Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Параметры течения, определенные с помощью характеристик, по основной теореме будут удовлетворять основным уравнениям осесимметричного сверхзвукового движения газа, т. е. уравнениям (2.18). Переходя к полярным координатам в уравнении (2.21) и используя (2.14) и (2.15), получим, что вдоль характеристик Так как характеристики осесимметричных течений газа в плоскости х, у тождественны с характеристиками плоскопараллельного течения, то очевидно, что свойства этих характеристик: плоскости течения также одни и те же. Например, в меридианной плоскости осесимметричного движения линия тока является биссектрисой угла, образованного двумя характеристиками, проходящими через данную точку, а проекция вектора скорости на нормаль к характеристике равна скорости звука в данной точке.
Этими свойствами мы уже пользовались при составлении уравнений характеристик в полярных координатах. Заметим еще, что характеристики, согласно сказанному в главе 11, совпадают с поверхностями распространения малых возмущений. Докажем это утверждение для рассматриваемого здесь установившегося течения. Согласно формуле (8.27) главы 11, поверхность слабого разрыва в этом случае будет удовлетворять дифференциальному уравнению Отсюда следует, что ! о„~ = а, (2.26) где п — нормаль к поверхности разрыва, проходящей через рассматриваемую точку.
Но как раз этим свойством обладают и характеристические поверхности, проходящие через рассматриваемую точку. В установившемся потоке неподвижные в пространстве поверхности слабого разрыва называются поверхностями установившихся звуковых волн. В случае плоскопараллельного течения и течения с осевой симметрией в меридианной плоскости эти поверхности переходят в линии, называемые линиями Маха.
Условие (2.26) может быть выполнено только при сверхзвуковом течении (о ) а). Таким образом, линии Маха так же, как характеристики, могут существовать только в сверхзвуковых установившихся потоках. Вводя в рассмотрение угол Маха з и угол вектора скорости 9, с помощью условия (2.26) нетрудно получить уравнения линий Маха, совпадающие с уравнениями (2.22). Таким образом, мы показали тождественность характеристик уравнений движения газа в плоскости х, у н линий Маха в этой плоскости.
Как и в линейной теории, линии Маха являются огибающими (границамн) области влияния возмущений, проведенными в сторону течения и исходящими из данной точки. Но в отличие от линейной теории, линии Маха, вообще говоря, будут кривыми. Это можно показать так же, как в линейном случае, основываясь на том, что малые возмущения распространяются со скоростью звука, которая теперь переменив. ф 3. Метод характеристик для решения задач осесимметричного сверхзвукового вихревого течения газа Приведем уравнения характеристик, полученные в предыдущем параграфе. Вдоль линии тока „ = 1ц Ь имеем условие пооу стоянства энтропии: (3.1) и вдоль характеристик еУ = (й (Ь ~ а), (3.2) совпадающих с линиями Маха, условия, называемые уравнения- мн характеристик в плоскости годографа: с1н а — -~ с( Ь + — в(п а сов а с( з — — = О .
(3.3) ои т 51о я ввв Э ох о о' сов (Э т- а) у Уравнение (3.3) легко преобразовать к виду, в котором фнгурн- руют компоненты скорости по осям х, у в меридианной плос- кости. Из очевидных соотношений о* = ив + ов, о„= осовЭ, о = ов(пЬ получим: йо Ии»сова+Иихв!оЭ аЬ оиу Ни„сова+Ииуаоа и и ' осовз и Уже было отмечено, что метод построения решения задачи осеснмметрнчного нзоэнтропнческого течення газа с помощью характернстнк аналогичен соответствующему методу прн плоско- параллельном движении газа.
Следует, однако, заметить, что прн осеснмметрнчном движении газа, как следует нз уравнений характеристик (2.16), (2.1?) н (2.23), вблизи осн имеется особенность, которая требует дополнительного анализа этнх уравненнй. Кроме того, этн уравнения в плоскости годографа не ннтегрнруются в конечном виде, как это имело место в случае плоско- параллельного движения. В следующем параграфе мы ограничимся изложением метода построения осеснмметрнчного сверхзвукового нензоэнтропнческого течения газа, который, как частный случай, охватывает н нзоэнтропнческое течение.
Для изложения метода мы несколько преобразуем уравнения характеристик (2,23) в плоскости годографа. Вдоль характеристик (3.2) будем иметь пх = сов(Ь ~ а) Н1, й у = з)п (Ь ~ а) д 1, (3.4) где Ж вЂ” дифференциал дуги характеристики. Подставив все эти выражения в уравнение (З.З), после простых преобразований получим: соз(Ь ~ а) Ио„+ з!п(Ь ~ з) ~(о„+ —, Тейп'а сова лзв а ма' мп з Д (3.5) Наконец, вспомнив, что скорость звука калорически совершенно- го газа выражается формулой а' = я 1т Т = й с, (й — 1) Т =- ср (я — 1) Т, соз(Ь ~ «),(о»+ зш(Ь ~ „),(о Г Маан1 Д а(ь 1) ~ ся)~ (3.6) Величину в = — можно назвать безразмерной энтропией. с~ Пусть осесимметричное движение газа представляет собой обтекание сверхзвуковым потоком некоторого тела вращения, при этом ударная волна, образующаяся перед телом, также будет телом вращения с той же осью симметрии.
В меридианной плоскости эта ударная поверхность будет изображаться некоторой линией, которая, вообще говоря, будет криволинейной, но в некоторых частных случаях может быть и прямолинейной. Основные соотношения, связывающие параметры газа до и после скачка, полученные при изучении сверхзвукового плоскопараллельного течения, могут быть получены тем же способом и для ударной волны при осесимметричном движении. Поэтому при осесимметричном движении будут иметь место все уравнения, "олучаемые из этих соотношений.
Например, если поток до скачка Равномерен и направлен по оси симметрии, то, согласно главе Ч1 угол наклона 9 ударной волны в данной точке связан со скоростью набегающего потока о, и компонентами о, о, ~~~рости газа за скачком формулой: ш Ох (3.7) 36Т придем к следующему виду уравнения характеристик в плоско- сти годографа: Из основных соотношений на ударной волне, полученных в главе Ч1, кроме выведенных там уравнений з а — 1 пал оаа = а. — а+ ! о, (3.8) а пх — и /Оа о =(о,— о„)з ° + о,+а й~! — о (3.9) нетрудно получить следующие важные формулы: 2Й впав а — !! .
аа Ра = Ръ ! —, —, ып п~ = — ' . 1Й+! и!папа а+! ~ ' и (3.10) (3.1 1) 2 Мпаа й — ! а+! а1пав + «+! Согласно (2.4), с точностью до константы, которая несущественна (при вычислениях ею можно пренебречь), для энтропии будем ь~.~)(а„.~,в е ~ э,.~) !'~' иметь а = — = 1п~( (3.13) Бернулли, ко.;а Ыр = з у(о и!у — 'о„а'х) за Отношение плотностей определим из уравнения торое имеет место вдоль каждой линии тока иа й р пз — + — = — о =о ('т) ° 2 а †! з 2 Эта формула показывает, что на криволинейной ударной волне энтропия з будет иметь различные значения для различных линий тока, даже при однородном набегающем потоке. На основании первых двух уравнений системы (2.3) нз этого следует, что движение газа за криволинейной ударной волной будет вихревым. Однако, если обтекаемое тело достаточно тонкое, а число Маха невелико, так же, как это имело место в плоскопараллельном течении, нзмененяе энтропии вдоль слабонскривленной ударной волны незначительно, и движение газа за ней можно считать потенциальным.
Для больших чисел Маха изменением энтропии при переходе от одной линии тока к другой пренебрегать нельзя. По определению для функции тока имеем: и фор(аулы (2.4) (полагаем в этой формуле а) =. О). Тогда 1 а' Подставим это выражение 'в формулу для дифференциала функции тока: 1 а С(ф=~ — (Ваа О )~ Е 'У(О ()У О ((Х) ° Очевидно, что вдоль характеристик (3.2) это выражение можно переписать так: 1 5 )Р, !г — 1/ 8 !1~ — 1 ~(8 — 1) — (о — оа)~ е ' оу(со861й(Ь ~ а)— 'гр 28 ~ )1 — 8!и 61 с(х, или после некоторых упрощений: Гра а — 1 / 8 (18 — 1 а„(8 — !) . Со!28 ~ Г а — 1О Оа! ~! Е, Оуа(на (( Х. м~ )~ соа (6~8) (3.14) Если в это выражение по формуле (3.4) ввести длину дуги характеристик, то получим: 1 а г р, ( 8,! ! 8-! са(8 — !) ((ф = ~ — '(о — оа) ° е 8 оугйпасоз26 ((1.
(3.15) Ра В установившемся движении- из условия сохранения энтропии частицы газа следует, что энтропия в потоке постоянна вдоль линий тока и может меняться (например, за криволинейной ударной волной) прн переходе от одной линии тока к другой, т. е. энтропия зависит только от функции ф: 8='Г(ф) . Это можно показать и аналитически.
Умножим первое из соотношений (2;6) на о„, а второе — на о и сложим их. К полученному таким образом уравнению присоединим еще уравнение сохранения энтропии частицы. В результате будем иметь систему о — +о — =О дф дф дк к ду (3.16) да д. о — +о — =О. дк 8 ду 25 Заказ М 888 369 Для существования ненулевых значений о, о„определитель этой системы должен равняться нулю: дф дф дк ду дз дз дк ду Это условие н выражает существование зависимости (3.!6). Напомним формулу (12.10) второй главы, согласно которой ч х го1 ч = ягаб з; — Тйгабз. до„ дик Т дз дк ду ок ду Но энтропия з зависит от к, у через функцию тока, и на осно- вании (2.6) будем иметь: дз дз дф дз р — — — — у — о ду дф ду дф рз Подставив это выражение в правую часть предыдущей формулы и заменив температуру Т через давление и плотность из урав- нения состояния, получим: доз док у Р дк ду с (а — 1) рз дф (3.17» еще раз убеждаемся в том, что при изменении энтропии от одной линии тока к другой течение газа будет вихревым.
Соединим точки А и В, лежащие на разных линиях тока, некоторой гладкой кривой Е. На основании формулы (3.13) будем иметь: ф(х, у) = ~ р и„уды., У Рз (3.!Р) ото Отсюда видно, что если даже теплосодержание (м соответствующее состоянию покоя, постоянно (дгасНз = 0), то только при постоянной энтропии го1ч = 0 и течение будет потенциальным. Выразим значение вихря через параметры потока. Для этого воспользуемся третьим уравнением системы (2.18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
