Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Для этого достаточно показать, что часть ОА кривой ОАВ является характеристикой. Точка А является той точкой, где пересекаются две бесконечно близкие характеристики. Физически это означает, что образование линии разрыва или, так называемой ударной волны, начинается в точке А, где последующая волна нагоняет возникающую впереди поршня звуковую волну.
Прежде чем найти координату А, решим более общую задачу, а именно: найти точку пересечения любых двух характеристик одного семейства, исходящих из двух точек оси О(. Напишем уравнения указанных характеристик: Из (2.2) будем иметь: о,( ) Г 1 к ) 2ао ~ 1 а(и„)/ « — 1 «-1 (1+ ик) Дифференцируя это выражение частным образом по ! и полагая а, 1, = х,, получим: ~ (О)= — о — 1 2 ((1+ О)) д! ~„~ = — а д! ~ Далее да и+1 йи 2 ао и-з (1+и,) ~ Следовательно 2 ао 2 а, «+1 а,(0) ~ «+1 а (О) (2.6) Заметим, что если поршень приобретает мгновенно скорость о„ то, очевидно, о,(0) =, и из (2.6) получим 1 = хо = О, т.
е. ударная волна возникает мгновенно на поверхности поршня. Таким образом, решение (2.2) справедливо внутри ОАС. Действительно, так как на части характеристик ОА заданы и, = и =О, а на оси О! задана скорость и, = о,(1), то в указанной области ОАС можно решить смешанную задачу для уравнения (1.9), которая будет иметь вид (2.2). Так как все частицы, лежащие на отрезке ОА (рис. 44), не испытывают действия ударной волны, то во всей полосе, лежащей левее прямой А,АС„, справедливы уравнения (1.9).
Частицы же, лежащие правее прямой А,АС„ будут испытывать действие ударной волны, поэтому при выводе дифференциальных уравнений движения нельзя пользоваться обратимой адиабатой Пуассона р = р, ~ ! ), ибо при переходе че- ~ Ро / рез ударную волну частица будет менять свою энтропию, причем энтропия различных частиц будет неодинаковой, так как ударная волна, проходящая через различные частицы, в общем случае'имеет разную интенсивность. Ниже мы покажем справедливость этого утверждения. Итак, предполагаем, что в газе возникает ударная волна АВ' (рис. 44). Ударной волной обычно называют движущуюся в газе поверхность разрыва, при переходе через которую физические параметры газа изменяются скачком.
18 заказ о«о«В 281 На рис. 45 показана движущаяся по покоящемуся газу со скоростью Ь(() ударная волна. Пунктирной линией показано то сечение газа, которое достигается ударной волной через время сУ. Крестиками обозначено положение через время й тех частиц, которые в начальный момент лежали на ударной волне АВ. Заметим, что перед ударной волной газ покоится (и, = 0) и параметры его равны р„р„Т,.
За ударной волной и,+ 0 и параметры газа равны р„ р„ Т,. Картийа движения, указанная на Рис. 45 рис. 45, пока что является гипотетической. Если нам удастся показать непротиворечивость ее законам механики и термодинамики (так как в данном случае мы имеем дело только с механическими и термическими явлениями), то реальность образования ударных волн будет доказана. Напишем закон сохранения массы. Очевидно, масса частицы длиной Ьй, лежащая впереди ударной волны, будет (площадь поперечного сечения трубы примем за единицу): Масса той же частицы, когда ударная волна займет положение, указанное пунктиром, очевидно, выразится через р, (Ь вЂ” и,) Ж, следовательно, окончательно имеем: Ь рс = (Ь вЂ” ис) р,.
(2.7) Напишем теорему об изменении количества движения. В начальный момент количество движения рассматриваемой частицы равно нулю, в момент времени с(Г оно, очевидно, будет равно рси,Ыг. Указанная величина равна приращению количества движения частицы, следовательно, она равна импульсу действующих сил (р, — р,) йГ. Окончательно получим: (2.8) Ь ро ис = Р1 — Ро. Напишем теперь закон сохранения энергии. В начальный момент наша частица имела только внутреннюю энергию Ыг х х Р»3с,Т (ее кинетическая энергия равна нулю); через время Ю, когда частица пройдет фронт ударной волны и займет положение А,Во ее энергия, очевидно, равна ЬР о(1 ( — +,Ус Т) . Приращение полной энергии частицы произошло за счет работы сил давления, которые равны р,и,й.
Следовательно, в данном случае закон сохранения энергии даст яо Ь Ро( 2 + )с,(Т вЂ” То)) = Ропе (2.9) Очевидно, кроме уравнений сохранения (2.7) — (2.9), мы имеем уравнение Клапейрона: Из (2.7) получим: Ь = — 'ие Р1 Ро — Ро (2.11) Следовательно, Ро ) Ро — Ро Роро ( Ро 2 - (Ь вЂ” 1НРо Ро) ! Р1 + откуда '' — + Ро — + Ро — 1 2 (А — 1)(ро — Ро) и окончательно Гг+! р, — — — 1 Ро )о — 1 Ро (2.12) Р, Ь+! Р, Ро 283 18» р, = Рдт,.
(2.10) Пользуясь уравнениями (2.7) — (2.10) и соотношением Майера )( = У(с — с,), получим ряд существенных результатов, в частности, йокажем возможность определения всех параметров за ударной волной, если задано какое-либо условие, например, скорость за ударной волной, которая должна определяться из граничных условий на поршне. Соотношение (2.9) на основании (2.8) и (2.10) дает: (ро Ро) — + ЬоРо ( — / = рне ю 1 2 — Р./ к — — 1 Ро (Ро Ро) Ро р Ро Ро (2. 13) Ь+1 где х = —.
Ь-1 ' Из этого уравнения легко можно определить Р', если известна Ро скорость ударной волны; зная Р', определим нз(2.12) отношение Ро Р' . Наконец, зная Р' и Р", можно найти отношение Р'„, которое Ро Ро Ро Р," ' однозначно определяет энтропию. Следовательно, если ударная волна движется с переменной скоростью, то энтропия частиц после прохождения их через ударную волну будет разная. Разрешимость написанных выше уравнений свидетельствует, что наше предположение о существовании ударных волн не противоречит законам механики и термодинамики.
Этим существование ударных волн доказано. Ниже дадим способы их фактического определения. Каждая частица сохраняет свою энтропию, полученную при переходе через нее ударной волны. Из этого вытекает, что для исследования движения газа в области, лежащей правее прямой А,АС (рис.
44), уравнение (1.9) не применимо, когда поршень движется с переменной скоростью, так как при его выводе было Это соотношение называется ударной адиабатой Гюгонио. Оно связывает отношение давлений и плотностей за ударной волной и перед ней. Как видно, при — = — отношение Р' а+1 Рд Ро Ро что означает: при ударных сжатиях плотность газа р, за ударной волной не может превышать плотность газа перед ударной а+1 волной более, чем в — раза.~ Таким образом, плотность воздуха при распространении по нему ударной волны любой интенсивности не может увеличиться более чем в 6 раз от начальной плотности.
В качестве примера можно указать, что даже при взрыве водородной бомбы, несмотря на возникновение давления в миллионы атмосфер, повышение плотности на фронте ударной волны не превосходит указанной величины. В то же время при медленных сжатиях можно получить значительное повышение плотности. Так, например, сушествуют воздушные компрессоры, дающие при постоянной температуре сотни, даже тысячи атмосфер, следовательно, повышающие плотность воздуха в сотни и тысячи раз.
Подставляя в (2.8) и, из (2.11) и р, из (2.12), получим: (2.14) где р, — давление, р„ — плотность на ударной волне, т. е. на линии АВ'. Вообще говоря, р„р, будут различнымидля различных частиц. Итак, выведем дифференциальное уравнение, описывающее движение частиц, прошедших ударную волну, т. е. применимое для области АС,В' (рис.
44). Подставляя в (2.14) выражение р из (1.3) и полученный результат в (1.4), имеем следующее уравнение движения: д'и В этом уравнении свободный член и коэффициент при †, зависят от величин р„р„которые не известны до решения задачи. Фактически уравнение (2.15) содержит две неизвестные функции р, и и, так как р, и р, связаны ударной адиабатой Гюгонио. Несмотря на это обстоятельство, в области АС,В' уравнение (2.15) можно решить методом характеристик. Если ввести обо- значения уравнение (2.15) принимает вид: д'и дзи — = а' — — о. дн дхз (2.17) Легко вывести уравнения характеристик для (2.17) аналогично тому, как это делалось в 9 1: бх = + аЖ, йи, = -~- айи„— зпг. ~ (2.18) Покажем теперь, как решить численным методом указанную задачу.
Для наглядности обратимся к рис. 46, где приведена картина характеристик. Расчет начинаем с деления на несколько частей характеристики АС. Напишем достаточное количество уравнений для опре деления координат точек 21; 22 и параметров потока в них . предположено, что все частицы имеют одинаковую энтропию. ! При выводе (1.9) для давления была использована формула Р=Ро( ) где р„р, для всех частиц газа одинаковые.
Теперь же нам для давления следует пользоваться формулой: В точках 11, 12... характеристики АС известны: ив и, и,следовательно, направления характеристик. Проводим характеристику положительного наклона из точки 12 до пересечения с прямой АС, в точке 22.
Ударную волну из точки А продолжим по направлению, совпадающему с направлением характеристики х =а,1. Проводя из 22 характеристику, параллельную А — 12, получим координаты точки 21. Таким образом, координаты точек 21 и 22 найдены. Найдем теперь значения и„ и, Ь„, рсм р„ в них. Так как точка 21 лежит на ударной волне, имеем: Рм » — — 1 Ра1 Ро Рс» Рм Ро Р,Ь„иРм = р- — р., (2.19) Рзс Ь„= ' и„,. Рм Ро Так как на линии АС, 8 = О, из уравнения характеристик получаем: и„, — ии, = а„(и„м — и„,), и„,— исм = — а»»(и м — и „), р, = р„(1+ и„,), иач — и„= а„(и, — и,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
