Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 30
Текст из файла (страница 30)
/! Тйз = дд + й, = й + рН ( — ~ . /1! (2.22) Здесь й, — элементарная работа сил внутреннего трения. Определив нз последнего уравнения о(7 и подставив его в уравнение энергии (2.21), получим так называемое обоб1ценное уравнение Еернуллио ийь+ — 1(Р+ йт + йе = О. 1 (2.23) Р э меняя 12,18). 12* !87 Здесь и',з — изменение энтропии за счет притока ее извне, а ! и,з — возникновение энтропии за счет необратимых процессов (вязкости, теплопроводности). В одномерной стационарной задаче необратимость прн теплообмене в газе не учитывается, необратимым является лишь процесс внутреннего трения, причем силы .рения создают только один необратимый эффект, поэтому Тй18 = й„и мы имеем: ф 3.
Условия обраи)ения воздействий Рассмотрим движение газа по каналу прн произвольном виде уравнения состояния. Продифференцировав калорическое уравнение состояния: Р=Р(Р з) (3.1) будем иметь йР = ~д ) йР+ (д ) з ~ Р+ (дз) 1др) используя далее дифференциальное уравнение состояния %,('-'),(В).=-' получим: йР =а [йр — (а ) йз~ = а ~йр — (ат ) йз ~ ' (3'2) так как (й),=~ — "),%),= Ж),г Подставляя в (3.2) выражение йр из уравнения Бернулли (2.23), с(р из уравнения неразрывности (2.16) и аз из уравнения Гиббса, получим: +~! (др) (3.3) 188 где М '= — ".
Обращает на себя внимание, что знаки коэффиа' циентов при геометрическом воздействии (аА) и при механическом воздействии (й1,) не зависят от уравнения состояния, в то время как знаки коэффициентов при тепловом воздействии Щ) ипри воздействии трения (а1,) зависят от физических свойств газа. Известно, что для большинства сред ~ — ) < О, но имеются гдр1 (дТ) также и среды, для которых ~ — ~) )О.
Из уравнения (3.3) ~,дТ ~ можно сделать следующие заключейия: 1. Если М < 1, знак йи противоположен знаку суммарного элементарного воздействия для скорости й~„, т. е. при дозвуко- Мы использовали здесь дифференциальное уравнение состояния Далее, так как др) дГР,Т1 дГР, Т) д ГР г) дГР, г) ( др г д(р,Т1 д(р,г) д(р,г) д(р,Т1 то (т =(— ' ') ~ар — 4 (р~.
(Мг 1) 41Т Гй 11 Р М дл ГГг 11 Р д1г + Т (др) А (др) аг Здесь только коэффициент при г(д не содержит частную производную ( †) при переходе через число М == онменяетзнак. Гдр1 1 уа Отметим, что условие непрерывности перехода через скорость звука сводится к равенству нулю при М = 1 всех элементарных СуММарНЫХ ВОЗдЕйСтВИй СЬ„ = г(г = г(гр = г(г, = О, т.
Е. ИЗ ОДНО- го условия, например, из г(г„ = О, следуют другие. Для выяснения характера изменения скорости давления, плотности и температуры вводятся безразмерные величины 190 Умножая последнее выражение на (М вЂ” 1) — и используя усг 1 Т ловие обращения воздействий для скорости (3.3), получим: которые представляют собой отношения правых частей соотзетствующнх уравнений обращения воздействий.
Если процесс такой, что можно принять и!и р йа п = — = — Р = сопз1, а!и р аа то — = и — легко интегрируется: ер ер Р ' Р р = сопз( р" — полнтропнческнй процесс. Напишем уравнения обращения воздействий для калорнческн совершенного газа, для которого термическое уравнение состояння имеет внд: (3.8) р=РТ н внутренняя энергия: (3.9) е=е,Т, где теплоемкость прн постоянном объеме е, постоянна. Частная производная н уравнения обращения воздействий примут внд:а Еи ЕА Щт й — 1 й (М' — 1) — = — — — — — (д — — а, и А аз аз а' (М вЂ” 1) — = — — — + — Ж, + ар Риз аА Р (й — 1)Р з М Ад+ (3.10) (М вЂ” 1) — = — М' — А + — зс(1т+ — зс(9+ —, а1„ Ир заА 1 й — ! й (М' — 1) — = — М'(И вЂ” 1) — + —,Ы, + — т-(йма — 1)Др+ +:, М'Ы1,' * Расходное воздействие мы не рассматриваем.
191 ф 4. Интегралы основных уравнений течения газа Уравнение энергии в дифференциальной форме с(с = й + О((, = й + Н вЂ” + Ж,. 2 Уравнение энергии для течения газа между начальным (1) н текущим сечениями можно представить в виде". иО ии С =-1 — ( + — — — +1 =( — 1 +1 ! 1 2 2 Π— О ОО О (4.
1) Прн адиабатическом процессе для течения в трубе с неподвижными стенками (йВ =0 и и(, = 0) имеем: (4.2) отсюда ий 1О 1+ 2 = соп51. (4. 2') Поэтому величину 1, называют энтальпией адиабатнческого торможения илн полной энтальпией, поскольку эта величина равна энтальпии адиабатически заторможенного газа. Для калорически совершенного газа е иО 1 — с Т =сТ+— О Р О Р (4.3) величина Т, называется температурой адиабатического торможения или температурой торможения. Температура торможения Т, =Т((+ — ).
Уравнение Гиббса для калорнчески совершенного газа примет вид: Таз = не+ рпо = Ж вЂ” ойр = ср йТ вЂ” — ор. (4.4) 1 ь а ст «р л а — 1т р' 192 Деля уравнение (4.4) на ЙТ и используя термическое уравнение состояния р = рРТ и уравнение Майера са — с = ~, получим выражение: интегрирование которого дает: » з — з,=Р1п~~г ) ~'~=с,~!пн( — ) ~.
(4.5) Отсюда получим калорическое уравнение состояния для калори- чески совершенного газа: — =е'( — „) =е '(р), илн р = Р,', е ' р' = А(з)р'. Р', (4.б) Если процесс изоэнтропический 1Ь = О, то из калорического уравнения получим уравнение изоэнтропы — адиабату Пуассона (4.7) Квадрат скорости звука для калорически совершенного газа а' = ( — Р) =ФА(з)р» ' =йрс =айТ.
х »др! (4.8) (др), Так как орет» а 7'= — = — Вт=— Р Я Д вЂ” 1 » — 1 то температуру торможения можно представить в виде: т,=-т (1+":2'М'); (4.9) умножая обе части последнего выражения на — „получим: »х Ь вЂ” 1" 1, а' со о о — й+ — = — = и 2» — 1» — 1 ~хх (4.10) где а,— скорость звука в адиабатически заторможенном газе, а и,х =-ао ~, скорость газа, которая может быть достигну- Г 2 ххх — о ~/» ! 193 Отсюда следует, что скорость звука для калорически совершенного газа есть функция только температуры.
(4.11) Введем теперь давление и плотность изоэнтропического жения. Давление изоэнтропического торможения тормо! (4.12) плотность изоэнтропического торможения ! ь — ! Ро Р( ) (4.13) н Ро = Ро! = адиабатичесторможения, ( Очевидно, что условие постоянства р, = р„=- сопз1 = сопз1 будет иметь место для изоэнтропйческого кого процесса (!(!) = 0 и !(з = 0). Если в уравнении (4.5) перейти к параметрам то получим: з ! з †! Ф вЂ ! з з Р(п[( ! ) ~оъ~ )Цп[( о ) Рм!~ (4 14) При адиабатическом течении Т, = Т„и з > з„поэтому р„> р0 и Р0! > Р,. Таким образом, возрастание энтропии при адиабатическом процессе приводит к падению давления и плотности изоэнтропнческого торможения.
Рассмотрим теперь уравнение Бернулли (2.23): Р + ш(и + !(1, + Ж, = О, та, если вся тепловая энергия молекул превращается в кинетическую при адиабатическом процессе. Скорость и имеет главным образом теоретическое значение. Представляет еще интерес одна характерная скорость. Предположим, что в начальном сечении трубы скорость газа именыпе скорости звука а. При адиабатическом процессе, если скорость и растет, то, как видно из уравнения (4.10), скорость звука а падает (температура падает), пока в некотором сечении и и а не станут равными, т.
е. скорость газа станет равна местной скорости звука. Скорость, при которой это произойдет, называют критической скоростью звука и обозначают а,. Если в уравнении (4.10) и = а= а„„то Уравнение Бернулли для неадиабатического течения без учета трения в трубе постоянного сечения легко интегрируется. В этом случае ри = сопз1, поэтому Нр+ риг(и = Нр+ сопз1ди = 0; интегрируя последнее выражение, будем иметь р + ри' = сопз(. (4.19) Это уравнение справедливо при любом уравнении состояния.
ф 6. Изоэнтропичесное адиабатичесное течение газа в трубе переменного сечении. Ударнте волнт — + (51) 2ииТ (!+Ь вЂ” !~~ ! 2 !+а — ! М2 А+! ! 2 / 2 М'=а+! (5.2) йг! Для адиабатического течения, когда Т, = сопз(, скорость а„ постоянна для любого сечения и поэтому приведенная скорость Л с точностью до постоянного масштаба есть скорость течения. Для изоэнтропического аднабатического течения в трубе переменного сечения с неподвижными стенками (изолнрованное геометрическое воздействие) имеем: То = Тм Ро= Ра! Ро = Ран Выразим Т, р, р, и и А через число М. Уравнение энергии Т, = Та! дает (5 3) т(1+ — М )=Т,(1+ — М~, (5.4) отсюда Т 2 !+: М, ~1 !+ !Ма 2 !96 Обычно целесообразно иметь дело с безразмерными величинами.
Для скорости газа вводят либо число М = — (отношение Ю скорости газа к местной скорости звука), либо приведенную скорость Л = — „(отношение скорости газа к критической скорости). Легко найти связь между Л и М: Л'— (5.5) (5.6) Далее, из уравнения энергии Т, = Т„следует, что а, постоянно, поэтому 1 1+ ~ — 1М' 2 и Л М 2 (5.7) 1+" — ' М 2 Используя уравнение неразрывности, имеем и+! А р~и~ М~ 1+:М~ д — 1 а 2~» — 1! 1 а — 1М* 2 (5.8) Задаваясь значениями параметров в сечении 1 и зависимостью А (х), определим по формуле (5.8) М (х), а затем по формулам (5.4), (5.5), (5.6) и (5.7) функции Т (х), р (х), р (х) и и (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
