Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Р Ро Ро (1.5) В начальный момент ро, Ро одинаковы для всех частиц, поэтому константа в (1.5) одна и та же для всей области течения. Из (1.3) н (1.5) получим: Ро В 1-и 1" (1.6) папан папаьое оаепт и = в= О; и(х, у, г, г) = и(х, 1). паоапьнее паижение папьанп Подставляя это соотношение в-(1.4), будем иметь: дои кро 1 дои (1.7) д(о ро (1+ак)око дхо Введем обозначения: аз о (1 ( а )коо а'=— хро о ро (1.8) Как было указано в главе П1, ао — скорость звука в невозму- щенном газе.
Скорость звука в возмущенном газе э/ ор ао а — ! р (1+ ак) 2 с+ а. Итак, уравнение движения газа имеет вид: да о доа (1.9) Чтобы определить движение газа за поршнем, необходимо интег- рировать (1.9) при условиях: и„(х, 0) = 0; и,(х, 0) = 0 (начальные условия), ио(0» 1) = оо(1) (граничные условия). Уравнение (1.9) является нелинейным уравнением гиперболического типа. Очевидно, что граничное условие и,(0, 1) = оо(1) означает совпадение скорости частицы газа со скоростью поршня, когда частица находится на поршне. Покажем, что в плоскости х, 1 имеются два направления, называемые характеристическими, вдоль которых существует линейная зависимость между полными дифференциалами первых производных искомой функции. В самом деле, при произвольных 1(х, й имеем: Ыи, = ии й + и1„о(х, Ыик = иы й + и„„г(х.
Так как мы ищем такую связь между о(и, и дик, которая удов- летворяла бы уравнению движения (1.9), то, полагая 1(х = Лй, из .(1.11) получим: о(и1 — — (а'и, + Лирк) й, йик = ( иы + Ли„„) й. Между Нии аи, будет существовать линейная связь если а'и„, + Лис = А (и с+ Ли„„), откуда А=), АЛ= а' или Таким образом, существуют два направления: ах — „, = Ль,=+а, (1.12) Рис, 37 вдоль которых имеет место соотношение: ди,= Ааи„= ~ахи, (1.13) ии Ж+ и, йх = ~ а (и~ й + и„ах]; если далее положить Нх= + ай, то В ии — — а и„,.
270 Обычно в математической физике линии, на которых выполняются соотношения вида (1.12), называются характеристиками, а (1.13), соответственно, условиями на характеристиках. Мы вывели (1.12) и (1.!3) в предположении, что вторые производные удовлетворяют дифференциальному уравнению (1.9). Покажем теперь, что, если выполняются (!.13) вдоль характеристик (1.12), то дифференциальное уравнение (1.9) также будет удовлетворено. В самом деле, подставляя в (1.13) выражения аи, и аи„, получим Таким образом, если найдем и,, и„из (1.13) при соблюдении (1.12), то они будут удовлетворять дифференциальному уравнению движения (1.9).
Этот факт мы назовем теоремой эквивалентности, т. е. решение уравнений характеристик эквивалентно решению дифференциального уравнения. Дадим теперь геометрическую интерпретацию полученным результатам. В плоскости и, и, (1.13) дает две системы кривых (рис. 37). Если функцию и(х, г) считать известной, то (1.12) также являются дифференциальными уравнениями в плоскости х, 1 (см. рис.
37), и мы в этой плоскости имеем два семейства интеграль- а) ° Рас ЗВ ных кривых. Так как при Ых = +а пг' имеет место равенство ои, = = + ахи„, то это означает, что точки характеристик в плоскости х, 1 будут соответствовать точкам соответствующих характеристик в плоскости и„, и,. Следовательно, точки пересечения характеристик в плоскостях х, 1 и и„, и, будут соответствовать друг другу. Найти решение системы (1.12) и (1.13), значит, установить соответствие между точками пересечения характеристик в плоскости х, 1 и и„, ис Этот факт мы называем теоремой соответствия. Теорема соответствия позволяет решать любые краевые задачи для дифференциального уравнения (1.9) или, что то же самое, для системы (1.12) и (1.13).
Напомним еще раз, что при решении задач методом характеристик надо пользоваться теоремой соответствия, т. е. тем, что точки пересечения характеристик (1.12) плоскости х, 1 должны соответствовать точкам пересечения характеристик в плоскости и,, ис Возвратимся к задаче о движении газа за поршнем. Покажем непосредственно, что решение этой механической задачи сводится к решению двух математических задач. В самом деле, начальные Условия дают так называемую задачу Коши. Вообще задачей 271 Коши называется задача нахождения решения гиперболического уравнения второго порядка [в нашем случае (1.9)1, если заданы первые производные на некоторой кривой в плоскости независимых переменных х, 1, не являющейся характеристикой.
В нашем случае заданы первые производные и = и, = О на оси Ох, которая не является характеристикой. Напишем уравнение характеристик в плоскости и, и,. На основании (1.8) из (1.13) получаем: итак, и,= ф(и )+С, = ' ~ 1 — «,1 + С (вдоль й! (1+и„) з ~ характеристики !(х = а Й), (1.14) — 2ао и,= — ф(и„)+С, =— 7! — 1 характеристики !(х = — а Й). 1 — , + С, (вдоль 1 (! + и,) Теперь для наглядности обратимся к рис. 38. Прежде всего заметим, что в (1.!4) С, = С, = О, зто вытекает из начальных условий: и„ = и, = О на отрицательной половине оси Ох. Таким образом, любым характеристикам, исходящим из точек отрицательной полуоси Ох, будет соответствовать характеристика, исходящая из начала координат в плоскости и,, и,. Рассмотрим произвольную характеристику (1 — 3) в плоскости х, !.
Этой характеристике соответствует характеристика и = = ф ( и, ). Аналогично, произвольной характеристике 2 — 3 в плоскости х, ! будет соответствовать характеристика и! = — ф ( и„) в плоскости и,, ис По теореме соответствия точке 3 пересечения характеристик 1 — 3 и 2 — 3 плоскости х, 1 будет соответствовать начало координат плоскости и„, и,. Так как точки 1 и 2 были взяты произвольные,то полученный результат означает, что в любой точке плоскости х, 1, являющейся точкой пересечения характеристик, исходящих из точек отрицательной полуоси Ох, скорости и деформации будут равны нулю, и а = ав = сопз!.
Следовательно, в втой области все характеристики являются прямыми; очевидно, их уравнения имеют вид: х = а!!1+ С, х = — ао!+Сх 272 (1.16) х = — а(и ) [1 — Я. Во всей области, лежащей между характеристикой х = — — аз( и осью 01, имеет место интеграл 2,.ы[( 1 ] (и + !) (1.17) Граничное условие на оси 01 запишется в виде: и, = оо(1о).
(1.18) Определяя 1 из (1.16) и подставляя его в (1.18), получим: х и!=из[7+ — ~ ° а(и,) / ' (1.19) !9 заказ м бм 273 Границей области, где справедливо полученное тривиальное решение задачи, очевидно, является прямая х = — а,!1. Этот результат имеет простой физический смысл, а именно; возникающие на х поршне возмущения достигают через время 1= — — частицу с ац координатой х (напоминаем, что х СО). Иначе говоря, возмущение распространяется со скоростью а,.
Таким образом, начальные условия переносятся на характеристику х = — а,( и мы фактически освобождаемся от их удовлетворения. Граничное условие и, = оо(1) теперь дополняется условием на характеристике х = — ао1; и = и, = О. Указанная задача называется смешанной задачей для гиперболического уравнения, так как граничные условия задаются как на характеристике х = — ао( так и на не характеристической прямой х = О. Пользуясь теоремой соответствия, легко решить полученную смешанную задачу. Для этого рассмотрим характеристику 4 — б. Так как в точке б задана скорость и, = о„в плоскости и„, и, легко находим соответствующую точку 6' как точку на кривой и,=[! (и ) с ординатой и, = о,(1).
Легко доказать, пользуясь теоремой соответствия, что любая точка 7 характеристики б — 7 плоскости х, 1 также отобразится в точку б' плоскости и, и,. Следовательно, вдоль любой характеристики б — 7 как скорости, так и деформации постоянны. Из этого факта вытекает, что любая характеристика с отрицательным наклоном, исходящая из точек оси Ой будет прямой. Доказанное положение позволяет свести задачу об определении и„, и, как функций х, 1 к решению системы трансцендентных уравнений. В самом деле, вводя параметр 1, — координату точки оси Ой можно написать уравнение характеристики, исходящей из этой точки Из УРавнений (1.17) и (1.19) можно опРеделить ио, иг как Функ цию х, 1.
В общем случае решить (1.17) и (1.19) эффективно не удается, но в этом нет необходимости. Можно получить ряд выводов без конкретного решения указанных уравнений. Вместо уравнений (1.17) и (1.19) можно пользоваться картиной показанной на рнс. 38. Рассмотрим случай, когда оо(1) имеет вид, укаэанный на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
