Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Кроме того, заметим, что связанная с энтропией 3 как функция своего аргумента зв" получается в ходе расчетов, как покажем ниже при решении конкретной задачи. Система (4.18) является сама системой нелинейных уравнений относительно неизвестных аргументов. Приведенная схема расчета, которая свела задачу к решению (4.18), называется «неязной» схемой.
Решение же системы можно вести только методом последовательных приближений. За первое приближение следует принять п„т„К„Р», Т, соответственно равными а„...,Т, или п„...,Т«з Это равносильно тому, что в первом приближении мы за отрезки характеристик принимаем отрезки касательных к ним соответственно в точках 1 и 2. Прн подсчете последующих приближений 1„(з, у,,...
берутся из предыдущего приближения. Аналогичным приемом могут быть рассмотрены другие случаи. 2-й случай. Угол наклона характеристик первого семейства близок к нулю ($, ( + 1 =0), угол наклона характеристик второго семейства близок к — ($ + ( = 0). В этом случае, пользуясь 2 (4.11) и (4.14), получаем: Ф 1 1 хз — 2 (пз+ пв) (уз — уз) 4 (тз+ тв) (пз+ пв) хз 1 4 ( з + пз) ( " + т") Ув Уз+ (пзз+ пзв)(хз — х„), 1 1 1 Гз (з+ 2 (К»+К») 1»+ 2 (К»+ К») 6» «»в 1 1 2 (К»+К»)+ 2 (К»+К») (4.19) ! 1 — (Рз+ Рз)(зз — вз) + 2 (Рз+ Рз) Рв зз) 1 1 2 (К»+К»)+ 2 (К»+К») 1 1 "з =(з 2 (Кв+ Кз)(1» 1») 2 (Рв+ Рв)(эз зз) 2 (Тв+ Тз ) (Уз Уз) + )~з зз з (Рз) 343 У-й случай.
Угол наклона обеих характеристик к осн Ох близок к †, т. е. 1 †(. =. О, 1 + ~ = О. В этом случае, пользуясь системами (4.12) и (4.14), легко вывести следующие формулы: 1 (Йз+ ла1 лз ла) 1 + (па+ ла ) (Уз Уу) (4.20) 1 1 1 2 (Ка+Ка)+ 2 (Кв+Ка) 2 (Кз+Ка)+ 2 (Ка+Кд 1 1 1 а !уз = %' — — (Тв+Т ) (Ув — Уа), зз — з(!з'з). а ! ! 4-й случай. Углы наклона обеих характеристик близки к нулю, т. е. 1~+1вмО, 1( — 1=0.
В этом случае, пользуясь уравнениями (4.11) и (4.13), получим: 1 2 (алз+ лаз — лв — ла1 ув — уз + — (а, + л,) (х, — х,) ! (КвйвКд+ 2 (Ка+Кд 1 1 1 — 1 аа — «а+ 2 (лаз+ ала) Уа — 2 (ла+ла)Уз Ув 1 1 Са,Са + 2 (Кв+ Кд !а+ 2 (Ка+ Ка) ~а 1а 1 1 и (Ра+ Ра)(Ъ вЂ” за)+ 2 (Ра+Рд(зв — за) Са =(а — 2 (Кз+ Кз)(Ез 6а) 2 (Рз+Рз)(зв за), 1 1 1 1 У а — Уа + 2 (ма + лад за — 2 (лз + ад ка хз— 1 1 Са Са+ 2 (Ка+ Кд за+ 2 (Ка+Ка) «а 1з— 1 1 2 ( з+ а) (зв а) + 2 ( в+ а) ( з 1 1 2 (Кв + К1) + 2 (Кз+ Кд (в — — ~в — 2 (Ка + Кв) (1а — (а) — — 2(Ра+Ра) (за — М 1 1 вР = %' — — (Т + Т,) (х — х,), зв — з(Ф'в).
1 ! (4. 21) Ф Как мы указывали, для нахождения функции з в процессе расчета составляется таблица. В каждом приближении по найденному Ч' соответствующее значение з рекомендуем находить квадратичной интерполяцией по формуле: з = зл, + (%' — Ф„а) [81+ (Ф' — %"„), ' ча ~, (4.22) где ал-а ал жл-а Ч' л ал ал+а а Ча» ~ лаа ча — ~ (х,), у,— у, = — (па+и,)(х,— х,), 1 Уа =1(ха) й Уа =1 (ха)(х «а) 1 1 Га — ~а+ 2 Фа+ Да)йа — ~а)+ 2 (Ра+ Ра)(аа — За) =() Решая эту систему, найдем: 1 Г(аа1 — ха('(аа(+ 2 (ла+ла) ла — аа ха 1 — (л, + ла1 — 1' (ла) ~а + 1 ~а + ('а 2 (~ а+~ а)(за за)( 2 (Ка+ Ка) (4.23) Уа = аа (ха) га = аа (ха). 22 заказ м ааа Рассмотрим теперь методику расчета параметров газа в точке жесткого контура, если они известны в точке, лежащей близко к ней (рис.
82). Здесь также необходимо г рассмотреть два случая, как для пересечения с контуром характеристики второго се- 1 мейства (см.'11ис. 82, а(, так а и для пересечения с конту- а! И ром характеристики первого Рис 82, семейства (рис. 82, б). Пусть с контуром пересекается характеристика второго семейства.
1-б случай. Угол наклона характеристики 2-го семейства к оси Ох близок к нулю. Пусть контур задан уравнением уа=~(ха). Пользуясь системой (4.13) и граничным условием в точке пересечения 3, получим: 2-й случай. Угол наклона характеристики к оси Ох близок к — . В этом случае, аналогично предыдущему, применяя 2 ' систему (4.14) и пользуясь граничными условиями, будем иметь: 1 хз + 2 (пз+ пз) 11 (хз) — 1'(хз) хз — Уз) х,— 1 — 2 (и,+пз) 1'(хз) (4.24) Уз = 1(хз) (з = 1 (хз) 1 = 1 + 1 ~ — ( + ~ — — (Рз+Р ) ( — зз) ~ 2(з+ ! При нахождении пересечения характеристик 1-го семейства с контуром также рассмотрим два случая. 1.
Угол наклона характеристики с осью Ох близок к —. Поль- 2 ' зуясь.системой (4.12) и граничным условием, аналогично выше рассмотренным случаям, находим: 1 хз+ 2 (т1+ пзз) (1(хз) — хз1 (хз) Уз1 хз— 1 — — (из+ жз) 1' (хз) (4.25) Уз = 1(хз). ~з = 1 (хз) 1« = 1, +, ~(з — ~ — 2 (Рз+Рз) (Зз — зз)]. —,'(К.+Кд 2. Угол наклона характеристики к оси Ох близок к нулю.
Пользуясь системой (4.11) и граничным условием, получим 1 1(хз) — У, — «з1'(хз) + 2 (пзз+~~з)», хз— 1 (~з+ ~з) 1 (»з) (4.26) уз =1(хз) (» =1 (хз) зз=1з+ 1 (з (з 2 (Рг+ Рз) (Зз Зз)~ 1 г 1 2 11(з+Кз1 Уравнения (4.23), (4.24), (4.25) и (4.26), как указывалось выше, должны решаться методом последовательных приближений. При 346 решении уравнений для х, в первом приближении в правой части выражения для х, необходимо соответственно положить х = х, или х, = х,. Расчеты необходимо проводить до тех пор, пока не будет выполняться неравенство (хз — хз( ( (( о, где ((+и (() ( я — наибольшая допустимая ошибка расчета, которая должна быть задана из каких-либо соображений, но не может быть меньше разрешающей точности употребляемых вычислительных машин, ( — номер приближения. Значение Ч, на жесткой границе постоянно и задано.
Поэтому, вычисляя его по соответствующим формулам и сравнивая с заданным значением, выявим ошибку вычисления. Выведем теперь формулу для определения давления на жесткой границе, каковой в частности может быть поверхность обтекаемого газом тела. Согласно определению функции з=!п~: = а'. - '%)' Р Вводя безразмерный коэффициент давления р = (, бу— Р 2 дем иметь р= е' Подставляя сюда Р из (4.8), получим: Рсо р = 2, а (й(1+ х$')) ~ . l Перейдем теперь к описанию методики определения значения параметров в некоторой точке 3 ударной волны по их значениям в близкой точке О и в некоторой точке 1 характеристики второго семейства, исходящей из О (рис.
83). Дифференциальное уравнение ударной волны в прежних обозначениях имеет вид ау У, — и — =(ао = Ых ипи В этом уравнении все скорости можем считать отпе- в харапперасп аай ага семейслуа сенными к критической скорости потока. В урчке 3 «"да~~"*~'"~~"~ нужно определить величины г-са семейсс(гл хз уз, $з, 1м зм Из (4.5) 'получаем: пас. аз 22* "з 1 хУ з (4. 28) Для точки 8 по определению величины х имеем: хв из = Ув — из. В этих обозначениях уравнение ударной поляры примет следующий вид: 3 У ив ! оз = (1 ив) — У +1 — У„зв откуда 2 з з "- +1+'з 1! + 'з) У„ив — 1 3 2 з +! " "в з 2 з З вЂ” 1 з Вводя обозначение Л = 1+ х — хУ„= 1+ тз — У„, преобразуем выражения для и, и о;.
й 1 У +'1+*3 У +У ~вв+" и У 11 + 'з) У (~ + 'з) о зтз— 1! + 'з) 1! + 'з) или 'з(У + 2' Л+" ) + Ув вз 2ЛУ 'з+ "в зв У,в вЗ вЂ” Л Так как ьв ив вв (Уз +Л) (4.29) (4. 30) Теперь найдем выражение для квадрата модуля скорости Уз зв точке 3: то, заменяя участок ударной волны отрезком касательной, получим 1 у,— у, = — (вз+,)(х,— х,). уравнение характеристики первого семейства берем в виде (4.12), тогда х,— х = — (щ, +,„)( Решая эту систему, получим; 1 1 хэ З (ааэ+ ~~э) (сз + ээ)во+ 2 ("'э+ «эв) (Уа Уэ) хэ— 1 Э 4 ( ~+ ~з) (~э + ~з) (4.31) 1 Ув = Уо+ 2 (со + со) (хз — хз) Выведем теперь формулу для энтропии.
По определению, Рв р,а ~ — ) Соотношения на ударной волне дадут Ра = Ров+ )' ооа Роо (Рсоа Рза) ра Уоо э1П аэ Увв р, $'эо ив Мп оэ — ов сов 9э иээз — оэ Р а, Ров!Гэ+! а Уо,~! й в ~З вЂ” 1 2 2 где 7 означает, что скорость не отнесена к критической скорости звука. Следовательно, рэ 1 Гй+1 а — 1.Л ~ + $~, мп 6 соа Еа ($~„ав р а паса+ оз) или уа а 'з з,=1п — — р' + й+1 й — 1 2З 2й !+ 'з !+ 'з 1+ *з иаэв — "э +й1п Имея в виду, что У вЂ” и =о и„и подставляя сюда значения из, оз, получим: ~а+1 $/з,з Л 1 з '+ ~+ — И 2Ь 1+., зз ( Уз -1- Л) 1(,' *з — Л + (з1п (1+'з) 1 'з(1+'з) ~созз или окончательно )(з з 1+'з з Полученные выше формулы (4.28), (4.29), (4.30), (4.31), (4.32) образуют систему уравнений для определения 1„1„зз, хз, у„Уз через оз.
Таким образом, эта система не замкнута, так как величина тз также неизвестна. Систему можно замкнуть, если воспользоваться уравнением характеристики 2-го семейства. Последнее уравнение содержит тз неявно (через свои аргументы). В данном случае рекомендуется следующая схема расчета. В первом приближении полагаем тз = то. Тогда будут определены все величины ~„$„зз, х„у,. Получив эти величины, проверяем, обращается ли с заданной точностью левая часть уравнения хаакте истики пе вого семейства в н ль т. е. выполняется ли а о — наибольшая допустимая ошибка вычислений.
Если это условие не выполняется, то положив зз = то — (Лс (обычно ос = =0.00!), проводил( новый расчет. Последующие значения оз выбираются линейной интерполяцией (4.34) ((+() ((-и ((-и з — з (о (( — () з з ео ( — и так, чтобы при новом тз величина з была мала, т. е. выполнялось (4.33). После выполнения условия (4.33) по полученному значению уз вычисляется величина Ф'з по формуле о зРз = )Ро+ 2 У„й ~е + е ~ (уз — уо) (433) 350 Р р Р у условие ! з ~ ~( Ь, (4.33) з где 1 1 13 11 2 (К1+ Кз)($з $1) ( 3+ 1) 2 (~з 1)' Глава чП Обтекание тел вращении сверхзвуковым установившимся потоком газа В 1.
Уравнения движения В этой главе рассмотрим обтекание тел вращения сверхзвуковым установившимся потоком идеального совершенного газа (массовыми силами пренебрегаем). Уравнение движения такого газа в векторной форме имеет вид: — = — — ягаб р. вч 1 ш = р (1.1) о,=х, о =у, о =уй, (1.2) где точка над буквой обозначает дифференцирование по времени Если 1, 1, 11 — единичные векторы, направленные по осям у, 6, то вектор скорости частицы представится в форме: ч =х1+ у1+ уО)г. <1.З) 351 Наиболее удобной системой координат для описания течений при обтекании тел вращения и, в частности, осесимметричных течений являются цилиндрические координаты х, у, 1З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
