Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В заключение этого параграфа остановимся на поведении характеристики на оси симметрии течения. Уравнения характеристик (3.6) вихревого движения так же, как уравнения (2.16) и (2.17) изоэнтропического движения, непосредственно на оси симметрии непригодны, так как на этой оси эти уравнения содержат неопределенность типа — . В самом деле, рассмотрим уравнео ния (3.6): соз (Ь ~ а) о о„+ з!п (8 ~ а) с( о„= о 81п а 11 — — Н ( — Д . Г51п за! саха / х у х(х — 1) (,~~,) Первый член в правой части этого уравнения содержит множитель ау а 1 у Отсюда видно, что на оси симметрии у =О, где о„= О, получается неопределенность указанного выше типа. Эту неопределенность раскроем с помощью уравнения неразрывности: др др / дах дар '1 рар +, + р( — + — )+ — =о.
к дх У ду ~ дх ду ! у Применяя к этому уравнению правило Лопиталя для точек оси симметрии, будем иметь: Но ось симметрии является линией тока и вдоль нее о = о,. Тогда очевидно, что вдоль оси симметрии, согласно уравнению Бернулли, получим: дих а' др и " дх р дх или, умножая обе части на о„, (+Ф), =-( —." — "'') = На основании этого имеем: 378 Подставив это предельное значение в приведенные выше уравнения характеристик в плоскости годографа, получим предельную форму этих уравнений: сов (Ь ~ а) Ыо„+ з(п (Ь ~ а) Йо„= сй'а ~ — с1Я'а —" Ж— — —."-" ~-:.)1 для изоэнтропического течения отсюда получим: соз(Ь ~ а)с(о„+ з!п(Ь + я)йи„= — соз'и — Ж.
(3.34) зах ф 4. Изоэнтроиичеение оеесимметричные течения газа Осесимметричное сверхзвуковое сопл о Лаваля. Построение сопла Лаваля для получения равномерного сверхзвукового потока с осевой симмет ней во многом ана- Р логично задаче построения сверхзвукового сопла для плоского потока, рассмотренной в предыдущей главе. В меридианной плоскости х, у нам необходимо знать течение в сопле вплоть до линии А А (рис. 89), причем во всех точках линии А,А скорость должна быть сверхзвуковой. Так как задача заключается в дальнейшем увеличении скорости газа в области, правее линии А,А, то течение будет изоэнтропическим и характеристики в плоскости х, у и о„, о соответственно примут вид: Рис.
89 — = 1я(Ь ~ а), Иф ех а ма~а !Ь сов(Ь ~ а) йо + сйп (Ь ~ а) а~о Х У сов 18~ а) у (4.1) (4.2) Разобьем А,А на ряд мелких участков. Тогда параметры газа в точках пересечения характеристик разных семейств, исходящих из гРаничных точек этих мелких участков, определяются совершенно аналогично случаю плоскопараллельного сопла. Точки пересечения находятся из уравнений характеристик (4.1), написанных в конечных разностях (см.(3.4)), а скорости в этих точках найдутся из уравнений (4.2), также написанных в конечных разностях.
Последние получаются из (3.25) отбрасыванием второго члена в правых частях (энтропия постоянна). Таким способом по заданным скоростям на линии А,А течение определяется 24~ 879 в криволинейном треугольнике А,АВ; стороны А,В и АВ являются характеристиками разных семейств. Напомним, что на оси симметрии необходимо пользоваться характеристиками в форме (3.34).
Дальнейшее течение газа будет зависеть от формы стенок сопла. Стенкам сопел требуется придать такую форму, чтобы начиная от точки В вниз по потоку течение было равномерным. Тогда так же, как и в плоском случае, характеристики, исходящие из точки В плоскости х, у, должны быть прямыми линиями, на которых скорость постоянна по величине и направлению и равна скорости в точке В.
В этой постановке линии тока, выходящие из точек А и А„ которые и необходимо принять за стенки сопла, строятся следующим образом. На характеристике АВ и прямолинейной характеристике ВС параметры потока заданы. Если на АВ и ВС взять достаточное количество близких точек и через эти точки проводить характеристики другого семейства, то с помощью (4.1) и (4.2) разностиым методом так же, как в плоско- параллельном случае, определится поток в некотором криволинейном характеристическом четырехугольнике АВСР.
Но теперь, в отличие от плоскопараллельного сопла, характеристики обоих семейств в этом четырехугольнике будут криволинейными. Имея достаточно густую сетку характеристик в этом четырехугольнике, приступим к построению линии тока, выходящей из точки А, которая должна заменить стенку. Из точки А проводим касательную к стенке до пересечения с первой характеристикой; если такое пересечение происходит не в узлах сетки, то значение скорости в точке пересечения А, определяется интерполяцией по значениям скорости в двух близких узлах, находящихся на этой характеристике. Определив таким образом вектзр скорости, строим новый элемент линии тока, отложив из точки А, малый отрезок в направлении найденной скорости до пересечения со следующей характеристикой.
Этот процесс продолжается до пересечения продолженной таким образом линии тока с прямой ВС. Линия тока, исходящая из точки Ам в силу симметрии, будет зеркальным отображением построенной линии относительно оси х. По заданным значениям скорости в точках участка А,А получим определенную скорость в точке В. Может оказаться, что эта скорость меньше требуемой.
Тогда с помощью сопла можно дальше расширять газ с тем, чтобы получить равномерный поток с заданной скоростью. Построение стенок сопла, позволяющего дальше расширить газ, аналогично построению' соответствующего плоскопараллельного сопла и рассмотрено в предыдущей главе. Обтекание угла осесимметричиым потоком. Рассмотрим осееимметричное тело с осью симметрии х и образующей ОАС.
В точке А имеет место прерывное изменение поперечного сечения (угол). Линии ОА и АС прямые (рис. 90). Этот угол можно представить себе как предельное положение линий ОА и АС, соединенных между собой некоторой выпуклой дугой, когда длина этой дуги стремится к нулю. Поэтому при обтекании сверхзвуковым потоком такого контура в пределе получим пучок характеристик, исходящих из угловой точки А, как это показано на рнс.
90. Крайняя правая характеристика АР соответствует условиям после изменения на. правления потока. Для того чтобы определить поле потока в области между крайними харзктеристиками, рассмотрим характеристику РО другого семейства с уравнением — = (д(Ь вЂ” а). ду нх Вдоль этой характеристики Рис. 90 имеет место уравнение: соз(Ь+ а)г(о„+ з1п(3+ а) Ио = — з †.
(43) При стремлении точки Р вдоль линии АВ к А точка Я движется вдоль АЕ к А, и отрезок РО, уменьшаясь, стремится к нулю. Но, согласно (3.4), для бесконечно малого значения РЦ имеем: соз (з — а) Поэтому при Р-+А член в правой части уравнения (4.3) стре. мится к нулю, и мы имеем: сов(Ь+ а) до„+ з1п(Ь+ а)до„= О. (4.4) Уравнение (4.4) является уравнением характеристики для плоскопараллельного сверхзвукового потока. Следовательно, разрежение в точке А определяется по закону обтекания угла плоско- параллельным потоком.
Вдоль линии тока ОАС изменение направления течения в точке А можно определить из решения той же задачи для плоского случая, приведенного в главе П. Поэтому наклон характеристик АВ, АР и любой другой характеристики АЕ в угловой точке А берется из решения задачи сверхзвукового плоскопараллельного обтекания того же угла. Поток в области ВАО можно рассчитать методом характеристик. Беря точку 5 на характеристике АВ, проводим через эту точку и окрестности точек А и А, происходит по закону расширения плоской струи, рассмотренной в предыдущей главе. Так как параметры газа вдоль АВ (соответственно А,В) известны, то методом, совершенно аналогичным тому, который применялся при определении течения в пучке характеристик выпуклого угла, можно определить течение внутри областей АВВ, и А,ВВ„включая и куски характеристик разных семейств ВВ, и ВВ,.
Далее по значениям параметров газа на участках ВВ, и ВВ, определяется течение в характеристическом четырехугольнике ВВ,В,В,. Следует и здесь обратить внимание на то, что, кроме первых характеристик АВ, А,В, все другие характеристики пучков, в том числе и крайние характеристики АВ, и А,В„будут криволинейными.
Скорость газа в точках А и А, на этих крайних. характеристиках равна скорости о, на свободной границе струи. Для области П имеем следующую задачу. Дано распределение скорости вдоль характеристики АВ„исходящей из точки А свободной поверхности, в которой все параметры, в том числе и вектор скорости, известны (из решения плоской задачи); требуется найти поле скоростей в некоторой области, ограниченной заданной характеристикой и границей струи, а также форму этой границы. На характеристике АВ, возьмем точку а, близкую к точке А, и проведем через нее характеристику второго семейства (как и всегда, в методе характеристик, имеется в виду элемент этой характеристики, совпадающий с элементом касательной к ней в точке а), Так как граница струи есть линия тока, можно заменить элемент этой границы у точки А отрезком в направлении скорости газа о, в этой точке.
Тогда координаты точки М пересечения этого отрезка и характеристики будут известны. Параметры газа в точке М определяются способом, приведенным в пункте 3 $ 3 настоящей главы. Разница лишь в том, что в рассматриваемой здесь задаче изменение энтропии з равно нулю и соответствующие уравнения упрощаются. Далее с помощью характеристики первого семейства, проходящей через точку М, н характеристик второго семейства, проходящих через расположенные близко друг к другу точки на характеристике АВм определяем параметры в соответствующих близких друг к другу точках характеристики ММ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
