х = х*, у = у*, можно избежать использо- Рпс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
