Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Требуется построить значение этой функции в окрестности заданной кривой. Прежде всего заметим, что по значениям первых производных значение самой функции вдоль заданной кривой Е определится квадратурой. Представим искомое решение в виде ряда Тейлора: т(х, у) = р(хе, уе)+ (« —,) рх(х..
уе)+ (х «О)а + (у уе) «чу( е уо) + 9) тхх(«е уо) + (У вЂ” Уе) (х — хе) (У вЂ” У.) + 9~ тгу(«еув)+ й~ яхт(хо уо)+ " где х„ у, — координаты точки кривой А. * Зауэр Р. Течения сжимаемой жидкости, ИЛ. )954. *" В этой главе принят несколько иной подход к рассмотрению характе ристик сравнительно с предыдущими главами.
Тогда задача Коши сведется к нахождению коэффициентов этого ряда, т. е. производных второго и старших порядков от искомой функции в точках кривой А. Для определения вторых производных вдоль этой кривой имеем систему уравнений: д'т д2т ат = — Нх + — Иу дкк дхду д2т дкт дт = — г)х+ — ау, У дхду дук (2.7) ако 2 2 дкт дЗт — — х =(а' — о ) — — 2о о — + у к дхк " Удхду +(а' — о„ ) †, . др Кривая 1. называется характеристикой, если вдоль нее система (2.7) допускает множество решений. Определим условия, при которых система (2.7) допускает неоднозначное решение.
Эти условия называются характеристическим многообразием. Для того чтобы система (2.7) допускала неоднозначное решение, между коэффициентами уравнений этой системы должна существовать линейная зависимость. Умножим второе уравнение этой системы на множитель Л и сложим с первым, в результате будем иметь: аЯ'к+ Латр д 2~(х+ д д (гХУ+ Лйх)+ Э 2'НУ (2.8) дкт дкт дкт, Из условий линейной зависимости системы (2.7) следует, что коэффициенты при старших производных уравнения (2.8) и третьего уравнения системы (2.7) должны быть пропорциональны. Тогда ау+ Л ак Л ау атк+ Лату а' — 22 = за„а ак — а2 а22 У У У у Из этих соотношений имеем: а — ау Нх 2 2 ( ду ) 2 2 Л= "—, (а' — о )(Л+ — 1+2о„о =О, "к (а* — о„') (Нт + Мт ) + — ~Их = О; исключая из этих выражений множитель Л, получаем: (ах — о ) у'+ 2окоуУ + (а' — о„) = О, У'= кх, (2.9) ак — о2 а2' у У у(ак „2) Из первого уравнения этой системы следует, что через каждую точку плоскости х, у проходят две характеристические линии, определяемые уравнениями ду1 — охоУ + а )/ о' — а' (.—.(,= = / =й1= з х (2.10) — и оу — а 1' о2 — а2 (.—.) = '= л — !=У,= их (2.11) Согласно второму уравнению системы (2.9), учитывая, что дв дв дх х' УУ ду У' вдоль характеристики (2.10) будем иметь соотношение: ( — о о + а )Г о' — а* ) Ж„+ (а' — о„) до + + а'о — охи'„+ а о' — ао г(х = ~, у ах — ох (2.12) а вдоль характеристики (2.11) получим: ( — ох о — а р и' — а')г(о„+ (а' — о„) гЬ + аооу — о,оу — а 1 оУ вЂ” ао у а2 — о У (2.13) Уравнения характеристик (2.10) и (2.11) осесимметричного движения газа в плоскости течения совпадают с соответствующими характеристиками плоскопараллельного течения газа, рассмотренного в главе И.
Условия (2.12) и (2.13) вдоль этих характеристик отличаются от соответствующих условий для плоскопараллельного течения наличием последнего члена. Характеристики действительны при сверхзвуковом течении газа, и, следовательно, уравнение (2.5) гиперболического типа при о ) а, т.
е. в сверхзвуковой области течения, и эллиптического типа при о ( а, т. е. в дозвуковой области. Уравнения (2.12) и (2.13) называются уравнениями характеристик в плоскости годографа— плоскости прямоугольных координат скоростей о, о . Докяза- тельство того, что всякое решение задачи осесимметричного сверхзвукового движения газа, найденное с помощью характеристик, является решением основного решения (2.5), совершенно аналогично доказательству в случае плоскопараллельного движения, и поэтому мы его опускаем. Методы определения параметров осесимметричного течения с помощью характеристик тождественны методам определения с их помощью плоскопараллельного течения, подробно разобранным в предыдущей главе.
Некоторое усложнение вносит последний член в уравнениях (2.12) и (2.13). В частности, наличие последнего члена не позволяет интегрировать эти уравнения в конечном виде. Применение характеристик при сверхзвуковом осесимметричном движении мы рассмотрим на конкретных примерах. Введем угол Маха а и полярные координаты О, Ь в плоскости годографа, где Π— модуль скорости, Ь вЂ” угол, образованный вектором скорости с горизонтальной осью О„. Очевидны соотношения, вытекающие из определения: з(па= —, сова= — "ΠΠ— а, з)п)Ь= —, созЬ= —. а 1 Г у 1 ° ° Оу ОО О О О О Тогда уравнения характеристик (2.10) и (2.11) в этих обозначениях примут соответственно вид: — „= 1й(Ь вЂ” а), ду (2.14) — „= 1д(Ь+ а).
(2. 15~ Уравнения (2.12) и (2.13) в полярных координатах запишутся в форме: (2.16~ УЬ 8!О О мл Жх (2. 17у Перейдем к выводу уравнений характеристик неизоэнтропического (вихревого) осесимметричного движения газа. Как уже отмечалось в главе Ч1, такой случай имеет место при обтекании тел вращения сверхзвуковым однородным потоком, когда впереди тела образуется криволинейная поверхность ударной волны. В этом случае интенсивность ударной волны в различных ее точках неодинакова, и поэтому на линиях тока энтро- дох 1до» доу'~ доу а оу +(а' — о ) — = —— у ду у (2.18) /дох доу~ ду У (,ду дх) дх /до доу~ ду — о ( —" — — ~) — Т вЂ” =О. " 1,ду дх! ду Задача Коши для системы (2.18) ставится так.
На некоторой линни Ь в плоскости х, у заданы значения искомых параметров движения газа; требуется найти значения этих параметров в окрестности линии Е. Выше было показано, что для решения уравнения второго порядка (2.5) (задача Коши) нужно было находить производные второго и выше порядков искомой функции. В нашем случае системы трех уравнений (2.18) первого порядка решение задачи сводится к нахождению первых и всех высших порядков производных от искомых функций.
Это становится очевидным, если искать решение в виде ряда Тейлора. Вдоль линии Е, как и любой другой линии, имеют место следующие соотношения, связывающие значения производных искомых функций со значениями самих функций вдоль этой линии: до„дх„, — г(х + 1 .'Ф =.'г(о„, дх ду ° до доу дх ° ду У' — г(х+ — ду = г(о, (2.19) дх — 'ах+ — Ду = Ыз. ду дх ду. Линии Ь называются характеристикой совокупности уравнен (2.18) и (2.19), если задача Коши для этих уравнений не име однозначного решения.
Условием неоднозначности решения эт системы является обращение в нуль ее определителя и вс других определителей, полученных заменой различных его стол цов столбцом правых частей уравнений. Равенство нулю опр делителя системы (2.18), (2.19) дает: пня частиц газа за ударной волной, вообще говоря, будет раз.
.личной. За исходные уравнения примем уравнения движения и ие .разрывности в форме (2.3): ах — о — оо — оо а — о 0 0 2 3 ху ху У 0 оу оу 0 Т 0 0 — о, о 0 0 — Т дх ду 0 0 0 0 0 0 йх йу 0 0 0 0 0 0 дх ду = 0; (2.20) вычисляя его разложением по двум последним столбцам, получим: Т(о йх — ох(у) ((а' — оо )ау'+ 2о о„Ыхду+ (а' — о~)Ых'] = О. Приравняв нулю квадратные скобки, мы опять придем к уравнениям характеристик (2.10) и (2.11). Приравняв нулю круглые скобки, получим дифференциальное уравнение линий тока оуНх — о с(у,=О, которые являются третьим семейством характеристик (всегда действительных).
Мы убеждаемся, таким образом, что и для неизоэнтропического течения характеристики будут действительными только для сверхзвуковых течений. Чтобы получить условия вдоль этих характеристик (условие совместности), достаточно в определителях (2.20) заменить какой-нибудь столбец правыми частями уравнений (2.18) и (2.19). Сделаем такую замену в первом столбце: а~чу а — о 2 У 0 0 — о о х у — о о У вЂ” о У а'у 0 0 ах После вычисления этого определителя путем разложения по по- следним двум столбцам получим: (о Нх — о Ну) ~(а2 — оо ) с(о ду + (аэ — о ) Но Нх+ + — «ахау~=-Тамаду[(ах — о~)ду+охо Нх1.
(221) ззз 0 Нох Нз 0 0 ~( у 0 — Т 0 0 — Т 0 0 0 0 Дх ау Вдоль линии тока (о„п'у = о Нх) это выражение дает: Т сР г) уэ г( з = 0; (2.22) в случае неизоэнтропического осесимметричного течения газа вы- полняются соответственно два условия (характеристики): с(аа —" ~ЫЬ+ — з1писозадз — =О. (2.23) д2 соз ($ ~ а) у Уравнения (2.23) отличаются от уравнений (2.16) и (2.17) для изоэнтропического течения присутствием третьего члена в левой части. Как показано выше, уравнения характеристик для осесимметричного движения газа в плоскости х, у в случае изоэнтропнческого и неизоэнтропического движения газа одни и те же, онн совпадают с уравнениями характеристик для плоскопараллельного движения и выражаются формулами (2.10), (2.11) или тождественными им формулами (2.22). Условия вдоль этих характеристик в случае неизоэнтропического плоскопараллельного движения получим из (2.21) или (2.23) путем отбрасывания в этих уравнениях члена, учитывающего эффект осевой симметрии.
В результате получим (и дх о Ыу) ~~аз о~~ ) Но Ну+ (аэ оо ) йо йх = Тг(зйц ~(аэ — о„) ду+ и о Нх ~ . (2.24) с1яа — ~ дЬ+ —, ейпасозайз = О. Й~ Т й (2.25) откуда следует, что дз = О, т. е. вдоль линии тока поток изоэнтропичен. Это является исходным предположением и, таким образом, вдоль линии тока мы никаких новых соотношений не получаем. Условие (2.21) имеет место вдоль двух других характеристик, которые, как было показано, определяются уравнениями (2.10) и (2.11). Вдоль каждой характеристики в плоскости х, у формула (2.21) определит соответствующее условие, если в ней дифференциалы и'х и ду будут подчинены дифференциальным уравнениям (2.10) и (2.11) соответствующих характеристик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
