Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Р— Ро роио 2 Подставив сюда значения л, и п„после простых преобразований получим: (9.1) При М = эта формула дает: Существующие приближенные методы теории обтекания тупых тел с очень большими сверхзвуковыми скоростями так или иначе связаны с теорией Ньютона. Согласно этой теории газ, обтекающий тело, состоит из невзаимодействующих между собой частиц. По теории Ньютона при встрече частиц газа с поверхностью тела происходит неупругое столкновение,,при котором изменяется нормальная составляющая скорости частиц. Пусть а — угол между поверхностью тела в данной точке и 415 направлением набегающего потока.
Масса частиц, сталкиваю. щихся с единицей площади поверхности в этой точке в единицу времени, равна; Р,из!и.. Изменение количества движения этой массы при столкновении с поверхностью тела в направлении нормали к ней равно давлению газа в рассматриваемой точке тела: р = Р,У'з)п'а. (9.2) Это и есть формула Ньютона. Из этой формулы следует, что только головная часть испытывает давление. Граница передней части тела, которая испытывает столкновение с частицами, определяется условием а = О. Остальная часть тела находится в его «аэродинамической тени» и, согласно теории Ньютона, давление на поверхности этой части тела равно нулю. Но на самом деле, на этом участке поверхности имеет место обтекание тела. Теория Ньютона не позволяет учесть также пространственный характер обтекания тел.
Например, давления, производимые газом, движущимся с некоторой скоростью О, на клин и конус с одинаковым углом раствора по этой теории оказываются равными. Гипотеза Ньютона о природе газа, на основе которой получена формула для давления (9.2), не отражает действительные свойства газов. Поэтому ие удивительно, что эта формула во многих случаях не подтверждается опытом (Ньютон высказывал сомнение в возможности практического применения этой формулы).
Однако при обтекании тел с очень большими сверхзвуковыми скоростями формула (9.2) может быть пригодной для вычисления давления, оказываемого потоком на переднюю часть тела. В этом случае ударная волна близко примыкает к головной части тела, и весь поток за ударной волной сосредоточен в узком слое. Поэтому частицы газа после ударной волны близко подходят к поверхности тела и затем обтекают его, оставаясь в этом узком слое. Следовательно, когда соблюдены приведенные выше условия течения газа за ударной волной, можно ожидать, что давление, подсчитанное по формуле (9.2), будет находиться в удовлетворенном согласии с действительностью.
Расчеты и эксперименты подтверждают это предположение. При обтекании тупых тел потоком с большими числами М перед телом образуется мощная ударная волна, и при расчете параметров потока за скачком с достаточным приближением можно пренебречь начальным давлением р, и начальной энтальпией (,. Поэтому в точке А за волной на оси симметрии тела будем иметь: а 1 . 1 з Р (~=Ро~ Р +Ро =Р (~' ~ (~ =(~+ 416 Отсюда для давления р, и энтальпии 1, в точке А получим: (9.3) где через Л обозначено отношение плотностей —.
Р Ра Определим давление торможения в точке В тела, считая поток за скачком несжимаемым. Такое приближение в области между ударной волной и стенкой в окрестности оси симметрии тела допустимо, так как число Маха в этой области мало. Для точки В имеем: РР, а) р= р,+ —, = Ри (1 — — „). (9.4) При больших значениях параметра Л давление, определенное по формуле (9.4), лишь незначительно меньше значения давления, даваемого формулой Ньютона (9.2). Для вычисления давления в точках поверхности тела в окрестности точки торможения Лиз предложил эмпирическую формулу: р = (1 — — ) р (/аз(п' 11 2Л! О (9.5) которая уточняет формулу Ньютона (9.2). При сильных ударных волнах эта формула хорошо согласуется с результатами экспериментальных замеров. В том случае, когда в слое между ударной волной и передней частью тела сжимаемостью газа нельзя пренебречь, лучшее совпадение дает следующее видоизменение коэффициента давления, получающееся из формулы Ньютона.
Согласно этой формуле, для коэффициента давления имеем: с = 2з(п'а. Р Видоизменим этот коэффициент следующим образом: с = с з)йаа, н, следовательно, для давления получим: р= с Р Уаз(п'а, — р О (9.6) 417 где с, — значение коэффициента давления, вычисленное по формуле (9.1). Вместе с возрастанием числа М набегающего потока увеличивается плотность газа за скачком уплотнения. Плотность газа ' может достигнуть больших величин, поскольку образование мощных ударных волн перед телом сопровождается значительным повышением температуры, приводящим к диссоциацни газа.
р(х, 1) из д) Я (х) (9.7) где Й(х) — радиус кривизны контура тела в меридианной плоскости. Обозначим через г (х) радиус образующей обтекаемого тела вращения и через г'(1) — площадь его сечения плоскостью, нормальной скорости набегающего потока. Тогда из условия сохранения массы в трубке тока получим: 2яг(х)с)ур (х, 1)и(!) = ро()Ы(1).
418 Это приводит к тому, что при М -~ отношение плотностей ).-+, ударная волна прилегает к телу, и поток газа за ударной волной будет сжат в тонком слое (влияние вязкости мы не учитываем). Как уже отмечено выше, именно в этом предельном случае представляется вероятным, что распределения давления непосредственно за ударной волной и на теле практически совпадают и с достаточной точностью могут быть определены с помощью формулы Ньютона. Однако при таком выводе не учитываются центробежные силы, действующие на частицы газа при движении вдоль криволинейной границы тела.
Влияние центробежной силы может быть значительным за счет большой и иЯ) плотности газа за ударной волной. Поэтому действительное давление х на выпуклой поверхности тела при ). = меньше величины, по- I «1г) лучаемой по формуле Ньютона. Определим приближенно давление на поверхности тела с учетом центробежных сил. За фронтом Рис. 102 очень сильной ударной волны () = ) трубка тока делается бесконечно тонкой. При этом частицы газа в трубке тока, испытывая неупругое столкновение с телом, движутся вдоль поверхности тела, сохраняя касательную составляющую скорости. Таким образом, весь слой газа бесконечно малой толщины между ударной волной (показанной на рис.
102 пунктиром) и поверхностью тела заполнен такими трубками тока. Направим ось х вдоль поверхности тела в меридианной плоскости, ось у направим по нормали к оси х. Рассмотрим частицу газа с координатой х, которая встретилась с телом вблизи точки с координатой 1 и имеет касательную к телу скорость и(1) (см. рис.
102). Пусть ду — толщина трубки тока в сечении х. Так как инерцией газа вдоль оси у мы пренебрегаем, то разность давлений, действующих на частицу в этом направлении, должна равняться центробежной силе: и так как скорость и(!) остается неизменной, то и(1) = Усова(1). учитывая еще равенство йг = 2пгйг, с помощью приведенных соотношений формулу (9.7) можно переписать в виде: г(р = — роУ'з!и а(х) „сова(о) Ы (4). а' о (х) ДР (х) Проинтегрируем это выражение по всем трубкам тока в сечении х от поверхности тела до фронта ударной волны.
В результате получим: г(х) ао р — р = — Р Уоз(па ! созао(г. 1 о - ир ) о Но давление р, на ударной волне при ) -+ ю равно: р, = р У'з(п'а, поэтому давление р на поверхности тела при осесимметричном обтекании выражается формулой: р = о У' ~ з(по а + з(п а — ) соз а о(Р ~ . о)о ( — о ар 3 о (9.8) Это выражение называется формулой Буземана. Из нее следует, что давление в точке поверхности зависит от формы той части поверхности, которая находится от точки выше по течению. Напомним, что по формуле Ньютона давление в точке поверхности зависит только от угла а касательной в этой точке.
Опыты показали, что давление на поверхности тела при больших сверхзвуковых скоростях обтекания значительно больше давления, получаемого из формулы (9.8), и близко к давлению, определенному по формулам (9.5) и (9.2). Чтобы объяснить причину этого факта, вспомним основные приближения, на основе которых выведена формула (9.8): !) угол наклона ударной волны был взят равным углу а, образованному касательной к контуру тела с осью тела. На самом деле указанный угол больше угла а; 2) кривизна линий тока равнялась кривизне контура тела, хотя для выпуклых тел она меньше последней; 4!9 г охраняя обозначение угла касательной к контуру тела с осью симметрии тела (угол а), запишем: ! о)х Л.(х) о1по ао 3) возрастанием скорости вдоль линии тока при падении дав. ления пренебрегалось; 1 1 4) на скачке уплотнения величинами — и — „, пренебрегалось.
Первые два приближения занижают величину давления на поверхности, и, хотя третье и четвертое допущение завыша ют это давление, они оказываются не главными в изменении порядка величины, и в общей сумме давление, вычисленное по формуле (9.8), оказывается меньше истинного давления. Но формула Буземана будет все точнее по мере приближения к предельному течению при 1 = а . Хорошее приближение, даваемое формулой Ньютона (9.2) и формулой Лиза (9.5), объясняется следующими обстоятельствами.
Так как угол ударной волны с осью симметрии тела больше угла а, то давление за ударной волной выше давлений, даваемых формулами (9.2) и (9.5). Но при обтекании тела с выпуклой граничной поверхностью центробежные силы уменьшают давление в направлении к поверхности тела, и это компенсирует неточность указанных выше формул.
При обтекании тел с вогнутым контуром действие центробежных сил приводит к увеличению давления в направлении к поверхности тела, и формулы (9.2) и (9.5) должны в этом случае давать неточные результаты. Помимо расхождения с экспериментом, для определенных форм тела в некоторых точках давление по формуле Буземана обращается в нуль. Например, если взять сферу радиусом а и координату х, отсчитывать от точки торможения по дуге большого круга, то формула (9.8) дает: 4 . ~(()] Из этого выражения получаем, что при — = —, т. е. под углом 60' к линии, на которой расположена лобовая точка торможения, давление равно нулю, т.
е. в этой точке поток отделяется от тела, и за сферой образуется мертвая зона. На самом деле, отделения потока не происходит. Можно предположить, что при больших значениях 1, в этих точках ударная волна отделяется от тела, и между ними образуется широкая область движения газа, сопровождающегося значительным расширением сечений трубок тока. Таким образом, в этой части потока пользоваться условием бесконечно тонких трубок за ударной волной нельзя, н формула Буземана неприменима.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
