Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Согласно этому уравнению, для го1 ч имеем: „де а„— проекция скорости на нормаль к лпиин Е. Если за ли- нию !. взять характеристику, то, в силу свойств характеристик в плоскости течения, из (3.18) получим: в т'=~ ~ ауН1, ! Рд (3.19) где а — скорость звука. Возьмем точку А на линии тока, совпадающей с осью симметрии течения, и будем считать, что для этой линии т =О.
Тогда в однородном сверхзвуковом потоке до криволинейной ударной волны и на ней будем иметь: = — — од у д ро (3.20) Поэтому представляется целесообразным при определении поли скоростей определить также значение функции ф и затем вычислить указанным способом энтропию з. Плотность р, входящую в формулу (3.19), можно вычислить иэ уравнения Бернулли, написанного вдоль линии тока: (3.2! ) где а, — критическое значение скорости, а р, есть плотность за скачком в той точке линии тока, где скорость газа равна нулю. Критическое значение скорости а одно и то же на всех линиях тока (поток до скачка однороден).
для определения значения плотности р (р) заметим, что скорость о и плотность рд непосредственно за скачком связаны между собой интегралом Бернулли: где о, †скорос набегающего потока с плотностью рг Пусть нам известна форма ударной волны, т, е. задана завйснмость угла наклона ударной волны от координаты у: р) = дт(у). Тогда, согласно (3.12), будет известна также зависимость энтропии з от координаты у: з = з(у). Если из этой зависимости координату у исключить с помощью выражения (3.20), то мы получим явное выражение энтропии з в зависимости от функции тока ): з =з(Ф) с другой стороны, плотность р, определяется по формуле (3.!1), Поэтому. р.
И)— (3.22) В 3 е црвчем о, =- вы+ о,, где / 2 Мп~а1 Ь вЂ” ! пил = о! / — — '+ з!п9), и+1 Б!п 6 . 4+1 (3.23) о, =- в сои 6 Выясним, как применяются полученные общие выводы к определению параметров сверхзвукового осесимметрнчного потока. При конкретных расчетах методом характеристик так же, как в случае плоскопараллельного течения, приходится решать ряд элементарных задач. Рассмотрим эти задачи.
(йФ (з Рис. 88 Рис. 88 1. Определение скорости и энтропии в точке пересечения характеристик разных семейетв, выходящих из двух близко расположенных точек, в которых значения скорости н энтропии уже определены. Пусть в меридианной плоскости к, у в двух близких друг к другу точках А и В известны значения скорости и функции тока 4(А) и (~(В) (рис. 85).
Для определенности пусть Ф (В) ) 7 (А). Кроме того, предполагается, что известны' также Функции з()), 'р =' р„(ф) при значепиях ф: () (4 ( )(В) (рис. 86). Требуется определить параметры о, о,, з в точке С, лежащей на пересечении характеристик разных направлений, исходящих из точек А и В. Ф Для решения этой задачи заменим: характеристики конечными разностями. Тогда, согласно уравнениям (3.2), будем иметь 372 (наклоны характеристик, исходящих из точек' А и В, соответственно равны Ь ~ а): У вЂ” Ул = (х — хд ) 1о (Ь вЂ” а) д, Ув = (х — хв) 18 (Э+ а)в, (3,24) с помощью этих уравнений находятся координаты точки С. Функ- цию тока ) в точке С определим с помощью формулы (ЗА9) с учетом того, что зта точка близка к точке А (так же, как к точке В): ф (С) = ) (А) + — Ул пл а 1я, ~ 1я = (с — (я . Ро соз(Э+ а)д(о — о д)+ 81п(Э+ а)д (о — о л) = одз1п ад х (3.25) соз(Э вЂ” а)в(о — о в)+ сйп(Ь вЂ” а)в (о„— о„в) = Гыпав аа = ов з)п' ав — Ыв— вв ь (Й вЂ” 1) са где а(в = 1с — 1в, азл =зс — зл, азв = зс — зв Уравнения (3.25) определяют значения компонент скорости в точке С.
2. Определение скорости и энтропии в Р точке пересечения заданной жесткой границы и характеристики, выходящей из близкой к границе точки, в которой известны скорость и энтропия. Пусть в плоскости х, у точка А лежит вблизи заданной твердой границы (рис. 87) и в ней известны значения о о, з. Кроме этого, пусть известно значение энтропии з, вдоль линии тока, совпадающей с границей.
Требуется определить скорость в точке Х пересечения В одной из характеристик, Риа 87 По найденному значению Р (С) и известной зависимости з (ф) (рис. 86) находим энтропию з(С) в точке С. Теперь, пользуясь близостью точек А, В, С, напишем в конечных разностях уравнения (3.6), которые выполняются вдоль характеристик (3.2) и называются характеристиками в плоскости годографа: выходящих из точки А, с этой границей.
Координата точки В находится нз уравнения одной из характеристик, написанных в конечных разностях, и уравнения границы у = ур(х), например, нз уравнений: у — УА = (д(Ь вЂ” к)А (х — хА), (3,2о) у = уо(х) пр;чем в точке В энтропия известна: з(В) = з,. Компоненты скорости найдутся из соответствующей характеристики в плоскости годографа и условия обтекания границы: сов (Ь -р- а)А (пх — В„А ) + з1п (Ь + а)А (оу — о,1) = Мп ЭА с~у~~ ау 1 = 01 З1П эА ~(А— УА з(э — О (3.27) оу = Уа (х) ох 11 (А (В (А 'х ВА зр ВА 3. Определение скорости и энтропии в точке пересечения элемента свободной границы и характеристики нз точки, близкой к свободной поверхности, в которой значения скорости и энтропии заданы.
Пусть в плоскости х, у в некоторой точке А, лежащей вблизи известного элемента свободной поверхности потока, определены значения компонент скорости и энтропии. Пусть известно еще значение давления р = р, на свободной границе и значение энтропии зх линии тока, совпадающей со свободной границей. Требуется определить скорость в точке, лежащей на пересечении элемента свободной поверхности и характеристики, выходящей из точки А. Эта задача решается аналогично предыдущей. Точка пересечения В характеристики со свободной поверхностью определяется системой уравнений (3.26), где теперь у = у,(х) есть уравнение свободной поверхности.
Скорость в точке пересечения определяется первым уравнением системы (3.27) (уравпением характеристики в плоскости годографа) и уравнением окружности: а л и ох + оу = о~ где модуль скорости о, на свободной поверхности определяется нз интеграла Бернулли вдоль свободной границы, на которой энтропия и давление известны, а, согласно (2.4), известна н плотность р,, т. е.
о, определяется из уравнения: 2 (71 — 1) м 2 4. Нахождение параметров потока газа между характеристикой м ударной волной. Пусть в плоскости х, у известно распределе- 374 1 нне компонент скорости и„ о„ и значение энтропии з вдоль участка АС характеристики, причем точка А лежит на ударной волне н в этой точке известно направление ударной волны, т.
е. угол ~л. Пусть известно также распределение р вдоль характеристики АС. Требуется определить поле скоростей и значение энтропии в некоторой области между характеристикой и ударной волной, построив при этом и форму ударной волны. Эта задача решается по методу, приведенному для аналогичной задачи при плоскопараллельном течении. Для определенности будем считать, что участок АС задан на характеристике (3.2) с наклоном Э вЂ” а, и условимся такие характеристики называть характеристиками первого семейства. Аунг Нанесем на участке АС этой характеристики ряд близких друг к другу ~а+ г точек Аа =А, А„А,, ..., А =-С. а — э з ° ° л— А ю+Ю М 4 Проведем из точки А, характеристику 1 Х Е второго семейства, определяемую углом наклона й + а, до пересечения со скач- У Х ком уплотнения, представленным при- рис.
88 блнженно его касательной в точке А. Координаты точки пересечения найдутся из уравнения характеристики, написанного в конечных разностях, к уравнения касательной к ударной волне: у — ул =(а(в+а)л (х — хл ) у — у„=(д9 (х — х„). (3.28) Обозначим эту точку буквой А„„(рис. 88). Поскольку эта точка лежит на ударной волне, то, согласно формуле (3.20), функция тока в точке А„„ получит значение: = — — о1 У 7 лл'~-1 2 ра '4л ~-~ Лля определения компонент скорости и энтропии в точке А„,, имеем условие вдоль характеристики А, А„,, второго семейства, зго соотношение называется характеристикой второго семейства а плоскости годографа и записывается в конечных разностях так: сов (Ь вЂ” а)л (и — о л ) + а|п (Ь вЂ” а)л (о„— о„л ) = р мпа1 сазах ьзд 1 = Рл з!п ял — Ы „ у„, " а(з — ~)с, ~ (3.29) 375 Вследствие того, что точка лежит на ударной волне,:имеем до- полнительно соотношения: » а О1 ох »" Оу (О1 Ох) 2 /»+1 — О» » а + — ' — о» О1 (3.30) со ~(!»+1 ыпв «1 /1+1) (л+! ып' о л+1) где 9 = агс (д оу Напомним, что при вычислении параметров в точке Ал„в приведенных уравнениях надо полагать !0 = ВЯ .
Система (3.30) является системой двух уравнений. Пользуясь близостью точек А и Алуы эти уравнения можно записать приближенно как линейные уравнения: / 1»ОУ ! о — о =( — ) (о — о У УА ~ »!ох)А х кА (3.31) А (1! ) (Ох ОхА) Производные в правых частях этих уравнений можно вычислить с помощью тех же уравнений (3.30). Они имеют значения.' "1+ охА о» окА 2 2 а, о + — о а+! 1 „— хА (3.32) /Ыо~»! ОУА ОХЯ ~ ) ~ о„)я (У» — 1) савв 6А (в!и ЙЯ вЂ” ып'«,) ( У» — 1 л — 1 в!пв «+ — ыпв 6 ) (в!пв о — — в!и'«) 11пв о 1 2 А )( А 2/» 1) Я УА л+! о» охА ~Я«+! оу ль1 376 Система (3.29) и (3.31).определяет значения их, о, з в точке Ал„.
Наклон ударной волны в точке Ал„определится формулой: Далее, зная значения функций 4з и энтропии з в точке А„„, можно пРодолжить гРафик фУнкции з11а). После опРеДелениЯ параметров газа в тсчхе А„„с помощью характеристик разных семейств, исходящих из точек А, и А„„, находим параметры в точке Ак„пеРесеченнЯ этих хаРактеРистик 1см. Рис. 88!.
Способ определения параметров в точке А„„ изложен в пункте !. Зная параметры в точках А„„ н А„„, только что приведенным методом можно определить все параметры 1в том числе и угол наклона) в точке А,„„ ударной волны и продолжить график з1ф) до значения функции 1з, проходящей через эту точку. Таким ебразом, последовательно решая задачу данного пункта и задачу пункта 1, найдем поле скоростей и значение энтропии в криволинейном треугольнике, одна сторона которого есть участок ударной волны, а две другие стороны составляют участок АС заданнсй характеристики и участок характеристики другого семейства, проходящей через точку С.
В рассмотренных здесь элементарных задачах мы определили поле скоростей и энтропию. Другие параметры: скорость звука, давление и плотность определяются из уравнения Бернулли зз аз . Йр — + — =1, а=— 2 к — 1 и уравнения (2А), которое, например, для точек А и С в первой элементарной задаче запишется так: зо-зА Если скорость набегающего потока не очень большая, так что можно пренебречь изменением энтропии на ударной волне, решение приведенных здесь четырех элементарных зад ч несколько упрощается, поскольку выпадает из рассмотрения одно неизвестное — энтропия и, соответственно, одно уравнение.
Например. в последней задаче для нахождения скорости в точке А„,, необходимо решать систему из двух уравнений: соз19 — а)А 1о„— о А1+ з)п 19 — а!А 1о„— о А! = зз =з!п а — Ы 'Аз А, УА А 1 У УА ~ / 1о )Аз /А к В первой задаче для нахожд ния с помощью характерист к разных семейств параметров газа в точке С 1см. Рис. ч51 достаточно только двух уравнений 11.251, в которых необзз димо в 24 заказ ма ззз 377 правых частях отбросить члены, содержащие энтропию з. Мы здесь опускаем доказательство сходимости приведенных выше методов построения решения с помощью характеристик. Это доказательство можно найти в книге Куранта и Гильберта, указанной в списке литературы к данной главе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
