Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Прежде всего заметим, что вектор и, являющийся зеркальным отображением относительно оси Ох, вектора скорости несжимаемого потока, как известно, определяется из уравнения: — д — чз о = — [чью+ !(~м!) = се В силу конформности преобразования Ь + 0; следовательно, (3.14) имеет только тривиальное решение, т. е. выражения, стоящие в квадратных скобках, будут равны нулю, Таким образом, мы доказали справедливость уравнений (3.11).
Исходя из (3.10), докажем, что с и В как функции р, » также удовлетворяют уравнениям Коши — Римана. Непосредственно продифференцируем (3.10) по р и ч: где г =х, + гу„о — модуль скорости, 6 — угол наклона вектора скорости к оси Ох. Так как ор+ гт = Р(г) есть аналитическая функция комплексного аргумента г, то и о= о(г) — также аналитическая функция от г.
Следовательно, 1и о = 1п о — 1О1 также аналитическая функция от г; обозначим ее Р,(г), тогда 1по — 144 =Ро (г). Отсюда, дифференцируя обе части по х, и у, получаем: д .дв — 1по — 1 — =Р (г), дхо дхо — 1по — 1 — = (Р (г). д .де дУо дУо Исключая из этих уравнений Ро(г), будем иметь: д .дн .д ди — 1по — 1 — = — 1 — !по — —, дхо дхо дУо дУо откуда д де — 1по = — —, дхо дуо (3.17) д ди — 1по = —. ду, дхо' 2) на бесконечности ш„= еч" — заданная величина; ео = О; 3) на острой кромке А величина в конечна. Как известно, в теории крыла эта задача решается конформным отображением "лоскости крыла на плоскость некоторой окружности. Послед- .
481 Как видим, логарифм модуля скорости н угол наклона скоРости 6 удовлетворяют уравнению Коши — Римана точно так же, как и д =-1пш и Э. Поэтому го и 6 могут быть рассматриваемы как модуль скорости н угол наклона некоторого потока несжимаемой жидкости в плоскости вспомогательных пеРеменных р, о.
Этот поток назовем фиктивным потоком, величина в есть скоРость фиктивного потока, назовем ее фиктивной скоростью. Итак, рассмотрим в плоскости р, о некоторый замкнутый контур С, представляющий собою профиль крыла с острой задней кромкой в точке А (рис.
119). Задача обтекания этого контура фиктивным потоком будет определена при следующих условиях: 1) на контуре С угол 6 совпадает с углом наклона касательной к оси рс 1а9 = — на С; до ни из (1.2), очевидно бУдУт бесконечными. ДлЯ доказательства того, что условия на бесконечности удовлетворяются, напомним: — = — — — = оз(псу. ат ре аус ау р ан = а ре ау' ан р ау 'р = — — = есозеу, Эти условия на бесконечности, очевидно, будут: Таким образом, мы показали, что получаемый решением линейных уравнений (3.11) и (3.15) поток в плоскости х, у соответствует обтеканию некоторого контура С.
Недостатком этого метода является то, что при стремлении скорости потока к скорости звука профиль с значительно будет отличаться от С. Следовательно, вышеописанный метод не позволяет получить обтекание заданного профиля, если скорости потока близки к скорости звука. Положительной стороной'этого метода является то, что он позволяет получить приближенное решение до значительных скоростей полета е = (0,5 — О,б5) и, пока функция )/К(е) существенно не изменяется. Исследования С. А.
Христиановича показали, что для практически применяемых профилей при определении коэффициента подъемной силы справедлива формула, даваемая лннеаризированной теорией, т. е. су несж Су сжнн р ~ — и'„ (3. 19) Но распределение давления по профилю, даваемое линеаризированной теорией, заметно отличается от того, которое получается нз более точной изложенной выше теории.
Несколько иной метод расчета дозвукового обтекания крыловых профилей при наличии циркуляции разработан Л. И. Седовым (9]. 51 4. Распространение метода С. А. Чаплыгина на струйные задачи с несколькими характерными скоростями. Задача об истечении газа из бесконечного сосуда в наставку Изложенный во втором параграфе метод решения струйных задач газовой динамики отличается от метода С. А. Чаплыгина тем, что задачи решаются непосредственно в плоскости годографа для течений газа, без предварительного решения соответствующей задачи для несжимаемой жидкости.
По существу этот метод можно рассматривать как приложение метода Фурье к Решению краевых задач для уравнения Чаплыгина (2.!). Указанным методом решены, в частности, задачи об ударе газовой струи о несимметрично относительно нее расположен ный неравнобокий клин, об ударе газовой струи н беспредель ного потока по пластине под любым углом атаки, об истечении из сосуда, ограниченного двумя плоскими, произвольно распо ложенными бесконечными стенками и т.
д. Если принять в качестве одной из характерных скоростей значение скорости в критической точке (о, = 0), то задачи 2 2 и перечисленные выше относятся к классу задач с двумя харак. терными скоростями. Для всех этих задач область течения в плоскости годографа представится или частью кругового кольца или сектором круга (в том случае, если одна из характерных скоростей есть нуль).
Вдоль каждого из двух радиусов, ограничивающих указанную область, искомая функция д сохраняет постоянное значение. Вследствие этого можно применить для решения краевой задачи метод Фурье и искать решение в виде ряда по собственным функциям: т = А+ В 6+ Х(А„Е„(д) (- „Ä(д))з(п(2п 6+ а„), (4.1) и=! где в качестве второго, линейно независимого от а„(д) интеграла уравнения Чаплыгина (2.1), взят следующий интеграл 15): Г„(д) =!пп Е„(д) — а„' ~ ~. (4.2) (ач+2ч Ь„+2ч,1 — 2»,ч)1 Здесь (а„— 1) (а„— 2)... (а„— а) (1 — Ь„)... (ч — Ь„) Ь„ — " " ' ' , " " " , (4.3) Р— гипергеометрический ряд, а величины а„и Ь„определяются, как и ранее, из соотношений: а, + Ь„=2ч Л;.
а„Ь, = — Лч(2ч+ 1). Отметим, что вронскиан функций 2„ и г.„ при Г„(д), определяемом (4.2), выражается в виде: (4.4) При решении задач постоянные А и В выбираются так, бы на граничных радиусах функция Р=д А — ВЕ при ринимала нулевые значения. В частности, если одна из характерных скоростей есть нуль (как, например, для задачи, рассмотрейной в й 2), то решение можно искать в виде ряда только по функциям Чаплыгина, т. е. в форме (2.6).
дальнейшим развитием теории газовых струй явилось распространение метода С. А. Чаплыгина на струйные задачи с несколькими характерными скоростями (Л. Н. Сретенский [2], С. В. Фалькович [3]). Если для рассматриваемой задачи физической области .ечення снова соответствует кольцевая нли секторная область в плоскости годографа скорости, но в задаче более двух (например, три) характерных скоростей, то точка, изображающая третью характерную скорость, обязательно расположится на одном из граничных радиусов. До атой точки у сохраняет вдоль радиуса одно постоянное значение, за атой точкой другое (но также постоянное) значение.
Решение можно искать, разбивая область течения на две, с помощью дуги, проходящей через точку, соответствующую третьей характерной скорости. Тогда к каждой из отдельно рассматриваемых областей применим 'непосредственно метод Фурье и функции тока, определяемые особыми рядами, построенными для каждой отдельной области, должны удовлетворять условиям аналитического продолжения на линии, разделяющей области. С помощью указанного метода решены задачи об истечении газа из сосуда конечной ширины, об обтекании пластины струей газа, вытекающей из канала, об ударе газового потока по пластине, прикрывающей вход в канал, о соударении газовых струй в канале, об истечении газа, движущегося в трубе и вдоль плоскости через отверстие в стенке и т.
д. ([2] — [4]). В качестве примера рассмотрим задачу об истечении газа из бесконечного сосуда в наставку (В. И. Трошин). л;аа[р=у Рис. 122 Рис. 121 Пусть АВ и А'В' — стенки сосуда, ВС и 0'С' — стенки наставкн (рис. 121). Ширина отверстия ВВ' в сосуде равна 2а, ширина наставки ОР =СС' = 2Ь.
Свободные струйные поверх- 0 4<4„ Ч <4<Ь 6=0 6=0 ф= О при ф = — — при 2 ) = — — при е 2 Ф = — — при Я 2 (4.5) 0<д<д,, 0<8< —. 2 ' Решение задачи ищем в виде: ), = — — 8 + ~~, а„2„(д) з]п 2п й, (О < д < д,), (4.6) е фз — — — 2 + ~~'~]А„2лИ)+ Впал(Ч)]З]П2Л10, (41 <17 < 4з) (4.7) 0 Потребовав удовлетворения граничных условий (4.5) и условий аналитического продолжения: Ь (й) = 'Ь(4) (4.8) дФ~ ] дф 1 ! 486 ности ограничены линиями ВО и В'.О'.
Расстояние наставки от стенки сосуда (ОО,) назовем И. Скорость газа в бесконечно уда ленном сечении наставкн СС' примем равной вн на свободных струях — о,. Примем, что на оси симметрии О"О' функция тока ) =О. Тогда, если расход газа из сосуда равен 9, то Ф = — — Я на 1 2 линии тока АВОС и ) = — Я на линии тока А'В'О'С'. 1 2 Очевидно, что вследствие симметрии задачи достаточно рассмотреть одну половину области течения, например, АВОСО'О", которой в плоскости годографа скорости соответствует четверть круга (рис.
122). Граничные условия запишутся в форме: )!,„' — „! (~л(Г(л)~»И)— (! !)" л=! — Я„(дД 1„(!)) ) " з(п 2л 6. г„'(л,) (4. 10) Вводя обозначение: РлЮ = ~'л (ГлЮ ~л(Ч) — 2л(!)л) Гл())) у (д) (4 11) перепишем (4.10) в виде: — (! = — — — ~„— лгйп2пй. 1л (Ч) 2~ л (4.12) л=! Очевидно, что У„(д,) = 0. Найдем выражение )„(дл).
Для этого продифференцируем (4.11) по д, учтем выражение вронскиана (4.4), положим я=!1, и введем обозначение для функции Чаплыгина: х„(!)) =— л (Ч) (4.13) Тогда получим: а ( 1 — дл ) лл(л!) г' (л,) ! ' ) " х„(д!). (4.14) Подставляя значение (! из (4.12) в формулу„получаюшуюся из (12') заменой р по (1.4), т. е.
в формулу Ул ! ~ 2!1 (!д 5!и Й + 1!л созе] ) и (1 — у) 48 получим систему уравнений, из которой определяются значения и„, Ал, Вл и, следовательно, функция тока ). Будем иметь: — "(,= — Š— '"',)",— ',1 г'~д,)~ ~д,)— 0 )х л! 1 л ! л л=! — 1л(!)!)Ел(!)л)1 л(ч яп2п6, (4.9) и интегрируя по 6, найдем: !1 1 Т4у= 1 — 2д,~.~ л 4 "81П2П681П908— л=! 0 — Х 1!.!1! 1,1 Й лшй~-!-!(1!. л=! . О (4.15) и формулой (4.14), найдем: а, 2 р, ча11 — !) 4л Я (41) Ь !1 1!1 „й~~ 4лл — ! Я„(рл! л=1 Аналогичными выкладками, используя соотношение (1.2') для хе, получим: (4.18) л=! Формулы (4.17) и (4.18) решают задачу, устанавливая связь между а а параметрами —, —, о, и о,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
