Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(4. 19) С помощью (4.19) формула (4.18) принимает вид: ар ар 6 ' ~ ~ !,д6) +!,д ) . (4.20) д д. Линеаризированные уравнения двумерного автомоделаного движения Пусть изменения давления, плотности, величина скорости, а также производные от этих величин по координатам и времени считаются малыми, так что в уравнениях движения и неразрывности сохраняются только линейные члены. Тогда после линеаризации уравнения (4.1) принимают вид (для удобства в дальнейшем координаты снабжены индексом О): дну ! ар а„! ар д! р ахо' а! р ау, (5.1) В этих уравнениях с принятой выше точностью !тлотность р„ входящая множителем, полагается постоянной и равной ее начальному значению.
Заменив в последнем уравнении системы (5.1) производную от плотности по времени через производную от давления по времени и исключив из системы компоненты скорости, получим уравнение для давления: др др др дуо 1 др о дхз дуоо уо а' до~ ' (5.2) др ! др / Очевидно, выражения — )' 6, — у 6 есть направляющие косинуд! / ' дч сы нормали к поверхности разрыва с осями координат. Так же, как в установившихся сверхзвуковых течениях, характеристики (4.11) и (4.12) вместе с, уравнениями (4.17) и (4.20) позволяют определить течение и участки поверхности разрыва в тех'областях, где выполнено условие (4.14). Прн выводе этого уравнения скорость звука а с принятой точностью полагалась постоянной.
Для плоского движения давление определяется из уравнения дт р дгр 1 дгр — + — = — —, дк дуг а' дго (5.3) Интеграл Лагранжа (4.15) для потенциального движения после линеаризацин принимает вид: — ~+ Р = сопз1. д! (5.4) В случае плоского движения потенциал удовлетворяет уравнению: дгт дгв 1 дго (5.6) — + — — —— дко дуо Из последних двух уравнений следует, что любая компонента скорости также удовлетворяет волновому уравнению. Например, компонента о„в случае плоского .движения удовлетворяет уравнению: д'о„дго ! д'о — + — = — —.
дкг ду2 ао дго о о Полагая течение автомодельным, введем безразмерные координаты: у =— аг (5.8) ко х=— а! н представимпотенциал скорости ~~ (х„уо, !) в виде: у = аг! у (х, у). (5.9) Тогда для определения функции о(х, у) из (5.5) и (5.6) получим следующие уравнения: (1 — х') — — 2ху + (1 — у') —. + — — = О, (5.10) дго дгт дот 1 дт дкг дк ду дуо у ду х ) дк' — 2худ д + ! у') д г —— О.
(5.11) дот Продифференцировав это уравнение по ! при постоянном значении плотности и исключив производную от давления с помощью последнего уравнения системы (5.1), получим уравнение, определяющее потенциал скорости: дт дге дгт дур ! дог — + — + — = — —.. дкг дуг уо а' дпг Соответственно, интеграл Лагранжа (5.4) принимает вид: Т (» У) х — У вЂ” + — = сопз(, дт дт р дх ду р (5 12) где — =ао, — =ао . дт дт ах ау = Уравнения (5.2) и (5.3) для давления в новых координатах за пишутся так: дср д'р дср др др (! — х') — — 2ху — + (1 — у') — — 2х — — 2У вЂ” + дх" дх ду дус дх ду 1 др + — — =О, у ду (5.13) (1 — х') — — 2ху — + (1 — у') — — 2» — — 2у — = О. (5.14) дср дср дср др др дк~ дх ду дус дх ду *3 ихФ вЂ” Г. Уьз хх — 1 (5.15) т.
е. вне окружности: (5.16) х'+у'= 1 указанные уравнения гиперболического типа. Непосредственной подстановкой можно проверить, что интегралами уравнений (5.15) будут прямые: с,,с.~*)-~(1 — с у,~т д+у,' — ~ У1,з= 2с ь 2 с = ' (5.17) 1 х !+хо где х„у, — точка в плоскости х, у, через которую проходит данная пара характеристик. Нетрудно проверить, что характеристики (5.17) являются касательными к окружности (5.16) В случае осесимметричного движения для уравнения (5.10) получим систему характеристик: сз!(1+ х) + (1 — х) сх — 1 дх су У1 = с(о + ' с(о + — '=О 2сс 2~с 1 — х у ' ) сз~(1 + х) + (1 — х) сс! — 1 Их и„ Уравнение (5.7) для компоненты скорости также приводится к виду (5.14).
Характеристики уравнений (5.10), (5.11) и (5.13), (5.14) в плоскости х, у одни и те же. Они определяются соотношениями Систему храктеристик для уравнения (5.11) плоского потенциального движения получим из (5.18), если в уравнениях характеристик в плоскости о„, о отбросить последний член. Хорошо известно, что в области х'+ у'< 1 уравнение (5.14) путем преобразования С. А. Чаплыгина: х=гсозВ, у=ге(пВ, г= —. 2е 1+ е" (5.19) приводится к уравнению Лапласа: (5.20) Таким образом, в плоскости е, 61 давление р есть гармоническая функция, и ее можно представить как действительную часть не- которой аналитической функции: (е)=р(е, В)+1)'(е, Е), = Е'.
(5.21) (5.22) Следовательно, аналогично (5.21), можно записать: а1(е) = О (е, Ц)+(Г(е, Ц). (5,23) Если в(е) определена, то другая компонента скорости о„най- дется квадратурой. Условия Коши — Римана для функции (5.23) запишутся в виде: де д1 де 1 дг еда де' де е ди' (5.24) Из условия отсутствия вихря следует: дгх де„ (5.25) ду дх Перепишем уравнение (5.11) в виде: дех де де„ (1 — хе) —" — 2ху — У + (1 — у') — ~ = О. дх дх ду (5.26) В такой постановке определение давления сведется к граничной задаче функции комплексного переменного. Любая компонента скорости плоского движения газа в переменных е, В также будет удовлетворять уравнению Лапласа.
Например, для о будем иметь: С помощью соотношений (5.24), (5.25) и (5.26) полный дифференциал ~Ь = — Их+ — Ну ди ди„. х ди ду легко приводится к виду: (5.27) т. е. выражается через полные дифференциалы действительной и мнимой частей функции гс(х). В 6. Отражение акустанескоа волны от твердых стенок, образуюа4ах угол Пусть плоская волна слабой интенсивности с постоянными параметрами за фронтом движется со скоростью звука.
В некоторый момент времени Г = 0 эта волна достигает вершины угла, дифрагирует от вершины и дальше отражается от прямых, образующих угол. Для простоты пусть скорость падающей волны направлена по биссектрисе угла. Для некоторого значения Г >О картина движения показана на рис. 113. Здесь АА, и ВВ, — участ- Рис.
ПЗ ки падающей волны. Фронт отраженной волны состоит из касательных АА, и ВВ, к окружности ха+у~и =аиР и дуги А,В, втой окружности. Через Р обозначена половина угла, образованного стенками. Определим течение за отраженной волной. Так как в определяющие параметры линейный размер не входит, то задача будет автомодельной. В области за отраженной волной и стенками угла, вне указанной выше окружности радиуса аг, влияние дифракции верши- 462 (6.1) Рис. 114 ди 1 — = — — ига() р д( следует, что для проекции скорости на направление и имеем: доо 1 др д р ди' Представим давление Ро за отраженной волной в области дифракции угла в виде: (6.2) ((1 Ро Ро = Р( — Ро + Р (6.3) где Р((1 — приращение давления за счет отраженной волны.
Соста- вим отношение Р Ро Р( Ро откуда ((1 Р (6.4) Ро — Ро На участках ЕО, Е,О стенок угла (см. рис. 113), которые соглас- ны не сказывается. В этой части отражение происходит так же, как от твердой бесконечной стенки. Поэтому на этом участке за отраженной акустической волной, согласно (1.25), давление просто удваивается Р, — р, = 2(р, — р,), где Р, — давление на падающей волне. Таким образом, задача сводится к определению давления в области между дугой ЕА,В,Е, этой окружности и стенками угла.' В плоскости о, (), согласно (5.8) и (5.19), эта область переходит в область между окружностью единичного радиуса и прямыми, образующими угол 21 с вершиной в начале координат. Задача решается в линейной постановке. Поэтому в плоскости о, 6( давление будет удовлетворять уравнению Лапласа (5.20).
Нетрудно проверить, что функция г=)(е( =(е ~с), (),= ) преобразовывает внешность угла го Р=Р в плоскости с = ое( на верхнюю г полуплоскость вспомогательной переменной г. При этом круговой сектор в плоскости с переходит в полукруг в плоскости г с сохранением единичного радиуса (рис.
114). Установим граничные условия для давления на границе этого полукруга. Прежде всего заметим, что из линеаризированного уравнения движения: но (6.1) в плоскости г переходят в диаметр единичного круга, в направлении нормали имеем: Р =О, 0<г<1, 61=~, 9=2н — р; (65) на участках ЕА, и Е,В, дуги окружности (г = 1): р< 18<2р, Р— Ро ' 2н — 2~ < 61 < 2н — ~. (6.6) где г и р4 определены формулами (2.19). На основании граничного условия (6.5), по принципу симметрии, можно распространить функцию р на весь круг четным образом.
Граничные условия на этом круге в плоскости г будут следующие (см. рис. 114): Р= =1, — ЛР=9 <9<9 =Л~ Р— Ро=' (6.8) (6.9) РО) =1, - — 6=9.<9<9,=.+Л~ Р Ро на участках А,В, и В,А,' дуги окружности значение р равно нулю. Рассматривая р как действительную часть некоторой аналитической функции гв(з) = р+11, (6.10) задачу можно свести к нахождению этой функции по заданной действительной части на границе области. Воспользуемся следующим решением этой задачи. Если известна функция Т (г, з), которая называется ядром Шварца, для данной области, то по значению действительной части искомой функции на границе (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
