Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 47
Текст из файла (страница 47)
в области течения они не пересекаются. Этот факт легко следует из того, что прямои+ и и линейные характеристики долж- 1' ны быть перпендикулярными в г/ соответствующих точках к эпициклоиде, выходящей из О'. Рассмотрим теперь, случай, коРис. 59 гда только часть границы искривлена (часть границы ОВ на рис. 58), далее граница остается опять прямолинейной. В г силу того, что, начиная с точки В, угол Р остается постоянным и равным Ф рв, очевидно, во всей области, лежащей правее В, скорости будут постоянны- О ми и равными скорости в точке В; как уже говорилось, скорость в точке не зависит от закона изменения угла р от точки О до точки В, а зависит только от конечного значения этого угла Рв.
Это обстоятельство позволяет легко найти решение для случая так называемой центрированной волны Прандтля-Майера. Вообразим, что искривленный участок ОВ границы течения, уменьшаясь, стремится к нулю, т. е. в пределе мы будем иметь случай обтекания угла, причем (в данном случае) большего 180'. В этом случае, очевидно, все характеристики с различными наклонами будут концентрироваться в вершине угла (рис. 60), но и тогда направление крайней характеристики и величина скорости на ней не изменятся, так как мы величину угла рв оставляем постоянной. Движение в области ОСВ называется автомодельным, совокупность же характеристик, исходящих из одной точки (в дан- Рис. 60 314 ном случае нз точки О), — центрированиыми волнами ПрандтляМайера.
Правее характеристики ОВ течение снова равномерное. Совокупность прямолинейных характеристик будем вообще называть волнами Прандтля-Майера. Формула (2.9) дает зависимость между углом наклона скорости к оси Ох и ее модулем. Так как эта зависимость соответствует характеристике второго семейства, в (2.9) следует брать знак минус. Произвольная постоянная определяется из условия на характеристике ОС, следовательно, имеем: "о Ь+! / а2 в — 1 д ! у2 О 1 — —— а+1 а2 т 2+1 сопз1 = 'У, ! агс(д у, а ! Уч ! — агс 1и ю! Упомянутая выше зависимость р = р(у) будет иметь вид: ="(Ф)-"%) (2.12) Формула (2.12) позволяет определить максимальную величину угла поворота сверхзвукового потока.
Очевидно, максимальный угол поворота потока будет иметь место, когда — = 1, т. е. в, набегающий поток звуковой, и когда — = — = у + а, а, у а 1 ' Из (2.12) получим айвах = — х( — ) = — (г 6 — 1) Рассмотрим теперь два случая сверхзвукового течения газа. 1. Течение в сверхзвуковой части плоского сопла Лаваля.
Пусть известно распределение скоростей в некотором сечении сопла, близком к критическому (рис. 61). Само сопла считаем симметричным относительно оси. Тогда, согласно теореме соответствия, распределение скоростей внутри криволинейнего треугольника АА,В будет полностью определено. Эта задача может тоФ 315 быть решена илн графоаналитическим методом Прандтля-Бузе- мана или же на электронных машинах численными методами. В обоих случаях придется последовательно применять операцию 1.
Рассматриваемая нами математическая задача об определении решения гиперболических уравнений (1.12), по начальным данным, на нехарактернстической кривой носит название задачи Коши, Картина распределения скоростей дана на рис. 62, где видно, что при движении от основания к вершине криволинейного треугольника скорости будут увеличиваться. Установление факта Рис. б! Рис, б2 роста скорости свидетельствует, что метод характеристик позволяет, не решая задачи, установить важные качественные стороны явления. Распределение скоростей внутри треугольника А,В,В может быть найдено путем последовательного применения операций 2' и 1. Соответствующую картину в плоскостях х, у и и, о рекомендуем вычертить (качественно) читателю.
Представляет большой .интерес решение следующей задачи: найти форму контура сопла 'А,В, такую, чтобы поток после прохождения характеристик ВВ, н ВВ, стал равномерным. Очевидно, в данном случае ВВ, и ВВ, 'будут отрезками прямых, так как на них скорость постоянна й равна скорости в точке В. Таким образом, мы имеем распределение скоростей на двух характеристиках: А,В и ВВ,. Легко убедиться, что в данном случае, применяя операцию 1, можно получить решение внутри криволинейного четырехугольника А,ВВ,А,. Зная поле скоростей, легко вычертить соответствующую линию тока А,В„ которая в данном случае и будет искомой формой контура сопла.
Заметим, что в данном случае, начиная от сечения В,В„ контур сопла будет прямолинейным. Математическая задача определения решения гиперболических уравнений (1.12) по данным граничным значениям на отрезках характеристик носит название задачи Гурса или характеристической задачи Коши. Для вышеописанного случая, когда форма контура сопла найдена, мы будем знать распределение скоростей на характеристиках ВВ, и ВВ„ которые в данном случае будут прямыми.
Задача об определении распределения скоростей внутри криволинейного четырехугольника опять является задачей Гурса. зш 2. Истечение сверхзвукового потока в ПРостранство, занятое неподвижным газом постоянного давления.' В данном случае образуется линия тока, отделяющая неподвижную область от истекающего газа. На этой линии тока давление будет постоянным н равным давлению в пространстве с неподвижнымгазом. Кроме того, на этой линии тока происходит разрыв касательных скоростей, так как истекающий газ имеет конечную скорость, а окружающий газ неподвижен.
Такая линия тока, вдоль которой давления постоянны и которая является линией разрыва касательных скоростей, называется струей. Следовательно, истечение газа Рис 63 в неподвижное пространство с постоянным давлением происходит с образованием струи (рис. 63). Можно указать следующие три существенно различных режима истечения: 1) наружное давление меньше, чем давление в выходном сечении сопла (см. рис. 63); 2) наружное давление больше, чем давление в выходном сечении сопла; 3) наружное давление равно давлению в выходном сечении сопла.
Первые два режима называются нерасчетными режимами истечения, последний — расчетным режимом истечения. В случае истечения при первом режиме поток внезапно расширяется, и струя образует угол Р„(см. рнс. 63) со стенкой сопла. Необходимо отметить, что без расширения струи граничное условие на ней не выполняется. Следовательно, в точках О и О, возникнут пентрированные волны Прандтля-Майера. В треугольниках ОВС, ОзВ,С, поток будет прямолинейным с постоянной скоростью (г,.
В данном случае неизвестными являются и скорость (г„ и угол Для их определения составим два уравнения, одно из котоРых есть уравнение (2.12), а другое получим, приравнивая давление на ОС заранее известному давлению р, окружающего 317 струю пространства. Последнее уравнение будет иметь внд: Ра — Ра 1 — ~,а Отсюда легко находим: з †! '=Ч'-(2)- (2.13) Подставляя в (2.12) $~ = )'„получим выражения для ~п считая его положительным: (2.14) ф 8. Течение газа с образованием криволинейных ударных волн Ударные волны образуются, когда сверхзвуковой поток встречает препятствие в виде обтекаемого тела, когда встречаются под углом два потока за обтекаемым телом и, наконец, при 318 Напомним, что в этих уравнениях Р,— давление торможения У вЂ” максимальная скорость (ее получили бы частицы газа, если бй поток вытекал в пустоту).
Если р равно давлению в конечном сечении сопла, то У, = У, и мы получим ~, = О. Этот результат показывает, что прй расчетном режиме истекающий поток не изменяет своих параметров и течет так, как будто стенки сопла продолжены. Второй режим истечения будет происходить с образованием ударной волны. Так как на характеристиках АВ н АВ, скорости известны и равны скоростям на центрированных характеристиках, то распределение скоростей внутри четырехугольника АВА,В, определим, решая задачу Гурса.
В четырехугольниках ВА,РС распределение скоростей также определится из решения задачи Гурса. Наконец, в треугольнике СЭЕ решение можно получить, последовательно применяя операции 2з н 1. Так, например, зная скорость в точке 1, скорость в точке 4 определим применением операции 2~; зная скорости в точке 4 и применяя операцию 1, получим скорость в точках б, 6. После сделанных указаний ясно, как получить форму струи и распределение скоростей между струями. Расчеты показывают, что струя сначала расширяется и затем сужается. Этот процесс будет продолжаться до бесконечности. Таким образом, форма струи будет волнообразной.
сверхзвуковом течении газа в сужающейся трубе. На рис. 64 и приведенных в конце книги фотографиях показано обтекание плоского контура сверхзвуковым потоком. Несмотря на разнообразие форм ударных волн и различие причин, вызывающих их образование, они подчиняются одним и тем же закономерностям. Для определения этих закономерностей рассмотрим элемент криволинейной ударной волны; скорость потока будет направлена под некоторым углом к этому элементу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
