Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 49
Текст из файла (страница 49)
7! 328 вания вне области ОАВ (рис. 71)„ограниченной частью обтекаемой границы и двумя характеристиками, исходящими из точки х = хс, у = у*, решения, даваемого прямолинейными характеристиками. В области ОАВ движение будет непрерывным и изоэнтропическим и может быть построено последовательным применением операций х и 1. Вне полосы между стенкой и линией тока, исходящей из точки А, движение будет вихревым, так как ударная волна будет криволинейной и, следовательно, в каждой точке ее скачок энтропии будет разным. Поэтому при определении движения в этой области использование эпициклоиды, строго говоря, недопустимо. Но так как интенсивность ударной волны в начале ее образования небольшая, можно с большой точностью принять движение изоэнтропическим и решать задачу, используя эпициклоиды, т.
е. используя полученные интегралы уравнений характеристик, Для решения задачи обратимся к рис. 72. Здесь кривая А5878В является отрезком эпициклоиды, отрезками эпициклоиды являются также кривые (6,!0), (7,11), (8,12), (5,9), (В, 13). Точка 14 находится из условия, что она лежит на эпициклоиде и соответствует точке границы, в которой скорость имеет угол наклона ~ы. Точка 15 получается как пересечение ударной полярой эпициклоиды, исходящей из 19.
Так как направление Рис. 72 ударной поляры в точках 9 и 15 получается как направление перпендикуляра к лучам (А9) и (А15) на рис. 72, то получается, что ударная волна изогнута в ту же сторону, что и граница. Наконец, рассмотрим обтекание угла, меньшего 180' (рис. 73). Если граница в пределе представляет иэ себя прямые, пересе- Рис. 74 Рис 73 Ф кающиеся под углом ~„, то производная -у„- +" для любого малого Дх приращение угла ДР остаетсЯ постоанным, следовательно Ди -+ с при дх -+ О. Из (3 Н) " (3 )2) полУчаем Ьх х* = уи = О, т.
е. в рассматриваемом случае ударная волна начинается из точки излома О, как это показано на рис. 73. Так как после прохождения ударной волны скорость потока, согласно граничному условию, должна быть параллельна стенке, то угол наклона скорости $', будет известен и Равен Рс. Зная Рс и пользуясь ударной полярой, найдем величинУ скорости )l, й угол наклона ударной волны ез1 (Рис. 74). Очевидно, 329 во всей области за ударной волной скорость У, давление р„плотность Р, и температура Т, будут постоянными. Так как в области ОАВ уравнения движения (!.12) будут удовлетворены тождественно, то выбрав У, по ударной поляре, мы удовлетворяем кинематическим и динамическим условиям на ударной волне; тем самым непосредственно доказана корректность нашего решения.
Обратим теперь внимание на то, что при определении У, мы брали решение, дающее большее значение для модуля скорости, отбрасывая решение, дающее меньшее значение. В самом деле, если Ро = О, получим прямолинейную границу и, очевидно, скорость потока везде должна быть равной У . Если мы выбрали бы меньшее для модуля У, решение, то в пределе при Ро -о 0 а, получили бы У, = †, что соответствует точке А на рис.
74. В следующих примерах течения газа мы покажем, что меньшее по модулю решение соответствует зоне дозвуковых скоростей при течении с отходящей ударной волной. Аналитическую формулу для скорости У, получим, полагая в (3.10) о = У, 51п !5, и и= У,совр,: (3.14) У соозо — а У,з(по~, = (У вЂ” У, соз~,)' ' . (3.13) У +а — У У5 005 Р5 л+ 1 оо ° оо Это уравнение, как видно, является относительно У, кубическим и его можно решить, применяя формулу Кардана. Ниже даем таблицу значений — ' для идеального газа при различных углах а, У и различных значениях — = М .
Зная скорость потока за ударной волной У„ легко найти угол наклона косого скачка ОА (см, рис. 73). Действительно, выше нами была выведена формула: У вЂ” а 1й6 = Так как и = У,созр, и о = У,з(про то можно написать У вЂ” Уо соо о„ (йВ = Зная Во легко определяем У,л и Уол: Уол Уо з(пото Уол Уо зн! (~5 г5)' Зная же нормальные компоненты скорости, найдем из (3.1) плотность за косым скачком: Уо 5!а 9~ (3.15) Ро = Ро У;а(Н 5,1 ' якая ро легко определим по ударной аднабате Гюгонио давление: а+1 р, — — 1 0о Ро =Ро о+1 Ро (3.16) Наконец, температура определится из уравнения состояния: т,= 1оы ' 2, Обтекание бесконечного клина потоком, направленным не по биссектрисе его внутреннего угла (рнс.
75) Решение этой задачи тривиально и сводится к обтеканию угла, меньшего 180' Так как возмущения в сверхзвуковом потоке против течения не Рис. 76 Рис. 75 331 распространяются, то линия тока, проходящая через вершину клина, будет прямой. Такое течение имеет место до тех пор, пока лУч, исхоДЯЩий из начапа поД УгламИ Ро и — ~, на плоскости и, о, пересекается с ударной полярой. Когда пересечение хотя бы одного из лучей (рис.
76) не получается, это означает, что ударные волны отходят от вершины клина, и картина обтекания будет иметь внд, указанный на рис. 77. На оси симметрии потока, очевидно, д ударная волна будет перпендикулярна скорости потока. Следовательно, эта точ- но ка соответствует точке А на ударной поляре, и в ней скорость потока равна ао Рис. 77 — и будет дозвуковой. При обтекании "о дозвуковым потоком на теле всегда образуется точка с нулевой скоростью — критическая точка. В силу непрерывности у вершины клина возникает некоторая область течения ВВ,С,С (рис. 77) с дозвуковымн скоростями.
Границей этой области будут некоторые кривые ВС и В,С„на которых скорость потока будет равна местной скорости звука по. За указанными неизвестными кривыми поток будет сверхзвуко- вым. Таким образом, задача обтекания клина с отходящей волной свелась к решению системы уравнений (1.12), когда она в одной области гиперболическая, в другой области — эллиптическая. Эта задача решается эффективно только численными методами на электронно-счетных машинах. 3. Обтекание плоской пластины сверхзвуковым потоком для случая присоединенных ударных волн. Так как возмущения в сверхзвуковом потоке не передаются против течения, поток до Рис.
78 передней кромки пластины будет невозмущенным. Поэтому прямолинейная линия тока АВ доходит до самой передней кромки пластины В (рис. 78). Таким образом, получаем, что верхняя часть пластины обтекается как угол, больший 180', а нижняя ее часть обтекается как угол, меньший 180'. В областях, лежащих между волнами, исходящими из передней и задней кромок пластины, параметры потока будут постоянными. Так как в верхней части пластины давление меньше, чем в нижней части, то, очевидно, нижние линии тока за пластиной отклоняются в сторону меньшего давления.
В точке С линия тока будет терпеть излом, следовательно, в нижней части потока возникнут волны разрежения, а в верхней части — ударная волна, как это показано на рис. 78. Строгим доказательством существования схемы течения, указанной на рис. 78, является то, что дифференциальные уравнения движения во всех областях движения удовлетворены, а условия совместности на ударных волнах будут удовлетворены, если параметры их будут выбираться с использованием ударной поляры и ударной адиабаты Гюгонио. Заметим, что полученное нами решение, вообще говоря, дает разрыв касательных скоростей вдоль прямолинейной линии тока СР.
В этом можно непосредственно убедиться, рассматривая решение задачи. В силу того, что линия тока СР является линией разрыва касательных скоростей, и так как при Рис. 79 переходе через нее давление непрерывное, 332 то она является вихревой пеленой. Таким образом, за пластиной, обтекаемой сверхзвуковым потоком, образуется вихревая пелена. Если угол атаки пластины достаточно велик, так что луч, выходящий из начала координат в плоскости и, и под углом к оси и,.равным углу атаки, не пересекается с ударной полярой, то обтекание будет происходить с отходящей волной.
Примерная . картина отходящей ударной волны показана на рис. 79. ф 4. Численные методы решения задан о плоском сверхзвуковом течении газа с применением электронно-счетных машин Выше были указаны методы численного расчета, но они пригодны только для ручного счета. В случае же точного расчета течений газа с использованием электронно-счетных машин необходимо применить методы, которые удобны для расчетов на таких машинах.
Одним из главных требований к уравнениям является требование, чтобы коэффициенты их были рациональнымн функциями входящих в них переменных. Оказывается, уравнения характеристик газовой динамики можно преобразовать к упомянутому виду, если ввести переменные з =!пЩ), С =1кр= — „ (4.1) где Как видим, з является величиной, связанной с энтропией. Прежде всего приведем основные уравнения характеристик, к которым присоединим выражение полного дифференциала функции тока. Из (1.4) получим (4.2) д) = р (Ыу — и(х). Уравнения характеристик берем в форме бу = 1я (г ~ а) 0х; тогда условия на характеристиках будут иметь вид: (Ь = — с1д(~~а)Ыи ~ (йф~а)м,, с(х.
Скорости отнесем к критической скорости потока. Из уравнения характеристик в плоскости х, у получим: Для вывода дифференциальных уравнений для (, 1, ~ напишем условия на характеристиках (1.17) в полярных координатах в аУ Ув — а' с((Уз(п У) + с1д(~ ~ а) а) (У соз ~) = ~ 1Я 9 ~ а) —,, с(х, в откуда следует: в!пй в!п(В ~ в)+ сов псов(й ~ а) аУ сова в!и (в ~-а) — Мп рсов (8 ~ а) ~!а(р ~ «) м аУР— ав с(х Усова — с!д(а~в)У в!паа, а' — о' или, относя скорости к критической скорости потока, получим -в- !Я (в ~ и) а 1Усовй — с!д9.ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
